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摘要：数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。在高等数学教学中，不仅要重视知识的传授，更应重视挖掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法，把注重数学思想方法的教学作为一种自觉的行为。
关键词：数学思想方法 过程 解决问题
《高等数学》作为小学教育专业的一门必修课程，其目的是提高学生的文化素质，但大多数的学生认为：今后我们是小学教师，在小学数学教学中根本不可能用上《高等数学》所学的知识，没有学习的必要。这是因为他们看不到高等数学的重要作用，其中之一便是学习其中的数学精神和数学思维方法。而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键，单纯的数学知识是“死”的，唯一能激活它的只有与之相应的数学思想方法。这正如日本著名数学教育家米山国藏所说：“学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所学到的数学知识，因为这种作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们生活和工作中发挥着重要作用。”但这些使人终身受益的东西——数学思想方法，它的呈现形式是隐蔽的，是学生难以从教材中直接获得的。
数学思想方法是人们通过数学活动对数学知识形成的一个总的看法或观点，它是人们学习和应用数学知识过程中思维活动的导航器，同时也是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。能否有意识地正确运用数学思想方法解决问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志。[1]古人云：“授之以鱼，莫若授之以渔。”与其纯粹地教给学生知识，倒不如教给其知识的同时教给其相应的数学思方法，让学生学会数学地思考。通过带学生实习，我们不难发现不论学生上课多精彩，但还是缺乏深度。作为一名数学教师，在高等数学教学中，不仅要重视知识的传授，更应重视挖掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法，把注重数学思想方法的教学作为一种自觉的行为，唯有这样，才能切实提升学生的数学思维素质，进而提高学生的数学素养，为学生的终身学习打下坚实的基础。
一、 在探索知识的发生、形成过程中渗透数学思想方法
恩格斯说：“世界不是一成不变的事物的集合体，而是过程的集合体。”对数学来说，概念的形成过程、方法的思考过程、问题的发现过程等都隐含着许多重要的数学思想方法。在教学中，如果能有效地引导学生经历知识的发生、形成过程，让学生在观察、实验、分析、概括的过程中，看到数学知识背后所蕴藏的思想方法，那么学生所掌握的知识才是活的，学生的数学学习才能得到质的飞跃。
如“函数”概念，学生已不陌生，大学生在初中阶段已经了解函数的简单概念，接触过最基本的一些函数（正、反比例函数，一次函数，二次函数），高中阶段进一步学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数，在高等数学中，给出了函数更一般化的定义，更注重函数概念的产生和形成过程，使学生明确函数的概念和理论都来源于实践，反过来又运用于实践，就如芝加哥大学的尤什斯金（Usiskin）教授所说：现代社会人们最常用并且将会普及的数学方法是函数观念。在教学中应从实例引人：例1 由实验测出大气中空气的密度ρ（单位体积空气的质量）随着大气高度h的变化情况如下：
例2 人们到商店去买某种商品，单价是每千克8元，购买的千克数x与总价y互相联系着，对任意的x∈[0，+∞]，y与x之间的对应关系是y=8x.
例3 气温随时间的变化规律。时间t的变化范围是0≤t≤24，对于这个范围内的每一个确定时刻t，就有一个确定的温度T和它对应。
引导学生分析这三个例子中问题的具体意义虽然不一样，但从数量关系的角度来看，它们有着共同的特征：在变化过程中的两个变量之间存在着某种对应关系，当一个变量在其允许的变化范围内取某一个值时，另一个变量就有确定的值与之对应，两个变量间的这种对应关系就涉及到了数学中的函数方法，而不必管它对应的具体方法是通过公式计算的或由图上量得的或由表上给出的，为了能同时反映上述例子的共性，在数学中就用函数关系式来表示，给出函数的定义：设A是非空实数集，x和y是两个变量，如果存在一个对应法则f，按照它，当变量x取A中任意一个给定的值时，都有一个确定的实数值y相对应，则称y是x的函数，f称为A上的一个函数关系.记作y=f(x),x∈A.。然后让学生自己分析函数概念中的三大要素：定义域、值域、对应法则，通过判断两个函数是否相同，求函数的定义域，解决实际问题等过程，使学生进一步了解自然界中有许多现象是可以用函数方法来解决的，高等数学是变量的数学，它主要研究运动与变化，而函数是描写运动的有力工具，是微积分创立的基础，认识到函数思想方法的重要性。
定积分的概念具有广泛的直观背景，要让学生了解：它是为了解决实际问题的需要而产生的一个数学概念，如求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等，从解决这些实际问题的过程中产生分割、近似求和、取极限这一数学思想，把待算的量（如曲边梯形的面积等），在一个区间上（如曲边梯形的底边所在区间[a，b]）与一个函数[如曲边梯形的曲边方程y=f(x)]相联系，运用分割、求和、取极限的方法便产生定积分的概念：.这样，学生学到的不仅仅是数学知识，更重要的是数学思想方法在学生头脑中的形成，从而为学生学会数学地思考打下基础。
二、 在探索解题思路过程中体会数学思想方法
解数学题的技巧在于寻求解法，正如爱因斯坦所说：“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。”这里的精神，就是方法的本质认识——数学思想。一般化、特殊化、归纳法、类比法、几何直观法、物理模拟法等都是解题思路分析中必不可少的思想方法。
微分中值定理是从导数到应用的桥梁，拉格朗日中值定理（一般化）的证明就体现了数学的许多思想方法，教学中应让学生先通过观察图形（几何直观），找到一个比较简单的特殊情况——罗尔定理（特殊化），先证罗尔定理，然后构造一个辅助函数，使用罗尔定理证明拉格朗日中值定理。这种“一般化——特殊化”方法和“几何直观”方法是数学中常用的思维方法，必须让学生在解题、证明过程中进一步体会。在高等数学中，还有一些定理的证明是从特殊到一般的，如牛顿——莱布尼茨公式的证明，证明的关键先把公式一般化：用x代替公式中的b，原公式两边均是常数，一般化后，原公式的两边都变成了x的函数，好处在于可以在变化中去寻找变量之间的关系。这种将待解的特殊问题推向一般化， 从而猜得问题的解法，是数学学习和研究中常用的方法，在教学中必须有意识地渗透，如可让学生计算：
计算，然后相加，自己发现这样做太麻烦，如果项数再增加，此方法行不通，引导学生从原有的认知结构出发，通过回忆、观察、思考等方法找到该题的突破口，得到一般项（即第k项）.
到该题的解法关键在于找出一般项ak的表达式，求出一般和Sn的结果，从而使学生进一步明确把特殊情况一般化的重要数学思想方法，正如美国著名的数学教育家波利亚所说：“注意对特殊情况的观察，能够导致一般性的数学结果，也可以启发出一般性的证明方法。”[2]
三、 在解决实际问题中领悟数学思想方法
数学是源于生活，然而又应用于生活。为了加强学生的数学应用意识，鼓励学生运用所学的数学知识去分析解决生活实际问题，引导学生抽象、概括、建立数学模型，探究解决问题的方法，使学生在应用数学知识解决实际问题的过程中进一步领悟数学中的定义、概念、定理、公式等是从现实世界中经过逐步抽象、概括而得到的数学模型，同时反过来应用于现实世界来解决各种实际问题。生活中常常遇到怎样才能做到“节约”材料、“费用”最少等问题，在高等数学中利用导数就能很好地解决这一问题，如教学中可以让学生解决“要做一个圆柱形有盖铁桶，其容积是V，问其底半径和高应为多少，才能使所用铁皮最少？”学生在解决这一问题时，要先把实际问题转化为数学问题，也就是要用函数思想方法列出函数关系式，设圆柱形铁桶的底半径为r，高为h，总表面积为S，则S=2πr2+2πrh,而容积已知是V,故h=V/πr2所以S=2πr2+2V/r通过求导S1，令其等于0，解得唯一稳定点，再根据极大值、极小值定理，稳定点是极小值点，也就是最小值点，问题得以解决；还可以让学生解决一些经济上的实际问题如“某厂生产的商品年销售量为60000件，每批生产的准备费用为200元，每件商品的年库存费用为0.24元，若年销售率是均匀的（此时商品平均库存量为批量的一半），问应分几批生产才能使总费用最小？”使学生在解决这些实际问题中去深刻领悟数学中的“优化思想”。
学生学习定积分这一知识后，教师要有意识让学生了解定积分在科研、工程技术以及经济等方面有着广泛的应用，运用定积分解决实际问题的第一步是将实际问题转化、归纳为数学问题，实现这一转化的有力工具就是定积分的微元法，利用定积分的微元法解决实际问题的过程中用到数学的重要思想——化归思想，教师在教学中要注重化归思想的渗透，引导学生归纳出用化归法解题的思路：待解决的问题A 已解决或易解决的问题B→解答B解答A。学生只有深层次地掌握这一思想，在以后的教育教学工作中就会自觉主动地运用它去解决问题。
估算意识也是学生应具备的一种重要数学思想方法，在日常生活中会常常遇到这样的问题：半径为10厘米的金属圆片加热后，其半径伸长了0.05厘米，其面积增大了多少？按照实际计算比较麻烦，但在学生学习微分后，可引导学生利用微分来作近似计算，当△x很小时，有 ，学生只要先写
（平方厘米）。为了使学生能较好地解决各种实际问题，还可考虑组织学生开展一些“研究性学习”活动，如何在生产实际中应用微分估计误差；导数在经济生活中的应用等。让学生在研究的过程中进一步去体会数学思想方法的广泛应用。
总之，在數学教学过程中，教师要注重挖掘教材所隐含的数学思想方法，把握渗透数学思想方法解决问题的时机，逐步使学生增强主动运用数学思想方法的意识，这不仅是提高学生数学素养的需要，也是促进学生全面可持续发展的必经之路。
参考文献：
[1]王建宏．概率教学中数学思想方法的挖掘与渗透.数学教学[M]．2004（10）
[2]李叶明主编．高等数学（文科版）[M]．桂林：广西师范大学出版社，2001（9）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键词：数学思想方法 过程 解决问题
《高等数学》作为小学教育专业的一门必修课程，其目的是提高学生的文化素质，但大多数的学生认为：今后我们是小学教师，在小学数学教学中根本不可能用上《高等数学》所学的知识，没有学习的必要。这是因为他们看不到高等数学的重要作用，其中之一便是学习其中的数学精神和数学思维方法。而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键，单纯的数学知识是“死”的，唯一能激活它的只有与之相应的数学思想方法。这正如日本著名数学教育家米山国藏所说：“学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所学到的数学知识，因为这种作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们生活和工作中发挥着重要作用。”但这些使人终身受益的东西——数学思想方法，它的呈现形式是隐蔽的，是学生难以从教材中直接获得的。
数学思想方法是人们通过数学活动对数学知识形成的一个总的看法或观点，它是人们学习和应用数学知识过程中思维活动的导航器，同时也是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。能否有意识地正确运用数学思想方法解决问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志。[1]古人云：“授之以鱼，莫若授之以渔。”与其纯粹地教给学生知识，倒不如教给其知识的同时教给其相应的数学思方法，让学生学会数学地思考。通过带学生实习，我们不难发现不论学生上课多精彩，但还是缺乏深度。作为一名数学教师，在高等数学教学中，不仅要重视知识的传授，更应重视挖掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法，把注重数学思想方法的教学作为一种自觉的行为，唯有这样，才能切实提升学生的数学思维素质，进而提高学生的数学素养，为学生的终身学习打下坚实的基础。
一、 在探索知识的发生、形成过程中渗透数学思想方法
恩格斯说：“世界不是一成不变的事物的集合体，而是过程的集合体。”对数学来说，概念的形成过程、方法的思考过程、问题的发现过程等都隐含着许多重要的数学思想方法。在教学中，如果能有效地引导学生经历知识的发生、形成过程，让学生在观察、实验、分析、概括的过程中，看到数学知识背后所蕴藏的思想方法，那么学生所掌握的知识才是活的，学生的数学学习才能得到质的飞跃。
如“函数”概念，学生已不陌生，大学生在初中阶段已经了解函数的简单概念，接触过最基本的一些函数（正、反比例函数，一次函数，二次函数），高中阶段进一步学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数，在高等数学中，给出了函数更一般化的定义，更注重函数概念的产生和形成过程，使学生明确函数的概念和理论都来源于实践，反过来又运用于实践，就如芝加哥大学的尤什斯金（Usiskin）教授所说：现代社会人们最常用并且将会普及的数学方法是函数观念。在教学中应从实例引人：例1 由实验测出大气中空气的密度ρ（单位体积空气的质量）随着大气高度h的变化情况如下：
例2 人们到商店去买某种商品，单价是每千克8元，购买的千克数x与总价y互相联系着，对任意的x∈[0，+∞]，y与x之间的对应关系是y=8x.
例3 气温随时间的变化规律。时间t的变化范围是0≤t≤24，对于这个范围内的每一个确定时刻t，就有一个确定的温度T和它对应。
引导学生分析这三个例子中问题的具体意义虽然不一样，但从数量关系的角度来看，它们有着共同的特征：在变化过程中的两个变量之间存在着某种对应关系，当一个变量在其允许的变化范围内取某一个值时，另一个变量就有确定的值与之对应，两个变量间的这种对应关系就涉及到了数学中的函数方法，而不必管它对应的具体方法是通过公式计算的或由图上量得的或由表上给出的，为了能同时反映上述例子的共性，在数学中就用函数关系式来表示，给出函数的定义：设A是非空实数集，x和y是两个变量，如果存在一个对应法则f，按照它，当变量x取A中任意一个给定的值时，都有一个确定的实数值y相对应，则称y是x的函数，f称为A上的一个函数关系.记作y=f(x),x∈A.。然后让学生自己分析函数概念中的三大要素：定义域、值域、对应法则，通过判断两个函数是否相同，求函数的定义域，解决实际问题等过程，使学生进一步了解自然界中有许多现象是可以用函数方法来解决的，高等数学是变量的数学，它主要研究运动与变化，而函数是描写运动的有力工具，是微积分创立的基础，认识到函数思想方法的重要性。
定积分的概念具有广泛的直观背景，要让学生了解：它是为了解决实际问题的需要而产生的一个数学概念，如求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等，从解决这些实际问题的过程中产生分割、近似求和、取极限这一数学思想，把待算的量（如曲边梯形的面积等），在一个区间上（如曲边梯形的底边所在区间[a，b]）与一个函数[如曲边梯形的曲边方程y=f(x)]相联系，运用分割、求和、取极限的方法便产生定积分的概念：.这样，学生学到的不仅仅是数学知识，更重要的是数学思想方法在学生头脑中的形成，从而为学生学会数学地思考打下基础。
二、 在探索解题思路过程中体会数学思想方法
解数学题的技巧在于寻求解法，正如爱因斯坦所说：“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。”这里的精神，就是方法的本质认识——数学思想。一般化、特殊化、归纳法、类比法、几何直观法、物理模拟法等都是解题思路分析中必不可少的思想方法。
微分中值定理是从导数到应用的桥梁，拉格朗日中值定理（一般化）的证明就体现了数学的许多思想方法，教学中应让学生先通过观察图形（几何直观），找到一个比较简单的特殊情况——罗尔定理（特殊化），先证罗尔定理，然后构造一个辅助函数，使用罗尔定理证明拉格朗日中值定理。这种“一般化——特殊化”方法和“几何直观”方法是数学中常用的思维方法，必须让学生在解题、证明过程中进一步体会。在高等数学中，还有一些定理的证明是从特殊到一般的，如牛顿——莱布尼茨公式的证明，证明的关键先把公式一般化：用x代替公式中的b，原公式两边均是常数，一般化后，原公式的两边都变成了x的函数，好处在于可以在变化中去寻找变量之间的关系。这种将待解的特殊问题推向一般化， 从而猜得问题的解法，是数学学习和研究中常用的方法，在教学中必须有意识地渗透，如可让学生计算：
计算，然后相加，自己发现这样做太麻烦，如果项数再增加，此方法行不通，引导学生从原有的认知结构出发，通过回忆、观察、思考等方法找到该题的突破口，得到一般项（即第k项）.
到该题的解法关键在于找出一般项ak的表达式，求出一般和Sn的结果，从而使学生进一步明确把特殊情况一般化的重要数学思想方法，正如美国著名的数学教育家波利亚所说：“注意对特殊情况的观察，能够导致一般性的数学结果，也可以启发出一般性的证明方法。”[2]
三、 在解决实际问题中领悟数学思想方法
数学是源于生活，然而又应用于生活。为了加强学生的数学应用意识，鼓励学生运用所学的数学知识去分析解决生活实际问题，引导学生抽象、概括、建立数学模型，探究解决问题的方法，使学生在应用数学知识解决实际问题的过程中进一步领悟数学中的定义、概念、定理、公式等是从现实世界中经过逐步抽象、概括而得到的数学模型，同时反过来应用于现实世界来解决各种实际问题。生活中常常遇到怎样才能做到“节约”材料、“费用”最少等问题，在高等数学中利用导数就能很好地解决这一问题，如教学中可以让学生解决“要做一个圆柱形有盖铁桶，其容积是V，问其底半径和高应为多少，才能使所用铁皮最少？”学生在解决这一问题时，要先把实际问题转化为数学问题，也就是要用函数思想方法列出函数关系式，设圆柱形铁桶的底半径为r，高为h，总表面积为S，则S=2πr2+2πrh,而容积已知是V,故h=V/πr2所以S=2πr2+2V/r通过求导S1，令其等于0，解得唯一稳定点，再根据极大值、极小值定理，稳定点是极小值点，也就是最小值点，问题得以解决；还可以让学生解决一些经济上的实际问题如“某厂生产的商品年销售量为60000件，每批生产的准备费用为200元，每件商品的年库存费用为0.24元，若年销售率是均匀的（此时商品平均库存量为批量的一半），问应分几批生产才能使总费用最小？”使学生在解决这些实际问题中去深刻领悟数学中的“优化思想”。
学生学习定积分这一知识后，教师要有意识让学生了解定积分在科研、工程技术以及经济等方面有着广泛的应用，运用定积分解决实际问题的第一步是将实际问题转化、归纳为数学问题，实现这一转化的有力工具就是定积分的微元法，利用定积分的微元法解决实际问题的过程中用到数学的重要思想——化归思想，教师在教学中要注重化归思想的渗透，引导学生归纳出用化归法解题的思路：待解决的问题A 已解决或易解决的问题B→解答B解答A。学生只有深层次地掌握这一思想，在以后的教育教学工作中就会自觉主动地运用它去解决问题。
估算意识也是学生应具备的一种重要数学思想方法，在日常生活中会常常遇到这样的问题：半径为10厘米的金属圆片加热后，其半径伸长了0.05厘米，其面积增大了多少？按照实际计算比较麻烦，但在学生学习微分后，可引导学生利用微分来作近似计算，当△x很小时，有 ，学生只要先写
（平方厘米）。为了使学生能较好地解决各种实际问题，还可考虑组织学生开展一些“研究性学习”活动，如何在生产实际中应用微分估计误差；导数在经济生活中的应用等。让学生在研究的过程中进一步去体会数学思想方法的广泛应用。
总之，在數学教学过程中，教师要注重挖掘教材所隐含的数学思想方法，把握渗透数学思想方法解决问题的时机，逐步使学生增强主动运用数学思想方法的意识，这不仅是提高学生数学素养的需要，也是促进学生全面可持续发展的必经之路。
参考文献：
[1]王建宏．概率教学中数学思想方法的挖掘与渗透.数学教学[M]．2004（10）
[2]李叶明主编．高等数学（文科版）[M]．桂林：广西师范大学出版社，2001（9）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文