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[摘 要] 对特殊数量折扣价格奖励计划采购数量的求解,一般是以平均价格通过反复试算法进行。本文以此为基础，根据经济订货批量模型的求解方法,通过函数分析,确定了最优采购数量的计算模型，并通过实例，验证了这种方法的正确性。
[关键词] 特殊数量折扣价格奖励计划 反复试算法 最优订货策略
经济订货批量模型（Economic Order Quantity Model，EOQ）是库存管理模型中的基本模型，在企业采购和库存数量决策中经常应用。该方法主要是通过平衡采购进货成本和保管仓储成本，确定一个最佳的订货数量来实现最低总库存成本。
随着采购数量、订货时间、到货间隔时间等的不同，经济订货批量模型可以有不同的扩展和变化，但总的思想依然是根据物流管理中的“背反”规律，平衡仓储成本、进货成本，确定一个最佳的订货数量，在该数量点库存总成本最低。本文就是根据这一思想,对特殊价格奖励计划的最优采购数量进行了进一步探讨。
在采购与供应决策中，采购机构经常受到价格奖励的鼓励而大量采购货物。普遍使用的价格奖励主要有两种：普遍价格奖励和特殊价格奖励。由于对应采购量的不同而在不同的采购区间享受不同的价格折扣优惠，因此，必须对其进行一定的改变，求解最优采购量。
一、普通价格奖励的采购数量
普通数量折扣价格奖励计划（Inclusive Quantity Discount-Price-Incentive Plan）是指随着购买量的增大,供应商会降低适用于所有定购产品的报价。这在消费品采购及平常的教材中很常见,即一般教材中所讲的“有折扣的订货批量模型”。供应商为了吸引顾客一次购买更多的商品,往往规定对于购买数量达到或超过某一数量标准时给予顾客价格上的优惠，这个事先规定的数量标准称为折扣点。在数量折扣的条件下,折扣之前的单位购买价格与折扣之后的单位购买价格不同,由于它是对于大于等于某个采购数量的所有产品适用某一折扣价格,所以认为这是一种“全量”的优惠。
具体的求解方法可见文献。
二、特殊价格奖励的采购数量
与普通数量折扣价格奖励计划相对应，特殊数量折扣价格奖励计划（Noninclusive Quantity Discount-Price-Incentive Plan）指所降低的报价或者优惠的价格仅仅适用于数量折扣范围内的产品。通过文献检索，虽然研究不同情况下的最优订货策略的相关文献较多，但是对于特殊数量折扣价格奖励计划这种问题的讨论还没有见到相关文献资料。因为这种优惠仅仅是对于超过某一数量或价格的超过量而言，所以认为这是一种“增量”的优惠。
对于这种“增量”优惠采购模型，由于不同的数量所采用的价格不同，使用通常的求解经济采购批量的方法是不可行的。
1.一个分解点问题求解的“反复试算法”
为了简单起见，首先设该问题下只有一个折扣分界点。那么该折扣分解点将采购区间分割为两个区间：
如果采购量位于第一个采购区间，即：采购量Q∈(0,Q1)时，则采购价格为P1；
如果采购量位于第二个采购区间，即：采购量Q∈[Q1,+∞]时，则可以根据采购价格的不同，将采购量可以分为两部分：（1）对于采购量Q+Q1，采购价格为P1；（2）对于采购量=(Q-Q1)，采购价格为P2。则对于采购量为Q的产品而言，其平均采购价格为：
由于P1、P2和Q1是已知的常量，所以可得：当采购量大于折扣点采购数量时，平均价格是采购数量的函数，即：＝f(Q)。同时，可知：随着Q的增加，平均采购价格是递减的。
设全年购买量不变，为常量D。每次采购成本为K，单位货物的年库存成本为C。如果每次采购数量为Q，根据总成本公式可知：购入成本为×D；采购成本为；库存成本为。那么，随着Q的增加，购入成本递减，采购成本递减，而库存成本递增，这体现了物流成本的悖反规律。
根据物流总成本最小的原则，可以通过“反复试算法”(Trial And Errors)来找到问题的答案。对于不同的采购批量Qi,总成本为:
(2)
如果单位货物的年库存成本和采购价格为线性关系，设单位货物的年库存成本率为f，即C+P×f，则库存成本为。那么，式（2）可以写成：
(3)
例1是反复试算法的应用。
例1：某商品每年的预计需求量稳在2600个。采购订单的准备成本为每订单10元，库存持有成本每年为20％。供应商提出两种报价：采购量小于500个时，价格为5元/个；如果采购量大于或等于500个，则对多于500的数量价格优惠5%，求解最佳订货量。
解：我们可以求出对应于不同采购量的平均价格，然后求出对应的总成本。为了计算方便，从300开始试算，并以100为步长向前移动。可得如表1所示：
通过计算可知：最优采购数量为900。最小总成本为13183。
反复试算法将库存问题变成了离散型的，这种方法虽然能基本解决问题，但这种解决方法是近似的。是不是还有更加准确的解呢？
2.一般情形
如果有n个折扣点Q1,Q2,…,Qt,…,Qn将整个采购数量分割为（n+1)个折扣区间，(p1,p2,…,pt,…,pn,pn+1)分别对应于第1个、第2个一直到第n+1个区间的折扣价格。可以用表2如下：
由于第1个折扣区间一般是没有折扣的，采购价格等于原价格。所以，当采购数量Q位于第t个折扣区间，即：Qt-1≤Q1)时，则：
持有成本=P1×Q1+P2×(Q2-Q1)+P3×(Q3-Q2)+……+Pt-1×(Qt-1-Qt-2)+Pt×(Q-Qt-1)
=(P1-P2)×Q1+(P2-P3)×Q2+……+(Pt-1-Pt)×Qt-1+Pt×Q
因此，平均价格
(4)
由于：在给定问题中，Pi(i=1,2,…,n)，Qi(i=1,2,…,n) 均为常数，所以，设：
Nt=(P1-P2)×Q1+(P2-P3)×Q2+……+(Pt-1-Pt)×Qt-1
=(pi-Pi+1)×Qi
=常数， (5)
则：平均价格（当t=1时，N1=1）。(6)
通过推导，可得最优采购数量：
。 (7）
因为：采购总成本=持有成本+采购成本+库存成本，所以，如果采购数量Q位于第t个采购区间，则采购总成本TCt为：
(8)
对应于该区间最优采购数量Q*t，则用Q*t代替上式中的Q，即可计算出年最小总成本，即：
(9)
例2：现求解例1的精确解。
已知：D=2600,Q1=500,K=10,f=20%,P2=5×(1-5%)=4.75。
则可得：N=(P1-P2)×Q1=125。
所以：(个)。
计算当Q=860时，平均价格为。
所对应的总成本为：
这样，我们可以求出更加精确的值，使得总成本达到最小化。
例3:设年采购总额D=20000,每次采购成本K=200,单位货物年存储费率f=0.2,在特殊数量折扣价格奖励计划下进行采购，对应于不同的采购数量享受的价格优惠如表3所示。求最优的采购策略。
解:(1)计算第1区间的最优采购数量:;计算第2区间的最优采购数量：
因为N2=(P1-P2)×Qt=4000,
所以
(同理可求:N3=10000,N4=18000,N5=38000;Q*3=11292,Q*4=16125)
因此直接求解第5区间的最优采购数量。
(2)最后区间（即第5区间）的最优采购数量；
由于27641>5000，且27641>D=20000，所以，求解对应于不同采购数量的采购总成本。
(3)求解总成本
因为N3=10000,N4=18000,N5=38000;
所以，同理可得：
TC*3=357133,TC*4=326949。
TC*5(Q*5=27641)
＝259081；
∵TC*(D=20000)=262000最小,
∴最优采购策略为一次性采购20000单位产品。
三、结论
由于条件的变化，特殊数量折扣价格奖励计划的最优采购数量的确定，不能直接套用基本经济订货批量模型。本文根据经济订货批量模型的求解方法，通过函数分析，确定了该种情况下最优采购数量的计算模型，并通过实例，比较了该模型和反复试算法的不同。该方法可以使得最优数量的确定更加精确，并为实际问题的求解提供了一种思路和方法。
参考文献：
[1]Ronald H.Ballou,王晓东 胡瑞娟译:企业物流管理—供应链的规划、组织和控制[M].北京:机械工业出版社,2002:338～339
[2]中国商业技师协会,市场营销专业委员会:职业教育专业委员会编写[M].现代物流管理基础与实务,2003(5):232～233
[3]邓 英:数量折扣下经济订货批量的探讨[J].长沙民政职业技术学院学报,2004(11):44～46
[4]李安周:批量优惠条件下的经济订货批量模型[J].统计与决策.2005(12s):13～13
[5]傅珏生 解 燕:经济订货批量公式的一个注解[J].数理统计与管理.2006,25(2):166～169
[6]蒋惠园 程小飞:经济订货批量（EOQ）数学模型研究[J].武汉理工大学学报:交通科学与工程版,2003,27(4):525～527,539
[7]费 蓉 崔杜武 张淳民 刘萍萍:一类随机性EOQ模型的关键路径存储策略[J].西安交通大学学报,2008,42(4):431～435
[8]孙润田 魏兰阁:经济订货批量模型的探讨[J].商场现代化.2007(12s):44～44
[关键词] 特殊数量折扣价格奖励计划 反复试算法 最优订货策略
经济订货批量模型（Economic Order Quantity Model，EOQ）是库存管理模型中的基本模型，在企业采购和库存数量决策中经常应用。该方法主要是通过平衡采购进货成本和保管仓储成本，确定一个最佳的订货数量来实现最低总库存成本。
随着采购数量、订货时间、到货间隔时间等的不同，经济订货批量模型可以有不同的扩展和变化，但总的思想依然是根据物流管理中的“背反”规律，平衡仓储成本、进货成本，确定一个最佳的订货数量，在该数量点库存总成本最低。本文就是根据这一思想,对特殊价格奖励计划的最优采购数量进行了进一步探讨。
在采购与供应决策中，采购机构经常受到价格奖励的鼓励而大量采购货物。普遍使用的价格奖励主要有两种：普遍价格奖励和特殊价格奖励。由于对应采购量的不同而在不同的采购区间享受不同的价格折扣优惠，因此，必须对其进行一定的改变，求解最优采购量。
一、普通价格奖励的采购数量
普通数量折扣价格奖励计划（Inclusive Quantity Discount-Price-Incentive Plan）是指随着购买量的增大,供应商会降低适用于所有定购产品的报价。这在消费品采购及平常的教材中很常见,即一般教材中所讲的“有折扣的订货批量模型”。供应商为了吸引顾客一次购买更多的商品,往往规定对于购买数量达到或超过某一数量标准时给予顾客价格上的优惠，这个事先规定的数量标准称为折扣点。在数量折扣的条件下,折扣之前的单位购买价格与折扣之后的单位购买价格不同,由于它是对于大于等于某个采购数量的所有产品适用某一折扣价格,所以认为这是一种“全量”的优惠。
具体的求解方法可见文献。
二、特殊价格奖励的采购数量
与普通数量折扣价格奖励计划相对应，特殊数量折扣价格奖励计划（Noninclusive Quantity Discount-Price-Incentive Plan）指所降低的报价或者优惠的价格仅仅适用于数量折扣范围内的产品。通过文献检索，虽然研究不同情况下的最优订货策略的相关文献较多，但是对于特殊数量折扣价格奖励计划这种问题的讨论还没有见到相关文献资料。因为这种优惠仅仅是对于超过某一数量或价格的超过量而言，所以认为这是一种“增量”的优惠。
对于这种“增量”优惠采购模型，由于不同的数量所采用的价格不同，使用通常的求解经济采购批量的方法是不可行的。
1.一个分解点问题求解的“反复试算法”
为了简单起见，首先设该问题下只有一个折扣分界点。那么该折扣分解点将采购区间分割为两个区间：
如果采购量位于第一个采购区间，即：采购量Q∈(0,Q1)时，则采购价格为P1；
如果采购量位于第二个采购区间，即：采购量Q∈[Q1,+∞]时，则可以根据采购价格的不同，将采购量可以分为两部分：（1）对于采购量Q+Q1，采购价格为P1；（2）对于采购量=(Q-Q1)，采购价格为P2。则对于采购量为Q的产品而言，其平均采购价格为：
由于P1、P2和Q1是已知的常量，所以可得：当采购量大于折扣点采购数量时，平均价格是采购数量的函数，即：＝f(Q)。同时，可知：随着Q的增加，平均采购价格是递减的。
设全年购买量不变，为常量D。每次采购成本为K，单位货物的年库存成本为C。如果每次采购数量为Q，根据总成本公式可知：购入成本为×D；采购成本为；库存成本为。那么，随着Q的增加，购入成本递减，采购成本递减，而库存成本递增，这体现了物流成本的悖反规律。
根据物流总成本最小的原则，可以通过“反复试算法”(Trial And Errors)来找到问题的答案。对于不同的采购批量Qi,总成本为:
(2)
如果单位货物的年库存成本和采购价格为线性关系，设单位货物的年库存成本率为f，即C+P×f，则库存成本为。那么，式（2）可以写成：
(3)
例1是反复试算法的应用。
例1：某商品每年的预计需求量稳在2600个。采购订单的准备成本为每订单10元，库存持有成本每年为20％。供应商提出两种报价：采购量小于500个时，价格为5元/个；如果采购量大于或等于500个，则对多于500的数量价格优惠5%，求解最佳订货量。
解：我们可以求出对应于不同采购量的平均价格，然后求出对应的总成本。为了计算方便，从300开始试算，并以100为步长向前移动。可得如表1所示：
通过计算可知：最优采购数量为900。最小总成本为13183。
反复试算法将库存问题变成了离散型的，这种方法虽然能基本解决问题，但这种解决方法是近似的。是不是还有更加准确的解呢？
2.一般情形
如果有n个折扣点Q1,Q2,…,Qt,…,Qn将整个采购数量分割为（n+1)个折扣区间，(p1,p2,…,pt,…,pn,pn+1)分别对应于第1个、第2个一直到第n+1个区间的折扣价格。可以用表2如下：
由于第1个折扣区间一般是没有折扣的，采购价格等于原价格。所以，当采购数量Q位于第t个折扣区间，即：Qt-1≤Q
持有成本=P1×Q1+P2×(Q2-Q1)+P3×(Q3-Q2)+……+Pt-1×(Qt-1-Qt-2)+Pt×(Q-Qt-1)
=(P1-P2)×Q1+(P2-P3)×Q2+……+(Pt-1-Pt)×Qt-1+Pt×Q
因此，平均价格
(4)
由于：在给定问题中，Pi(i=1,2,…,n)，Qi(i=1,2,…,n) 均为常数，所以，设：
Nt=(P1-P2)×Q1+(P2-P3)×Q2+……+(Pt-1-Pt)×Qt-1
=(pi-Pi+1)×Qi
=常数， (5)
则：平均价格（当t=1时，N1=1）。(6)
通过推导，可得最优采购数量：
。 (7）
因为：采购总成本=持有成本+采购成本+库存成本，所以，如果采购数量Q位于第t个采购区间，则采购总成本TCt为：
(8)
对应于该区间最优采购数量Q*t，则用Q*t代替上式中的Q，即可计算出年最小总成本，即：
(9)
例2：现求解例1的精确解。
已知：D=2600,Q1=500,K=10,f=20%,P2=5×(1-5%)=4.75。
则可得：N=(P1-P2)×Q1=125。
所以：(个)。
计算当Q=860时，平均价格为。
所对应的总成本为：
这样，我们可以求出更加精确的值，使得总成本达到最小化。
例3:设年采购总额D=20000,每次采购成本K=200,单位货物年存储费率f=0.2,在特殊数量折扣价格奖励计划下进行采购，对应于不同的采购数量享受的价格优惠如表3所示。求最优的采购策略。
解:(1)计算第1区间的最优采购数量:;计算第2区间的最优采购数量：
因为N2=(P1-P2)×Qt=4000,
所以
(同理可求:N3=10000,N4=18000,N5=38000;Q*3=11292,Q*4=16125)
因此直接求解第5区间的最优采购数量。
(2)最后区间（即第5区间）的最优采购数量；
由于27641>5000，且27641>D=20000，所以，求解对应于不同采购数量的采购总成本。
(3)求解总成本
因为N3=10000,N4=18000,N5=38000;
所以，同理可得：
TC*3=357133,TC*4=326949。
TC*5(Q*5=27641)
＝259081；
∵TC*(D=20000)=262000最小,
∴最优采购策略为一次性采购20000单位产品。
三、结论
由于条件的变化，特殊数量折扣价格奖励计划的最优采购数量的确定，不能直接套用基本经济订货批量模型。本文根据经济订货批量模型的求解方法，通过函数分析，确定了该种情况下最优采购数量的计算模型，并通过实例，比较了该模型和反复试算法的不同。该方法可以使得最优数量的确定更加精确，并为实际问题的求解提供了一种思路和方法。
参考文献：
[1]Ronald H.Ballou,王晓东 胡瑞娟译:企业物流管理—供应链的规划、组织和控制[M].北京:机械工业出版社,2002:338～339
[2]中国商业技师协会,市场营销专业委员会:职业教育专业委员会编写[M].现代物流管理基础与实务,2003(5):232～233
[3]邓 英:数量折扣下经济订货批量的探讨[J].长沙民政职业技术学院学报,2004(11):44～46
[4]李安周:批量优惠条件下的经济订货批量模型[J].统计与决策.2005(12s):13～13
[5]傅珏生 解 燕:经济订货批量公式的一个注解[J].数理统计与管理.2006,25(2):166～169
[6]蒋惠园 程小飞:经济订货批量（EOQ）数学模型研究[J].武汉理工大学学报:交通科学与工程版,2003,27(4):525～527,539
[7]费 蓉 崔杜武 张淳民 刘萍萍:一类随机性EOQ模型的关键路径存储策略[J].西安交通大学学报,2008,42(4):431～435
[8]孙润田 魏兰阁:经济订货批量模型的探讨[J].商场现代化.2007(12s):44～44