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一、填空题
1.某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为.
2.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a-1>0”发生的概率为.
3.某单位有200名职工，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1～5号，6～10号，…，196～200号）.若第5组抽出的号码为23，则第8组抽出的号码应是.
4.某算法的伪代码如图所示，若输出y的值为3，则输入x的值为.
Read x
Ifx≤0Then
y←x+2
Else
y←log2x
End If
Print y
5.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员第一次第二次第三次第四次第五次
甲8791908993
乙8990918892
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为.
6.已知一个算法如图，则输出结果为.
a←1
b←1
For n From 3 To 10
m←b
b←a+b
a←m
End For
Print b
7.从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是.
8.若执行图中的流程图，输入N=13，则输出的S等于.
9.甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{3，4，5，6}，若|a-b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为.
10.已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为.
11.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有种.
12.图（1）是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.图（2）是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是.
13.设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为6364，则事件A恰好发生一次的概率为 .
14.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为.
二、解答题
15.已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2+2cosθ，
y=2sinθ（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ+π4）=22.
（1）求曲线C在极坐标系中的方程;
（2）求直线l被曲线C截得的弦长.
16.一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的.学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答.小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表如下：
得分（分）4045505560
百分率15%10%25%40%10%
现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析.
（1）应抽取多少张选择题得60分的试卷？
（2）若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率.
17.已知向量e1=1
1是二阶矩阵M=a1
0b的属于特征值λ1=2的一个特征向量.
（1）求矩阵M;
（2）若a=2
1，求M10a.
18.（本小题满分16分）某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并采用茎叶图表示本次测试30人的跳高成绩（单位：cm），跳高成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，跳高成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”.
（1）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少？
（2）若从甲队178cm（包括178cm）以上的6人中抽取2人，则至少有一人在186cm以上（包括186cm）的概率为多少？
19.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
20.（本小题满分16分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差V（X）.
参考答案
1.解析：由题意，应采用分层抽样，则高中二年级被抽取的人数为320×200400+320+280=64.
2.解析：因为0≤a≤1，由3a-1>0得13<a≤1，由几何概型的概率公式得，事件“3a-1>0”发生的概率为1-131=23.
3.解析：由题意易知系统抽样的间隔为5，设第一段中抽取的起始的个体编号为x，由第5组抽出的号码为23得x+4×5=23，所以x=3，故第8组抽出的号码是3+7×5=38.
4.解析：所给算法伪代码的意义是求函数y=x+2，x≤0，
log2x，x>0的值，当输出y的值为3，若输入的x≤0，则x+2=3，解得x=1，不合题意，舍去;若输入的x>0，则log2x=3，解得x=8.综上所述，输入x的值为8.
5.解析：对于甲，平均成绩为x=90，
所以方差为s2=15×[（87-90）2+（91-90）2+（90-90）2+（89-90）2+（93-90）2]=4;
对于乙，平均成绩为x=90，
方差为s2=15×[（89-90）2+（90-90）2+（91-90）2+（88-90）2+（92-90）2]=2.
由于2<4，所以乙的平均成绩较为稳定.
6.解析：初始值a=1，b=1，n=3.第一次循环：b=2，a=1，n=4;第二次循环：b=3，a=2，n=5;第三次循环：b=5，a=3，n=6;第四次循环：b=8，a=5，n=7;第五次循环：b=13，a=8，n=8;第六次循环：b=21，a=13，n=9;第七次循环：b=34，a=21，n=10;第八次循环：b=55，a=34，退出循环，输出b的值为55.
7.解析：从{1，2，3，4，5}中选取一个数a有5种取法，从{1，2，3}中选取一个数b有3种取法.所以选取两个数a，b共有5×3=15个基本事件.满足b>a的基本事件共有3个.因此b>a的概率P=315=15.
8.解析：由题意知，输出的S=11×2+12×3+…+112×13=（1-12）+（12-13）+…+（112-113）=1-113=1213.
9.解析：甲、乙两人猜想的数字记为（a，b），共有16个不同的结果，分别为（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），其中满足|a-b|≤1的共有10个不同结果：（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），故甲、乙两人“心有灵犀”的概率为P=1016=58.
10.解析：n=1，3≤2x+1≤19;
n=2，7≤2x+1≤39;
n=3，15≤2x+1≤79，∴输出x∈[15，79]，
所以55≤x≤79的概率为P=79-5579-15=2464=38.
11.解析：三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43-33=37种.
12.解析：从算法流程图可知，该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数.从茎叶图可知输出的结果为10.
13.解析：假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B（3，p），则有1-（1-p）3=6364，得p=34，则事件A恰好发生一次的概率为C13×34×（1-34）2=964.
14.解析：核潜艇排列数为A22，6艘舰艇任意排列的排列数为A66，同侧均是同种舰艇的排列数为A33A33×2，则舰艇分配方案的方法数为A22（A66-A33A33×2）=1296.
15.解：（1）由已知得，曲线C的普通方程为（x-2）2+y2=4，
即x2+y2-4x=0，化为极坐标方程是ρ=4cosθ.
（2）由题意知，直线l的直角坐标方程为x+y-4=0，
由x2+y2-4x=0，
x+y=4，得直线l与曲线C的交点坐标为（2，2），（4，0），所以所求弦长为22.
16.解：（1）得60分的人数为40×10%=4.
设抽取x张选择题得60分的试卷，则2040=x4，
则x=2，故应抽取2张选择题得60分的试卷.
（2）设小张的试卷为a1，另三名得60分的同学的试卷为a2，a3，a4，所有抽取60分试卷的方法为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，故小张的试卷被抽到的概率为P=36=12.
17.解：（1）依题意，Me1=λ1e1，
即a1
0b1
1=21
1，
∴a+1=2，
b=2，∴a=1，b=2.
∴M=11
02.
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2），
∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1. 设e2=x
y是矩阵M属于特征值λ2=1的一个特征向量，则11
02x
y=x
y，∴x+y=x，
2y=y，取x=1，得e2=1
0，
∴a=e1+e2，∴M10a=M10e1+M10e2=λ101e1+λ102e2=2101
1+1101
0=1025
1024.
18.解：（1）根据茎叶图可知，30人中有12人“合格”，有18人“不合格”.用分层抽样的方法，则5人中“合格”与“不合格”的人数分别为2人、3人.
（2）甲队178cm（包括178cm）以上的6人中抽取2人的基本事件为（178，181），（178，182），（178，184），（178，186），（178，191），（181，182），（181，184），（181，186），（181，191），（182，184），（182，186），（182，191），（184，186），（184，191），（186，191），共15个.
其中都不在186cm以上的基本事件为（178，181），（178，182），（178，184），（181，182），（181，184），（182，184），共6个.
所以都不在186cm以上的概率P=615=25，由对立事件的概率公式得，至少有一人在186cm以上（包括186cm）的概率为1-P=1-25=35.
19.解：（1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P（A）=C13·C27+C03·C37C310=4960.
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.
（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.
P（X=k）=Ck4·C3-k6C310（k=0，1，2，3）.
所以，随机变量X的分布列是
X0123
P1612310130
随机变量X的数学期望
E（X）=0×16+1×12+2×310+3×130=65.
20.解：（1）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此
P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，
P（A2）=0.003×50=0.15，
P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
（2）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为
P（X=0）=C03·（1-0.6）3=0.064，
P（X=1）=C13·0.6（1-0.6）2=0.288，
P（X=2）=C23·0.62（1-0.6）=0.432，
P（X=3）=C33·0.63=0.216.
X的分布列为
X0123
P0.0640.2880.4320.216
因为X～B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=18，方差V（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72.
（作者：殷高荣，如皋市教育局教研室）
1.某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为.
2.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a-1>0”发生的概率为.
3.某单位有200名职工，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1～5号，6～10号，…，196～200号）.若第5组抽出的号码为23，则第8组抽出的号码应是.
4.某算法的伪代码如图所示，若输出y的值为3，则输入x的值为.
Read x
Ifx≤0Then
y←x+2
Else
y←log2x
End If
Print y
5.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员第一次第二次第三次第四次第五次
甲8791908993
乙8990918892
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为.
6.已知一个算法如图，则输出结果为.
a←1
b←1
For n From 3 To 10
m←b
b←a+b
a←m
End For
Print b
7.从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是.
8.若执行图中的流程图，输入N=13，则输出的S等于.
9.甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{3，4，5，6}，若|a-b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为.
10.已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为.
11.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有种.
12.图（1）是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.图（2）是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是.
13.设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为6364，则事件A恰好发生一次的概率为 .
14.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为.
二、解答题
15.已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2+2cosθ，
y=2sinθ（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ+π4）=22.
（1）求曲线C在极坐标系中的方程;
（2）求直线l被曲线C截得的弦长.
16.一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的.学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答.小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表如下：
得分（分）4045505560
百分率15%10%25%40%10%
现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析.
（1）应抽取多少张选择题得60分的试卷？
（2）若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率.
17.已知向量e1=1
1是二阶矩阵M=a1
0b的属于特征值λ1=2的一个特征向量.
（1）求矩阵M;
（2）若a=2
1，求M10a.
18.（本小题满分16分）某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并采用茎叶图表示本次测试30人的跳高成绩（单位：cm），跳高成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，跳高成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”.
（1）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少？
（2）若从甲队178cm（包括178cm）以上的6人中抽取2人，则至少有一人在186cm以上（包括186cm）的概率为多少？
19.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
20.（本小题满分16分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差V（X）.
参考答案
1.解析：由题意，应采用分层抽样，则高中二年级被抽取的人数为320×200400+320+280=64.
2.解析：因为0≤a≤1，由3a-1>0得13<a≤1，由几何概型的概率公式得，事件“3a-1>0”发生的概率为1-131=23.
3.解析：由题意易知系统抽样的间隔为5，设第一段中抽取的起始的个体编号为x，由第5组抽出的号码为23得x+4×5=23，所以x=3，故第8组抽出的号码是3+7×5=38.
4.解析：所给算法伪代码的意义是求函数y=x+2，x≤0，
log2x，x>0的值，当输出y的值为3，若输入的x≤0，则x+2=3，解得x=1，不合题意，舍去;若输入的x>0，则log2x=3，解得x=8.综上所述，输入x的值为8.
5.解析：对于甲，平均成绩为x=90，
所以方差为s2=15×[（87-90）2+（91-90）2+（90-90）2+（89-90）2+（93-90）2]=4;
对于乙，平均成绩为x=90，
方差为s2=15×[（89-90）2+（90-90）2+（91-90）2+（88-90）2+（92-90）2]=2.
由于2<4，所以乙的平均成绩较为稳定.
6.解析：初始值a=1，b=1，n=3.第一次循环：b=2，a=1，n=4;第二次循环：b=3，a=2，n=5;第三次循环：b=5，a=3，n=6;第四次循环：b=8，a=5，n=7;第五次循环：b=13，a=8，n=8;第六次循环：b=21，a=13，n=9;第七次循环：b=34，a=21，n=10;第八次循环：b=55，a=34，退出循环，输出b的值为55.
7.解析：从{1，2，3，4，5}中选取一个数a有5种取法，从{1，2，3}中选取一个数b有3种取法.所以选取两个数a，b共有5×3=15个基本事件.满足b>a的基本事件共有3个.因此b>a的概率P=315=15.
8.解析：由题意知，输出的S=11×2+12×3+…+112×13=（1-12）+（12-13）+…+（112-113）=1-113=1213.
9.解析：甲、乙两人猜想的数字记为（a，b），共有16个不同的结果，分别为（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），其中满足|a-b|≤1的共有10个不同结果：（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），故甲、乙两人“心有灵犀”的概率为P=1016=58.
10.解析：n=1，3≤2x+1≤19;
n=2，7≤2x+1≤39;
n=3，15≤2x+1≤79，∴输出x∈[15，79]，
所以55≤x≤79的概率为P=79-5579-15=2464=38.
11.解析：三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43-33=37种.
12.解析：从算法流程图可知，该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数.从茎叶图可知输出的结果为10.
13.解析：假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B（3，p），则有1-（1-p）3=6364，得p=34，则事件A恰好发生一次的概率为C13×34×（1-34）2=964.
14.解析：核潜艇排列数为A22，6艘舰艇任意排列的排列数为A66，同侧均是同种舰艇的排列数为A33A33×2，则舰艇分配方案的方法数为A22（A66-A33A33×2）=1296.
15.解：（1）由已知得，曲线C的普通方程为（x-2）2+y2=4，
即x2+y2-4x=0，化为极坐标方程是ρ=4cosθ.
（2）由题意知，直线l的直角坐标方程为x+y-4=0，
由x2+y2-4x=0，
x+y=4，得直线l与曲线C的交点坐标为（2，2），（4，0），所以所求弦长为22.
16.解：（1）得60分的人数为40×10%=4.
设抽取x张选择题得60分的试卷，则2040=x4，
则x=2，故应抽取2张选择题得60分的试卷.
（2）设小张的试卷为a1，另三名得60分的同学的试卷为a2，a3，a4，所有抽取60分试卷的方法为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，故小张的试卷被抽到的概率为P=36=12.
17.解：（1）依题意，Me1=λ1e1，
即a1
0b1
1=21
1，
∴a+1=2，
b=2，∴a=1，b=2.
∴M=11
02.
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2），
∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1. 设e2=x
y是矩阵M属于特征值λ2=1的一个特征向量，则11
02x
y=x
y，∴x+y=x，
2y=y，取x=1，得e2=1
0，
∴a=e1+e2，∴M10a=M10e1+M10e2=λ101e1+λ102e2=2101
1+1101
0=1025
1024.
18.解：（1）根据茎叶图可知，30人中有12人“合格”，有18人“不合格”.用分层抽样的方法，则5人中“合格”与“不合格”的人数分别为2人、3人.
（2）甲队178cm（包括178cm）以上的6人中抽取2人的基本事件为（178，181），（178，182），（178，184），（178，186），（178，191），（181，182），（181，184），（181，186），（181，191），（182，184），（182，186），（182，191），（184，186），（184，191），（186，191），共15个.
其中都不在186cm以上的基本事件为（178，181），（178，182），（178，184），（181，182），（181，184），（182，184），共6个.
所以都不在186cm以上的概率P=615=25，由对立事件的概率公式得，至少有一人在186cm以上（包括186cm）的概率为1-P=1-25=35.
19.解：（1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P（A）=C13·C27+C03·C37C310=4960.
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.
（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.
P（X=k）=Ck4·C3-k6C310（k=0，1，2，3）.
所以，随机变量X的分布列是
X0123
P1612310130
随机变量X的数学期望
E（X）=0×16+1×12+2×310+3×130=65.
20.解：（1）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此
P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，
P（A2）=0.003×50=0.15，
P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
（2）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为
P（X=0）=C03·（1-0.6）3=0.064，
P（X=1）=C13·0.6（1-0.6）2=0.288，
P（X=2）=C23·0.62（1-0.6）=0.432，
P（X=3）=C33·0.63=0.216.
X的分布列为
X0123
P0.0640.2880.4320.216
因为X～B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=18，方差V（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72.
（作者：殷高荣，如皋市教育局教研室）