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教学内容 鲁教版第八册(下)第八章证明(三)第四节中位线定理(第一课时)
教学设计理念 现代的数学教学，在备课、上课过程中要一切从学生出发，放手让学生去探究、去说、去做，以达到培养学生动脑、动手的习惯；注重培养学生概括问题、归纳问题的能力；鼓励学生发现问题、敢于质疑；使学生在探索争鸣中学会合作、学会倾听、学会表达.让学生在活动中学习，又在学习中活动.
教学目标分析 根据《数学课程标准》的要求及学生实际，学生通过本节课的学习，要达到以下三维目标：
知识与技能目标：
知道三角形中位线定理的内容并能用综合法予以证明；会应用三角形中位线定理进行推理；
过程与方法：
经历探索、猜想、证明三角形中位线定理的过程，发展推理论证能力；经历应用三角形中位线定理的过程，获得证明线段平行、线段相等的重要方法；
情感态度价值观：
通过学习培养学生探究意识、合作精神，增强学生的自我效能感，体会逻辑推理的严密性，感受数学美.
教学重点与难点
重点：三角形中位线定理的推导过程.
难点：三角形中位线定理的熟练运用.
教学过程
(一)创设情境，激发兴趣
问题1 有一池塘(如图1)岸边设有两观测点A、B，不能直接到达，现需在它们之间接一电话线，请你设法测出A、B之间的距离.
学生首先根据已有知识进行自主学习，然后再分组讨论，合作交流，提出如下方法：
生1：如图2，在池塘旁边选取一点C，使它均能直接到达观测点A、B，且∠CAB=90°，然后量出AC、BC的距离，利用勾股定理得出：AB=BC2-AC2.
生2：如图3，在池塘旁边选取一点C，使它均能直接到达观测点A、B，在A、B上各取一点D、E，利用测角仪，使∠BAC=∠EDC.那么有△DEC∽△ABC，再量出CA、CD、DE的长，利用DEAB=CDCA可求AB=CDCA·DE.
教师充分肯定学生自主学习、合作交流的成果，学生数学学习的积极性得到认可，受到鼓励，从而进一步努力探索新知.
教学策略说明 教学中，教师一方面要尽可能让学生找到数学概念在生活中的原型；另一方面要创造条件使学生能够用学到的数学知识去解读日常生活中的数学现象，并能解决一些实际问题.要让学生在情境中学习、在情境中掌握，通过创设情境也能更好的激发学生学习兴趣和求知欲.
(二)引入新课，合作探究
教师：把生2的设计改进一下，即：若在AC、BC上取中点D、E，那么只要量出DE的长就能得到AB的长.(设置悬念)
教师介绍三角形中位线的概念，并提醒学生注意三角形的中位线与中线的区别.
教师：如图4，△ABC的中位线DE与第三边AB有什么数量关系?你能证明吗?
学生思考、猜想DE与AB的数量关系；然后，教师组织学生按学习小组进行合作学习，教师参与小组讨论，倾听学生分析并作必要引导；学生利用学习小组互相讨论交流获得新知.
教师肯定各小组合作学习的过程，把小组合作学习的成果汇集如下：
小组1：通过测量可得：则DE=12AB.
小组2：如图5，利用截长补短法，延长DE到F，使EF=DE，连结BF.可证DE是AB的一半.(证略)
教师：中位线DE与第三边AB还有什么关系?
小组3：如图5，从四边形DABF是平行四边形中，还可以看出DE与AB的位置关系是平行.(证略)
在各小组得到以上几种不同结论的基础上，教师总结归纳：三角形中位线定理的内容.
指出：此定理为解决问题1找到更简捷解决办法.
教学策略说明 教师在课堂上按照预设的学习小组，采用合作探究、合作交流的学习方式，有利于提高学生主动参与、乐于探究、勤于思考的学习情趣，符合‘以学生发展为本’的新课改理念.同时教师要注意做到分组合理，学生个体思考为先，足够的时间讨论为后，真正发挥自主探索和合作交流的效能；为了保证每个个体思考的时间与空间，要鼓励学生进行课后的自主探究与合作交流.
(三)独立思考，应用新知
问题2 求证三角形中一条中位线与第三边上的中线互相平分.(教材p.93习题8.8第2题)
教师引导学生写出已知、求证.
已知：如图6，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点.
求证：AF与DE互相平分.
教师先请同学上黑板板演，同时巡视指导，帮助学困学生作出辅助线，解答个别学生的疑难，然后师生共同评价板演同学的证明过程.
教师总结：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
问题3 已知△ABC中，D、E、F分别为三边的中点. 若△ABC的周长为16，面积为40，求△DEF的周长和面积.
教师先请同学上黑板板演，同时巡视，指导学困学生的疑难，然后师生共同评价板演同学的解答过程.
教师总结：连结三角形各边中点组成的三角形与原三角形相似，相似比为1∶2.
教学策略说明 教师在课堂教学中，应努力营造一种民主、平等、和谐的课堂氛围，要积极鼓励学生参与学习，鼓励学生质疑问难、发表不同见解，鼓励学生主动上黑板板演，敢于与老师、同学争论，使每位学生不担心自己的意见被批评，而是被倾听、被补充完善，使学生得到他人肯定，获得新知，增强自我效能感.
(四)知识延伸，拓展探究
图7问题4 如图7，任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新四边形的形状有什么特征?请与同伴交流并证明你们的结论.(教材p.93做一做)
教师引导学生画图、猜想(四边形EFGH是否为平行四边形)、测量验证(两组对边是否分别相等)、添加辅助线(连接一条对角线)、证明(一组对边平行且相等)、交流讨论.
生3：四边形EFGH是平行四边形.
理由：连结AC，
在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，所以EF平行且等于12AC，在△DAC中，H、G分别是AD、DC的中点，所以HG平行且等于12AC，所以四边形EFGH是平行四边形.
教师归纳：这位同学把四边形转化为三角形问题解决，这是一种很重要的数学转化思想，同学们应该掌握.
教师进一步提出问题：当AC=BD时，中点四边形EFGH有什么特点呢?
生4：此时EF=12AC，EH=12BD，所以EF=EH，所以平行四边形EFGH是菱形.
教师：当原四边形对角线满足什么条件时，中点四边形是矩形、正方形呢?
生5：当原四边形对角线互相垂直时，中点四边形是矩形.
生6：当原四边形对角线相等且互相垂直时，中点四边形是正方形.
教师总结：中点四边形的形状与原四边形对角线有关.
教学策略说明 教师在课堂上要尽可能给学生多一点表现自己的机会，多一点体验成功的愉快，充分让学生表达自己的观点，当课堂上学生的解题出现错误时，教师不要急于作出评价，而是充分暴露学生的错误思维过程，要巧妙的利用学生的错误答案，引导他们进行验证，从而加深对数学知识的理解.
(五)师生小结，知识内化
学生谈本节课的收获，教师倾听并予以补充.
教学策略说明 学生及时回顾本节课所学的知识，在原知识结构上构建新知识，形成体系.
(六)分层作业，巩固提高
1.必做题：写出三角形中位线定理的内容；p.93随堂练习12.
2.选做题：p.93习题8.8：1或3.
教学策略说明 分层布置作业，让全体学生在本节课中都有收获.
(七)课后反思，教有所得
本节课围绕三角形的中位线进行探究式学习，通过了解三角形中位线的概念，探究得出三角形中位线性质定理，进一步拓展出中点四边形的特性.在这节课中，教师组织学生进行自主学习、合作学习和探究学习；实施了课堂教学的各个环节，这既符合初三学生的认知特点，也有利于培养学生主动参与、勤于思考、乐于探究数学问题的兴趣.教学中学生通过探究新知识的形成过程，享受研究、学习数学的快乐，因此课堂气氛活跃，师生交流融洽，能取得较好的教学效果.
教学设计意图说明：
1.为了便于学生接受，设计本节课时对教材内容进行了部分调整.教学过程采用探究式教学法，利用“创设情景——合作探究——知识运用——拓展延伸”的教学模式进行教学.
2.学生以合作探究学习的方式进行学习.在教学中采用引导发现、学生自主学习、合作交流学习等学习方法.利用学案引导学生逐步实现自我价值，获得成功、受到激励.
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教学设计理念 现代的数学教学，在备课、上课过程中要一切从学生出发，放手让学生去探究、去说、去做，以达到培养学生动脑、动手的习惯；注重培养学生概括问题、归纳问题的能力；鼓励学生发现问题、敢于质疑；使学生在探索争鸣中学会合作、学会倾听、学会表达.让学生在活动中学习，又在学习中活动.
教学目标分析 根据《数学课程标准》的要求及学生实际，学生通过本节课的学习，要达到以下三维目标：
知识与技能目标：
知道三角形中位线定理的内容并能用综合法予以证明；会应用三角形中位线定理进行推理；
过程与方法：
经历探索、猜想、证明三角形中位线定理的过程，发展推理论证能力；经历应用三角形中位线定理的过程，获得证明线段平行、线段相等的重要方法；
情感态度价值观：
通过学习培养学生探究意识、合作精神，增强学生的自我效能感，体会逻辑推理的严密性，感受数学美.
教学重点与难点
重点：三角形中位线定理的推导过程.
难点：三角形中位线定理的熟练运用.
教学过程
(一)创设情境，激发兴趣
问题1 有一池塘(如图1)岸边设有两观测点A、B，不能直接到达，现需在它们之间接一电话线，请你设法测出A、B之间的距离.
学生首先根据已有知识进行自主学习，然后再分组讨论，合作交流，提出如下方法：
生1：如图2，在池塘旁边选取一点C，使它均能直接到达观测点A、B，且∠CAB=90°，然后量出AC、BC的距离，利用勾股定理得出：AB=BC2-AC2.
生2：如图3，在池塘旁边选取一点C，使它均能直接到达观测点A、B，在A、B上各取一点D、E，利用测角仪，使∠BAC=∠EDC.那么有△DEC∽△ABC，再量出CA、CD、DE的长，利用DEAB=CDCA可求AB=CDCA·DE.
教师充分肯定学生自主学习、合作交流的成果，学生数学学习的积极性得到认可，受到鼓励，从而进一步努力探索新知.
教学策略说明 教学中，教师一方面要尽可能让学生找到数学概念在生活中的原型；另一方面要创造条件使学生能够用学到的数学知识去解读日常生活中的数学现象，并能解决一些实际问题.要让学生在情境中学习、在情境中掌握，通过创设情境也能更好的激发学生学习兴趣和求知欲.
(二)引入新课，合作探究
教师：把生2的设计改进一下，即：若在AC、BC上取中点D、E，那么只要量出DE的长就能得到AB的长.(设置悬念)
教师介绍三角形中位线的概念，并提醒学生注意三角形的中位线与中线的区别.
教师：如图4，△ABC的中位线DE与第三边AB有什么数量关系?你能证明吗?
学生思考、猜想DE与AB的数量关系；然后，教师组织学生按学习小组进行合作学习，教师参与小组讨论，倾听学生分析并作必要引导；学生利用学习小组互相讨论交流获得新知.
教师肯定各小组合作学习的过程，把小组合作学习的成果汇集如下：
小组1：通过测量可得：则DE=12AB.
小组2：如图5，利用截长补短法，延长DE到F，使EF=DE，连结BF.可证DE是AB的一半.(证略)
教师：中位线DE与第三边AB还有什么关系?
小组3：如图5，从四边形DABF是平行四边形中，还可以看出DE与AB的位置关系是平行.(证略)
在各小组得到以上几种不同结论的基础上，教师总结归纳：三角形中位线定理的内容.
指出：此定理为解决问题1找到更简捷解决办法.
教学策略说明 教师在课堂上按照预设的学习小组，采用合作探究、合作交流的学习方式，有利于提高学生主动参与、乐于探究、勤于思考的学习情趣，符合‘以学生发展为本’的新课改理念.同时教师要注意做到分组合理，学生个体思考为先，足够的时间讨论为后，真正发挥自主探索和合作交流的效能；为了保证每个个体思考的时间与空间，要鼓励学生进行课后的自主探究与合作交流.
(三)独立思考，应用新知
问题2 求证三角形中一条中位线与第三边上的中线互相平分.(教材p.93习题8.8第2题)
教师引导学生写出已知、求证.
已知：如图6，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点.
求证：AF与DE互相平分.
教师先请同学上黑板板演，同时巡视指导，帮助学困学生作出辅助线，解答个别学生的疑难，然后师生共同评价板演同学的证明过程.
教师总结：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
问题3 已知△ABC中，D、E、F分别为三边的中点. 若△ABC的周长为16，面积为40，求△DEF的周长和面积.
教师先请同学上黑板板演，同时巡视，指导学困学生的疑难，然后师生共同评价板演同学的解答过程.
教师总结：连结三角形各边中点组成的三角形与原三角形相似，相似比为1∶2.
教学策略说明 教师在课堂教学中，应努力营造一种民主、平等、和谐的课堂氛围，要积极鼓励学生参与学习，鼓励学生质疑问难、发表不同见解，鼓励学生主动上黑板板演，敢于与老师、同学争论，使每位学生不担心自己的意见被批评，而是被倾听、被补充完善，使学生得到他人肯定，获得新知，增强自我效能感.
(四)知识延伸，拓展探究
图7问题4 如图7，任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新四边形的形状有什么特征?请与同伴交流并证明你们的结论.(教材p.93做一做)
教师引导学生画图、猜想(四边形EFGH是否为平行四边形)、测量验证(两组对边是否分别相等)、添加辅助线(连接一条对角线)、证明(一组对边平行且相等)、交流讨论.
生3：四边形EFGH是平行四边形.
理由：连结AC，
在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，所以EF平行且等于12AC，在△DAC中，H、G分别是AD、DC的中点，所以HG平行且等于12AC，所以四边形EFGH是平行四边形.
教师归纳：这位同学把四边形转化为三角形问题解决，这是一种很重要的数学转化思想，同学们应该掌握.
教师进一步提出问题：当AC=BD时，中点四边形EFGH有什么特点呢?
生4：此时EF=12AC，EH=12BD，所以EF=EH，所以平行四边形EFGH是菱形.
教师：当原四边形对角线满足什么条件时，中点四边形是矩形、正方形呢?
生5：当原四边形对角线互相垂直时，中点四边形是矩形.
生6：当原四边形对角线相等且互相垂直时，中点四边形是正方形.
教师总结：中点四边形的形状与原四边形对角线有关.
教学策略说明 教师在课堂上要尽可能给学生多一点表现自己的机会，多一点体验成功的愉快，充分让学生表达自己的观点，当课堂上学生的解题出现错误时，教师不要急于作出评价，而是充分暴露学生的错误思维过程，要巧妙的利用学生的错误答案，引导他们进行验证，从而加深对数学知识的理解.
(五)师生小结，知识内化
学生谈本节课的收获，教师倾听并予以补充.
教学策略说明 学生及时回顾本节课所学的知识，在原知识结构上构建新知识，形成体系.
(六)分层作业，巩固提高
1.必做题：写出三角形中位线定理的内容；p.93随堂练习12.
2.选做题：p.93习题8.8：1或3.
教学策略说明 分层布置作业，让全体学生在本节课中都有收获.
(七)课后反思，教有所得
本节课围绕三角形的中位线进行探究式学习，通过了解三角形中位线的概念，探究得出三角形中位线性质定理，进一步拓展出中点四边形的特性.在这节课中，教师组织学生进行自主学习、合作学习和探究学习；实施了课堂教学的各个环节，这既符合初三学生的认知特点，也有利于培养学生主动参与、勤于思考、乐于探究数学问题的兴趣.教学中学生通过探究新知识的形成过程，享受研究、学习数学的快乐，因此课堂气氛活跃，师生交流融洽，能取得较好的教学效果.
教学设计意图说明：
1.为了便于学生接受，设计本节课时对教材内容进行了部分调整.教学过程采用探究式教学法，利用“创设情景——合作探究——知识运用——拓展延伸”的教学模式进行教学.
2.学生以合作探究学习的方式进行学习.在教学中采用引导发现、学生自主学习、合作交流学习等学习方法.利用学案引导学生逐步实现自我价值，获得成功、受到激励.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”