论文部分内容阅读
摘 要:一般而言,价格昂贵的设备的更新频率很低。这类设备由于更新成本很高,每次投资足以影响到企业的生存,因此对这一类设备更新问题的研究具有重大的理论和现实意义。本文讨论了这类问题的一种特殊情形,即三阶段离散时间的占线设备更新投资决策问题, 得到两个有趣的结论:通过最坏情形分析法证明了该问题的一个竞争比下界为2,并给出了一个竞争比为3的竞争策略。
关键词:三阶段设备更新;占线投资决策;竞争分析;竞争比
中图分类号:C934 文献标识码:A 文章编号:1003-5192(2009)05-0043-05
Competitive Analysis of Three Phases Online Device Replacement Problem
XIN Chun-lin1, MA Wei-min2, LIU Bing3
(1.School of Economics and Management, Beijing University of Chemical Technology, Beijing 100029, China; 2.School of Economics and Management, Tongji University, Shanghai 200092, China; 3.School of Management, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)
Abstract:Generally, the more expensive some-devices are, the lower frequency an enterprise replaces the device. Every investment affects operation and management of the enterprise for the replacement cost is very high. Thus it is of remarkable significance both on theory and practice for deep and systematic study on this class of device replacement problems. This paper analyzes a special case which is three phases online device replacement problem and gets two interesting results: a lower bound of 2 is obtained and we present a 3-competitive strategy.
Key words:three phases device replace problem; online investment; competitive analysis; competitive ratio
1 引言
Azar[1]等学者研究了离散时间的占线设备更新问题。该问题可以描述为某一个工厂接到生产订单,工厂必须投资购买设备来完成订单。假设生产订单陆续到来,同时市场不断推出更好的生产设备。当订单到来时工厂有两种选择方案:(1)继续使用原有的设备;(2)淘汰旧设备,购买新设备来完成该订单。优化目标是使工厂完成所有订单的总费用最小,其中包括投资成本(采购设备的价格)和完成订单生产的运行成本(比如水、电、原材料等等)。假设决策者只知道当前到达的订单情况和市场上现有的设备信息(比如设备价格和运行成本),而对订单和设备未来的信息一无所知的情形下做出决策,也就是说决策者必须以占线的方式来决策是否购买新设备以及何时购买。假设设备陆续到达的序列表示为Di(ti,bi,ri),其中,ti为第i台设备到来的时间;bi为购买第i台设备的成本(设备投资成本);ri为设备i生产单位产品的成本(运行成本)。订单是同质的,订单序列用订单到来的时间表示,例如第j个订单在离散时间tj=j,其中j是正整数。基本假设:
(1)在整数时间t,决策者可以购买任意一台已经出现的设备,并立即可以用购买的设备加工订单。
(2)当有新订单需求出现时,在线决策者必须立即生产1个单位的产品。即可以用现有的设备或购买新设备生产单位产品。
如果设备Di的运行成本和设备投资成本都要低于设备Dj,则称设备Di支配Dj。凸情形就是在设备序列中没有此类设备出现,即若bi≤bj则ri>rj。非凸情形就是除过凸型设备之外的所有设备,也就是说随着科技的进步,设备价格越来越低,其生产单位订单的成本也越来越低。对于凸情形问题Azar等人给出了6.828竞争的确定性算法并证明了非凸情形下没有常数竞争比。Damaschke[2]基于Azar等人的研究工作从订单序列到来为连续时间的角度建立了凸情形下两类特殊情形的投资更新模型,并给出相应的竞争比和下界。El-Yaniv和Karp[3]研究了更新成本为有界范围变化的连续函数的更新问题,分析了最优拒绝竞争策略的特征函数,给出了一些特殊情形下的竞争比上界和下界。文献[4]研究了两阶段占线设备更新问题。张宁[5]研究了设备故障次数与经济更新时间的关系。如果只考虑一台设备的更新情形则该问题等价于一个经典的雪橇租赁问题,即将运行成本视为每天的租赁价格,更新成本视为雪橇的购买价格。关于雪橇租赁问题及其扩展问题已经有不少的研究[6~11]。
本文的研究是基于以上几位学者的工作[1~4],讨论了三阶段离散时间占线设备更新。该问题是离散时间设备更新问题的一个特殊情形,也就是说仅有3台设备可供选择,并按照购买设备的时间将设备更新分成三个阶段完成。考虑两种情形:(1)已知3台设备的基本信息(运行成本和购买成本)和投放市场时间,该如何选择购买哪些设备以及购买设备的时间。(2)如果设备以占线方式到来,该如何决策设备的购买时机。现实生活中的情形对应于比如某企业在已经有了一条旧生产线的前提下,随着技术的进步出现了一种新的生产方式,使得生产成本降低但企业必须付出投资新生产线的成本,此时企业就必须决策该不该投资更新改造旧生产线,何时更新。情形(1)是离线问题,可以很容易得出结论,而情形(2)是占线问题,由于对未来设备和订单到达时间一无所知而难以处理。
占线问题又可称之为局内问题、在线问题或联机问题,与之对应的是离线问题、局外问题或脱机问题。所谓离线问题就是在输入完全已知的情况下所提出的问题,我们需要寻求一种优化算法来解决该问题的成本最优或利润最大。而在占线问题中,输入是事先不完全已知的,即占线问题就是一类输入的到来和输出的产生都必须是以占线方式进行的最优化问题。竞争比分析[12,13]就是在给出任何需求序列情况下,对占线算法的费用和最优算法的费用进行比较。对于成本最小化问题P给出如下竞争比的严格的定义。令costA(I)表示策略A对于问题实例I的费用。定义策略A对于费用问题P的竞争比为下面的值
inf{c|costA(I)≤r•costB(I),I∈P,B}
本文通过最坏情形分析法证明了该问题的一个竞争比下界为2,并给出了一个竞争比为3的竞争策略。
2 一个竞争比下界
针对该问题的特征将给出一个敌手下界。也就是首先构造一个特殊的设备序列和输入产量序列,给定任意一个占线策略A,然后由敌手设计输入一个产量序列,其长度根据策略A的选择而变。通常情况下按照步骤输入生产序列,每个步骤只输入有限几个或一个产品,使得策略A只能在有限的策略空间中进行决策。最后证明A在每一种选择情形下(对应于某个生产输入序列)所发生的成本都不小于最优的离线策略在该情形下成本的α倍。即策略A竞争比至少为α。由于策略A是任意一个占线策略,它在每一个步骤的策略空间实际等价于占线策略集合中所有策略的行动选择空间,因此可以判定问题的一个竞争比下界等于α。通过讨论出现的所有情形,可得如下结论:
定理1 三阶段占线设备更新问题的一个竞争比下界为2。
证明 考虑任意确定型算法A,假设敌手构造一个输入序列σ使得A获得的竞争比至少为α。不失一般性,假设敌手构造的设备序列实例为Di(ti,bi,ri),ri单调递减且bi>rj,其中i,j=1,2,3,t1=1。 进一步假设占线策略的策略集为在设备D2投放市场时生产了t1′单位的产品后才购买设备D2,设备D3投放市场时生产了t2′单位的产品后才购买设备D3。通过分别计算两个等式
情形1 t1≤n*1-1。该情形下由于设备D2和 D3间的生产量不满足临界产量,离线策略不会购买设备D2。按照设备D2投放市场后的生产量t1′分成两个子情形讨论如下:
子情形1 如果产量数t1′≤t1,则占线策略和离线策略都不会购买设备D2。下面只需要讨论设备D3的购买情况,可分成下列2种情形讨论:
(1)t2≤n*2-1情形,由于不满足临界产量,故离线策略不购买设备D3。
①如果产量数t2′≤t2,那么占线策略也不购买设备D3,由于前一阶段占线和离线策略都没买设备D1,因此竞争比显然是α11=1。
②如果产量数t2′>t2,那么占线策略在t2′处购买设备D3,如图1所示。
3 竞争分析
首先给出离线情形的一个简单特性。对于三阶段设备更新问题的离线情形,当设备在投入市场之初,离线最优解要么开始就购买设备,要么将永不购买。直观看来,当且仅当新设备所节约的运行成本大于采购成本,离线策略才会采购该新设备。
对于占线情形则占线策略可以在设备投入市场的任何时刻购买。通过计算可以求出设备D1与设备D2之间的临界产量为t*12=b2r1-r2,设备D1与设备D3之间的临界产量为t*13=b3r1-r3,设备D2与设备D3之间的临界产量为t*23=b3r2-r3。假设设备Di投入市场后的实际产量为ti,其中i=1,2,3。由于r1≥r3,故t*23≥t*13。由上述离线情形分析,给出一个基于临界产量的占线策略如下。
临界产量策略(Critical Value Strategy,简称CVS):市场投入一台新设备,当且仅当两台设备之间的产量超过其临界产量时,占线决策者选择购买该台新设备。
定理2 对于三阶段占线设备更新问题,CVS策略是竞争比为3的竞争策略。
证明 采用敌手分析法,也就是说怀有恶意却又诚实的敌手设计产量订单的输入序列和设备的到来时间,使得占线策略设计的策略给出的结果尽可能坏。因此,可以把占线策略给出的订单产量输入序列和临界产量之间的关系分成下列4种情形
情形1 如图5所示,其中t2≥t*12且t3≥t*23。在该情形下占线策略和离线策略都将购买设备D2和D3。如果离线成本为OPT,那么占线策略CRS下的成本和OPT比较而言,增加了购买的设备D2和D3的成本(OPT+b2+b3),显然竞争比为α1=OPT+b2+b3OPT<2。
情形2 t2≥t*12 且t3≤t*23。在该情形下占线策略和离线策略都将购买设备D2不买D3,如果离线成本为OPT,那么占线成本则为OPT+b2,竞争比为α1=OPT+b2OPT<2。
情形3 分成两个子情形
(1)t2t*13。在该情形下占线策略和对应的离线策略都将购买设备D2不买D3,如果离线成本为OPT,那么占线成本则为OPT+b3,竞争比为α1=OPT+b3OPT<2。
(2)t2>t*12 且t3>t*13 。离线对手给出的订单序列和设备序列,设备D1,D2,D3连续到来,且每两台设备间的订单为1,在该情形下占线策略将购买设备D2和D3,对应的离线策略仅购买设备D3,离线策略为了使竞争比尽可能坏,且仅当占线策略刚购买设备D3生产一个订单,离线对手就停止订单供应,即t2=t3+1。可知t3=t*12+t*23。那么离线成本为OPT=b1+2r1+b3+r3t3,占线成本则为ALG=b1+r1+r1t*12+b2+r2t*23+b3+r3,故该情形下的竞争比表示为
情形4t2 证毕。
4 结束语
本文运用竞争分析的思路研究了三阶段的设备更新投资问题。证明了一个竞争比的下界为2和给出一个竞争比为3的竞争策略。在文献[4]中证明了两阶段的设备更新问题的最优竞争比为2,所以猜想三阶段的设备更新问题的竞争比下界2不能改善。因此,考虑如何设计更优的竞争策略来改善竞争比的上界是下一步值得研究的方向。
另一方面,传统的竞争比分析从某种意义上说是一种最坏情形分析,它反映了占线策略与基准策略(离线最优策略)的相对绩效,但这种方法往往忽略了很多的有用信息且分析模型很不灵活。在经济管理问题中一个很重要的方面就是风险控制,如何通过引入风险回报模型,改善竞争分析的性能,决策者可以根据各自的风险容忍度选择最优的设备采购策略,这是下一步值得探讨的另一个研究方向。
参 考 文 献:
[1]Azar Y, Bartal Y, Feuerstein E, et al.. On capital investment[J]. Algorithmica, 1999, 25: 22-36.
[2]Damaschke P. Nearly optimal strategies for special cases of on-line capital investment[J]. Theoretical Computer Science, 2003, 302: 35-44.
[3]El-Yaniv R, Karp R M. Nearly optimal competitive online replacement policies[J]. Mathematics of Operations Research, 1997, 22(4): 814-839.
[4]Xin C L, Ma W M, Yang L. Competitive analysis of two special online device replacement problem[J]. Journal of Computer Science and Technology, 2008, 23(2): 203-213.
[5]张宁.设备故障次数与经济更新时间[J].系统工程理论与实践,1999,19(4):22-26.
[6]Ding L L, Xin C L, Chen J. A risk-reward competitive analysis of the bahncard problem[A]. Lecture Notes in Computer Science[C]. Germany: Springer-Verlag, 2005, 3521: 37-45.
[7]Xin C L, Yi F L, Xu Y F. Competitive analysis of the on-line replacement problems with continuous time[J]. Information, 2009, 12(1): 21-31.
[8]朱志军,徐寅峰,姜锦虎.存在市场和交易费用的单方向局内外汇兑换问题和竞争分析[J].预测,2003,22(4):51-55.
[9]徐维军,徐寅峰,卢致杰.具有几何分布统计特征的在线租赁竞争分析[J].预测,2005,24(2):46-51.
[10]丁黎黎,徐寅峰,王婷娜.基于有限预知的折扣商品购买策略研究[J].预测,2006,25(6):59-63.
[11]辛春林,徐寅峰,马卫民.基于概率分布的局内特殊优惠卡问题及其竞争分析[J].系统工程理论与实践,2007,27(10):84-92.
[12]辛春林,徐寅峰,崔文田.占线试销产品的配送问题与竞争分析[J].预测,2006, 25(5):75-80.
[13]Borodin A, El-Yaniv R. Online computation and competitive analysis[M]. Cambridge University Press, 1998.
关键词:三阶段设备更新;占线投资决策;竞争分析;竞争比
中图分类号:C934 文献标识码:A 文章编号:1003-5192(2009)05-0043-05
Competitive Analysis of Three Phases Online Device Replacement Problem
XIN Chun-lin1, MA Wei-min2, LIU Bing3
(1.School of Economics and Management, Beijing University of Chemical Technology, Beijing 100029, China; 2.School of Economics and Management, Tongji University, Shanghai 200092, China; 3.School of Management, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)
Abstract:Generally, the more expensive some-devices are, the lower frequency an enterprise replaces the device. Every investment affects operation and management of the enterprise for the replacement cost is very high. Thus it is of remarkable significance both on theory and practice for deep and systematic study on this class of device replacement problems. This paper analyzes a special case which is three phases online device replacement problem and gets two interesting results: a lower bound of 2 is obtained and we present a 3-competitive strategy.
Key words:three phases device replace problem; online investment; competitive analysis; competitive ratio
1 引言
Azar[1]等学者研究了离散时间的占线设备更新问题。该问题可以描述为某一个工厂接到生产订单,工厂必须投资购买设备来完成订单。假设生产订单陆续到来,同时市场不断推出更好的生产设备。当订单到来时工厂有两种选择方案:(1)继续使用原有的设备;(2)淘汰旧设备,购买新设备来完成该订单。优化目标是使工厂完成所有订单的总费用最小,其中包括投资成本(采购设备的价格)和完成订单生产的运行成本(比如水、电、原材料等等)。假设决策者只知道当前到达的订单情况和市场上现有的设备信息(比如设备价格和运行成本),而对订单和设备未来的信息一无所知的情形下做出决策,也就是说决策者必须以占线的方式来决策是否购买新设备以及何时购买。假设设备陆续到达的序列表示为Di(ti,bi,ri),其中,ti为第i台设备到来的时间;bi为购买第i台设备的成本(设备投资成本);ri为设备i生产单位产品的成本(运行成本)。订单是同质的,订单序列用订单到来的时间表示,例如第j个订单在离散时间tj=j,其中j是正整数。基本假设:
(1)在整数时间t,决策者可以购买任意一台已经出现的设备,并立即可以用购买的设备加工订单。
(2)当有新订单需求出现时,在线决策者必须立即生产1个单位的产品。即可以用现有的设备或购买新设备生产单位产品。
如果设备Di的运行成本和设备投资成本都要低于设备Dj,则称设备Di支配Dj。凸情形就是在设备序列中没有此类设备出现,即若bi≤bj则ri>rj。非凸情形就是除过凸型设备之外的所有设备,也就是说随着科技的进步,设备价格越来越低,其生产单位订单的成本也越来越低。对于凸情形问题Azar等人给出了6.828竞争的确定性算法并证明了非凸情形下没有常数竞争比。Damaschke[2]基于Azar等人的研究工作从订单序列到来为连续时间的角度建立了凸情形下两类特殊情形的投资更新模型,并给出相应的竞争比和下界。El-Yaniv和Karp[3]研究了更新成本为有界范围变化的连续函数的更新问题,分析了最优拒绝竞争策略的特征函数,给出了一些特殊情形下的竞争比上界和下界。文献[4]研究了两阶段占线设备更新问题。张宁[5]研究了设备故障次数与经济更新时间的关系。如果只考虑一台设备的更新情形则该问题等价于一个经典的雪橇租赁问题,即将运行成本视为每天的租赁价格,更新成本视为雪橇的购买价格。关于雪橇租赁问题及其扩展问题已经有不少的研究[6~11]。
本文的研究是基于以上几位学者的工作[1~4],讨论了三阶段离散时间占线设备更新。该问题是离散时间设备更新问题的一个特殊情形,也就是说仅有3台设备可供选择,并按照购买设备的时间将设备更新分成三个阶段完成。考虑两种情形:(1)已知3台设备的基本信息(运行成本和购买成本)和投放市场时间,该如何选择购买哪些设备以及购买设备的时间。(2)如果设备以占线方式到来,该如何决策设备的购买时机。现实生活中的情形对应于比如某企业在已经有了一条旧生产线的前提下,随着技术的进步出现了一种新的生产方式,使得生产成本降低但企业必须付出投资新生产线的成本,此时企业就必须决策该不该投资更新改造旧生产线,何时更新。情形(1)是离线问题,可以很容易得出结论,而情形(2)是占线问题,由于对未来设备和订单到达时间一无所知而难以处理。
占线问题又可称之为局内问题、在线问题或联机问题,与之对应的是离线问题、局外问题或脱机问题。所谓离线问题就是在输入完全已知的情况下所提出的问题,我们需要寻求一种优化算法来解决该问题的成本最优或利润最大。而在占线问题中,输入是事先不完全已知的,即占线问题就是一类输入的到来和输出的产生都必须是以占线方式进行的最优化问题。竞争比分析[12,13]就是在给出任何需求序列情况下,对占线算法的费用和最优算法的费用进行比较。对于成本最小化问题P给出如下竞争比的严格的定义。令costA(I)表示策略A对于问题实例I的费用。定义策略A对于费用问题P的竞争比为下面的值
inf{c|costA(I)≤r•costB(I),I∈P,B}
本文通过最坏情形分析法证明了该问题的一个竞争比下界为2,并给出了一个竞争比为3的竞争策略。
2 一个竞争比下界
针对该问题的特征将给出一个敌手下界。也就是首先构造一个特殊的设备序列和输入产量序列,给定任意一个占线策略A,然后由敌手设计输入一个产量序列,其长度根据策略A的选择而变。通常情况下按照步骤输入生产序列,每个步骤只输入有限几个或一个产品,使得策略A只能在有限的策略空间中进行决策。最后证明A在每一种选择情形下(对应于某个生产输入序列)所发生的成本都不小于最优的离线策略在该情形下成本的α倍。即策略A竞争比至少为α。由于策略A是任意一个占线策略,它在每一个步骤的策略空间实际等价于占线策略集合中所有策略的行动选择空间,因此可以判定问题的一个竞争比下界等于α。通过讨论出现的所有情形,可得如下结论:
定理1 三阶段占线设备更新问题的一个竞争比下界为2。
证明 考虑任意确定型算法A,假设敌手构造一个输入序列σ使得A获得的竞争比至少为α。不失一般性,假设敌手构造的设备序列实例为Di(ti,bi,ri),ri单调递减且bi>rj,其中i,j=1,2,3,t1=1。 进一步假设占线策略的策略集为在设备D2投放市场时生产了t1′单位的产品后才购买设备D2,设备D3投放市场时生产了t2′单位的产品后才购买设备D3。通过分别计算两个等式
情形1 t1≤n*1-1。该情形下由于设备D2和 D3间的生产量不满足临界产量,离线策略不会购买设备D2。按照设备D2投放市场后的生产量t1′分成两个子情形讨论如下:
子情形1 如果产量数t1′≤t1,则占线策略和离线策略都不会购买设备D2。下面只需要讨论设备D3的购买情况,可分成下列2种情形讨论:
(1)t2≤n*2-1情形,由于不满足临界产量,故离线策略不购买设备D3。
①如果产量数t2′≤t2,那么占线策略也不购买设备D3,由于前一阶段占线和离线策略都没买设备D1,因此竞争比显然是α11=1。
②如果产量数t2′>t2,那么占线策略在t2′处购买设备D3,如图1所示。
3 竞争分析
首先给出离线情形的一个简单特性。对于三阶段设备更新问题的离线情形,当设备在投入市场之初,离线最优解要么开始就购买设备,要么将永不购买。直观看来,当且仅当新设备所节约的运行成本大于采购成本,离线策略才会采购该新设备。
对于占线情形则占线策略可以在设备投入市场的任何时刻购买。通过计算可以求出设备D1与设备D2之间的临界产量为t*12=b2r1-r2,设备D1与设备D3之间的临界产量为t*13=b3r1-r3,设备D2与设备D3之间的临界产量为t*23=b3r2-r3。假设设备Di投入市场后的实际产量为ti,其中i=1,2,3。由于r1≥r3,故t*23≥t*13。由上述离线情形分析,给出一个基于临界产量的占线策略如下。
临界产量策略(Critical Value Strategy,简称CVS):市场投入一台新设备,当且仅当两台设备之间的产量超过其临界产量时,占线决策者选择购买该台新设备。
定理2 对于三阶段占线设备更新问题,CVS策略是竞争比为3的竞争策略。
证明 采用敌手分析法,也就是说怀有恶意却又诚实的敌手设计产量订单的输入序列和设备的到来时间,使得占线策略设计的策略给出的结果尽可能坏。因此,可以把占线策略给出的订单产量输入序列和临界产量之间的关系分成下列4种情形
情形1 如图5所示,其中t2≥t*12且t3≥t*23。在该情形下占线策略和离线策略都将购买设备D2和D3。如果离线成本为OPT,那么占线策略CRS下的成本和OPT比较而言,增加了购买的设备D2和D3的成本(OPT+b2+b3),显然竞争比为α1=OPT+b2+b3OPT<2。
情形2 t2≥t*12 且t3≤t*23。在该情形下占线策略和离线策略都将购买设备D2不买D3,如果离线成本为OPT,那么占线成本则为OPT+b2,竞争比为α1=OPT+b2OPT<2。
情形3 分成两个子情形
(1)t2
(2)t2>t*12 且t3>t*13 。离线对手给出的订单序列和设备序列,设备D1,D2,D3连续到来,且每两台设备间的订单为1,在该情形下占线策略将购买设备D2和D3,对应的离线策略仅购买设备D3,离线策略为了使竞争比尽可能坏,且仅当占线策略刚购买设备D3生产一个订单,离线对手就停止订单供应,即t2=t3+1。可知t3=t*12+t*23。那么离线成本为OPT=b1+2r1+b3+r3t3,占线成本则为ALG=b1+r1+r1t*12+b2+r2t*23+b3+r3,故该情形下的竞争比表示为
情形4t2
4 结束语
本文运用竞争分析的思路研究了三阶段的设备更新投资问题。证明了一个竞争比的下界为2和给出一个竞争比为3的竞争策略。在文献[4]中证明了两阶段的设备更新问题的最优竞争比为2,所以猜想三阶段的设备更新问题的竞争比下界2不能改善。因此,考虑如何设计更优的竞争策略来改善竞争比的上界是下一步值得研究的方向。
另一方面,传统的竞争比分析从某种意义上说是一种最坏情形分析,它反映了占线策略与基准策略(离线最优策略)的相对绩效,但这种方法往往忽略了很多的有用信息且分析模型很不灵活。在经济管理问题中一个很重要的方面就是风险控制,如何通过引入风险回报模型,改善竞争分析的性能,决策者可以根据各自的风险容忍度选择最优的设备采购策略,这是下一步值得探讨的另一个研究方向。
参 考 文 献:
[1]Azar Y, Bartal Y, Feuerstein E, et al.. On capital investment[J]. Algorithmica, 1999, 25: 22-36.
[2]Damaschke P. Nearly optimal strategies for special cases of on-line capital investment[J]. Theoretical Computer Science, 2003, 302: 35-44.
[3]El-Yaniv R, Karp R M. Nearly optimal competitive online replacement policies[J]. Mathematics of Operations Research, 1997, 22(4): 814-839.
[4]Xin C L, Ma W M, Yang L. Competitive analysis of two special online device replacement problem[J]. Journal of Computer Science and Technology, 2008, 23(2): 203-213.
[5]张宁.设备故障次数与经济更新时间[J].系统工程理论与实践,1999,19(4):22-26.
[6]Ding L L, Xin C L, Chen J. A risk-reward competitive analysis of the bahncard problem[A]. Lecture Notes in Computer Science[C]. Germany: Springer-Verlag, 2005, 3521: 37-45.
[7]Xin C L, Yi F L, Xu Y F. Competitive analysis of the on-line replacement problems with continuous time[J]. Information, 2009, 12(1): 21-31.
[8]朱志军,徐寅峰,姜锦虎.存在市场和交易费用的单方向局内外汇兑换问题和竞争分析[J].预测,2003,22(4):51-55.
[9]徐维军,徐寅峰,卢致杰.具有几何分布统计特征的在线租赁竞争分析[J].预测,2005,24(2):46-51.
[10]丁黎黎,徐寅峰,王婷娜.基于有限预知的折扣商品购买策略研究[J].预测,2006,25(6):59-63.
[11]辛春林,徐寅峰,马卫民.基于概率分布的局内特殊优惠卡问题及其竞争分析[J].系统工程理论与实践,2007,27(10):84-92.
[12]辛春林,徐寅峰,崔文田.占线试销产品的配送问题与竞争分析[J].预测,2006, 25(5):75-80.
[13]Borodin A, El-Yaniv R. Online computation and competitive analysis[M]. Cambridge University Press, 1998.