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〔关键词〕 数学教学；圆锥曲线；离心率；取值范围；
齐次不等式；数形结合；曲线范围；三角函
数；位置关系
〔中图分类号〕 G633.65〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（2011）10（A）—0086—02
求圆锥曲线离心率取值范围是解析几何的一类重要题型，一直是各类考试命题的热点.如何根据题设条件找到切入点，构建含有离心率的不等式是解决这类问题的关键所在，也是学生普遍感到困难之处.笔者通过具体例子就这类问题的求解方法及策略进行如下归纳，以期抛砖引玉.
一、数形结合构建关于a、c 的齐次不等式求解
例1：过双曲线-=1 （a>0，b>0）的右焦点F作双曲线斜率大于0的一条渐近线的垂线L，若L与双曲线的左右支各交于一点，求离心率e的取值范围.
略解：垂线L的方程为：y= -（x－c）.如下图所示，因L与双曲线的左右支各交于一点，则必有KL > KL，即->-，a22 ，即e>.
[点评]本题由动直线与双曲线的位置关系不由动直线与相应的渐近线的关系来确定，进而推出不变量的约束条件.这是由数形结合构建a、c 的关系式的一种简捷而直观的方法.
二、用曲线范围构建关于a、c 的齐次不等式求解
例2：已知双曲线mx2－ny2=1 （m>0，n>0）的左、右焦点分别为F1、F2，若点P为双曲线左支上一点，且|PF1|=|PF2|，求离心率e的取值范围.
解：设|PF1|=r1，|PF2|=r2.由双曲线的第二定义得：r1=e（-x－）=-ex－a，r2=e（-x+）=-ex+a.又∵r1=r2，∴ -4ex－4a=-ex+a， -3ex=5a， 解得x=，即≤
-a， ∴ e≤.又∵e>1，故e的取值范围为：1 [点评]本题由动点的取值范围是双曲线左支上横坐标的取值范围，即x≤-a，从而构建a、c的齐次不等式求解.
例3：在椭圆+=1 （a>b>0）上存在一点P，使|PF1|为P到左准线的距离d与|PF2|的等比中项，求椭圆离心率的取值范围.
解：设P（x0，y0），则P到左准线L的距离为d=+x0，由椭圆的第二定义得|PF1|=e（+x0）， |PF2|=e（-x0）.由|PF1|2=d|PF2|成立，从而有[（+x0）]2=（+x0）•（-x0）， 解得x0=.由椭圆的范围知|x0|≤a，故||≤a，解得e≥ -1.又∵0 [点评]上述解法的切入点就是抓住P点在椭圆上这一条件，从而得到|x0|≤a，构建关于a、c 的齐次不等式.
例4：已知F1、F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，L是左准线，若在双曲线左支上存在点P，使|PF1|是P到L的距离d与|PF2|的等比中项，求双曲线离心率的取值范围.
解：设P（x0，y0），则P到左准线L的距离为d=--x0 .由双曲线的第二定义得|PF1|=e（--x0），|PF2|=e（-x0）.由|PF1|2=d|PF2|成立，从而有[（--x0）]2=（--x0）•（-x0）， 解得x0=.由双曲线的范围知x0≤－a，故≤-a ，a2+2ac－c2≥0，即e2－2e－1≤0 ，从而得1 [点评]上述解法的切入点就是抓住P点在双曲线左支上这一条件，从而得到x0≤-a，构建关于a、c 的齐次不等式.
三、由三角函数的有界性和均值不等式知识构建不等式求解
例5：设椭圆+=1的两个焦点为F1、F2，当离心率e在何范围取值时，椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2=120°.
解法一：在△F1PF2中，令∠PF1F2=β，∠F1F2P=α .由正弦定理得= =.又|PF1|+|PF2|=2a，则=，∴===.又 ∵ cos≤1，∴ ≥ .又0 解法二：在△F1PF2中，令PF1=r1，PF2=r2 .由余弦定理得：4c2=r12+r22-2r1r2cos120°，即4c2=（r1+r2）2-r1r2=（2a）2-r1r2 .由4a2-4c2=r1r2≤（）2=a2，得：3a2≤4c2 .又 0 [点评]方法一借助正弦定理及三角函数的有界性来构建关于a、c 的不等式；而方法二借助余弦定理及均值不等式来解决.它们有一个共同特点，那就是利用椭圆的第一定义，充分挖掘焦点、三角形的潜在条件.
四、由点与曲线的位置关系构建不等式求解
例6：已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求双曲线离心率e的取值范围.
解：设椭圆的短轴顶点为A（0，b），三角形的重心即椭圆的焦点为F（c，0），△ABC的顶点为B（x1，y1），C（x2，y2）.由三角形的重心坐标公式可得x1+x2=3cy1+y2+b=0， 从而得BC的中点D（c，-）.因弦BC的中点D必在椭圆内，故+<1 ，整理得：3c2 [点评]此题应用椭圆的弦BC的中点D在椭圆内部构建了不等式，为构造a、c齐次不等式开辟了一条途径，即求D点坐标是解决本题的切入点.
编辑：刘立英
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齐次不等式；数形结合；曲线范围；三角函
数；位置关系
〔中图分类号〕 G633.65〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（2011）10（A）—0086—02
求圆锥曲线离心率取值范围是解析几何的一类重要题型，一直是各类考试命题的热点.如何根据题设条件找到切入点，构建含有离心率的不等式是解决这类问题的关键所在，也是学生普遍感到困难之处.笔者通过具体例子就这类问题的求解方法及策略进行如下归纳，以期抛砖引玉.
一、数形结合构建关于a、c 的齐次不等式求解
例1：过双曲线-=1 （a>0，b>0）的右焦点F作双曲线斜率大于0的一条渐近线的垂线L，若L与双曲线的左右支各交于一点，求离心率e的取值范围.
略解：垂线L的方程为：y= -（x－c）.如下图所示，因L与双曲线的左右支各交于一点，则必有KL > KL，即->-，a2
[点评]本题由动直线与双曲线的位置关系不由动直线与相应的渐近线的关系来确定，进而推出不变量的约束条件.这是由数形结合构建a、c 的关系式的一种简捷而直观的方法.
二、用曲线范围构建关于a、c 的齐次不等式求解
例2：已知双曲线mx2－ny2=1 （m>0，n>0）的左、右焦点分别为F1、F2，若点P为双曲线左支上一点，且|PF1|=|PF2|，求离心率e的取值范围.
解：设|PF1|=r1，|PF2|=r2.由双曲线的第二定义得：r1=e（-x－）=-ex－a，r2=e（-x+）=-ex+a.又∵r1=r2，∴ -4ex－4a=-ex+a， -3ex=5a， 解得x=，即≤
-a， ∴ e≤.又∵e>1，故e的取值范围为：1
例3：在椭圆+=1 （a>b>0）上存在一点P，使|PF1|为P到左准线的距离d与|PF2|的等比中项，求椭圆离心率的取值范围.
解：设P（x0，y0），则P到左准线L的距离为d=+x0，由椭圆的第二定义得|PF1|=e（+x0）， |PF2|=e（-x0）.由|PF1|2=d|PF2|成立，从而有[（+x0）]2=（+x0）•（-x0）， 解得x0=.由椭圆的范围知|x0|≤a，故||≤a，解得e≥ -1.又∵0
例4：已知F1、F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，L是左准线，若在双曲线左支上存在点P，使|PF1|是P到L的距离d与|PF2|的等比中项，求双曲线离心率的取值范围.
解：设P（x0，y0），则P到左准线L的距离为d=--x0 .由双曲线的第二定义得|PF1|=e（--x0），|PF2|=e（-x0）.由|PF1|2=d|PF2|成立，从而有[（--x0）]2=（--x0）•（-x0）， 解得x0=.由双曲线的范围知x0≤－a，故≤-a ，a2+2ac－c2≥0，即e2－2e－1≤0 ，从而得1
三、由三角函数的有界性和均值不等式知识构建不等式求解
例5：设椭圆+=1的两个焦点为F1、F2，当离心率e在何范围取值时，椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2=120°.
解法一：在△F1PF2中，令∠PF1F2=β，∠F1F2P=α .由正弦定理得= =.又|PF1|+|PF2|=2a，则=，∴===.又 ∵ cos≤1，∴ ≥ .又0
四、由点与曲线的位置关系构建不等式求解
例6：已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求双曲线离心率e的取值范围.
解：设椭圆的短轴顶点为A（0，b），三角形的重心即椭圆的焦点为F（c，0），△ABC的顶点为B（x1，y1），C（x2，y2）.由三角形的重心坐标公式可得x1+x2=3cy1+y2+b=0， 从而得BC的中点D（c，-）.因弦BC的中点D必在椭圆内，故+<1 ，整理得：3c2
编辑：刘立英
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