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《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下称为《课程标准（2011年版）》）指出：“学生的学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证等活动.”践行这一理念的最好抓手莫过于数学实验.[1]
数学实验是从生命个体的“数学现实”出发，借助好玩的纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等实物，在动手、动口、动脑的参与下，亲历观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，主动建构并发展自我认知结构的活动过程.它领跑了改课思潮，变“观众”为“表演家”、变“要我学”为“我要学”、变“苦学”为“乐学”……在感性世界具有得天独厚的优势.借助生命玩的天性，让知识在玩中不经意出生，排斥指向性意志力，因而倍受孩子们青睐，比音体美更有号召力.片断型实验虽能敦促知识出生，却因前摄抑制引发知识褶皱；连载式实验战线太长，容易引发精神疲劳，消解兴趣.因此，常态数学实验课应运而生，关照实验内容选择的精心、实验手段的精当、实验问题的精致、实验流程的精准，基于知识出生的效度、信度、区分度和思想方法的渗透度.
1 一节常态数学实验课的设计示例
实验目的
（1）通过动手操作，探索用方程描述实际问题中的数量关系；（2）借助天平称量物质的操作过程，感受方程模型思想.
实验准备
（1）天平若干；
（2）1g、2g、5g、10g、20g、50g、100g砝码足够多；
（3）质量不同的蓝色、紫色（质量为1g）小球若干，食盐500g；
（4）4人一组.
实验内容和步骤
活动一：称一称
现有一架天平和1g、2g、5g的砝码各1个，你可以称出 6g食盐吗？
设计意图 小学课本中已经借助“天平”帮助学生初步感受从问题到方程的生发过程.该活动的设计旨在唤醒学生对小学学过的相关知识的记忆，让学生在头脑中浮现出“方程”的直观形象，激发学生再次探索新知的欲望.另外，这个活动仅是感受方程模型的敲门砖，要求相对较低，几乎每个孩子都有能力玩，为实验常态展开埋下伏笔，实现了人人参与实验的初衷.
活动二：试一试
⑴ 现有一些散装食盐，有1架天平和1盒标准砝码（内有1g，2g，5g，10g，50g，100g砝码各1个，20g砝码2个），你如何称出这些食盐的质量？
⑵ 如果拿掉一个10g的砝码，依旧在现有条件下要称出这些食盐，你如何称？
活动记录表1：
设计意图 这个活动的要求相对较高，需要学生借助尝试，渐次压缩范围，利用“两边逼迫法”获取食盐的质量.实验记录表能展示学生的“试称”过程，翔实地讲述了天平两端所放砝码的质量、天平是否处于平衡状态以及估计食盐的质量范围（即结论），清晰地展现了学生的操作指向和思考路径，让等与不等关系从手边自然诞生，直观地感受方程模型的存在性.显然，此活动具有极强的开放性，学生可以依据自己的思维习惯和动手能力选择心中预定的食盐数量展开实验，这能激活学生的智力兴趣，又能引动学生的发散性思维和引发学生的求异精神，有效地表达了实验的承载功能.
活动三：想一想
（1）处于平衡状态的天平上，左盘里有2个质量相同的蓝色小球和1个质量为1g的紫色小球，右盘里有1个质量为5g砝码，你能猜出蓝色小球的质量吗？
（2）如果设蓝色小球的质量为x克，你能得到一个关于x的式子吗？
通过上述操作，你有哪些发现？
设计意图 在累积无序“称量”经验的基础上，创设了这个具体称量活动，能让学生的内层思维自然过渡到天平平衡状态时“数量之间的相等关系”，能初步体悟方程模型思想.平衡的天平能直观的解释方程的存在性与合理性，让学生切实明白方程的来龙去脉，不再是传统课堂生产的突兀方程（魔术师帽子里跳出的兔子），实现了借用天平建立常态方程模型的先天优势.
活动四：议一议
（1）请用实例来解释方程2x+1=5的意义并用天平进行检验.
（2）任意编一道你喜欢的且符合实际的方程问题，借助天平检验其合理性.
经历上述活动，你觉得天平处于平衡状态时两端物体的质量之间有何数量关系？“从问题到方程”一般要经历哪些过程？如何列出方程？与同伴交流你的想法.
设计意图 这一活动的运作是对方程模型的补续，能让完满的方程扎根于学生理解思维的顶层，实现了用天平感受方程模型的潜能.第1个活动设置目的是培养学生的逆向思维能力，让学生用生活背景解释自己对方程模型的理解，唱响了数学来源于生活的理念，并借用天平平衡状态阐释方程的信度；第2个活动的创设则是栽植学生的问题意识，让模型意识融入孩子们的生活思维，体现了数学服务于生活的理念，并借助天平平衡状态诠释方程模型的效度.最后的结论提炼则是学生操作后的思考，揭示在探究方程优越性的过程中感觉到用方程解决问题是优效的，让学生抓住用数学符号把要说的话（即两件事情等价）表达出来，从而生成踏踏实实的“方程”模型.
2 一节常态数学实验课的实践与思考
常态数学实验课以“做”为抓手，以简单易行为条件，以经济实惠为视点，立足于学生的学力，观照课时内容的完整性和知识的谱系性，排斥片断性和连载式，让学生理解无法理解的知识，生长能力看似够不到的数学思想方法，累积生命经验的长度、高度和宽度.具体的“常态”体现在以下四个方面：其一实验内容的常态，选择实验能提高知识出生的效度；其二实验手段的常态，借助剪剪拼拼、称称量量、圈圈算算等手段提高知识生长的信度；其三实验问题的常态，关注由浅入深、由表及里、由特殊到一般梯度提升学生的思维力，关注问题的区分度和学生的层次性；其四实验流程的常态，由封闭走向开放，由聚合思维转向发散思维，顺应建模思想的渗透度. 2.1 数学实验内容的选择要精心，基于知识出生的效度
《课程标准（2011年版）》指出：“课程内容要符合学生的认知规律，不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法.课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索.课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系.”[1]这就要求教师在二度开发使用教材时必须站在学生的思维层面选择匹配的教学内容，关注知识出生的效度.由于数学实验能让抽象的知识可视化、难产的知识顺产化、单调的知识生趣化、滞胀的知识渐次消化，因此在一定层面上补位了传统数学课堂的不足，深受师生的青睐！由于受生命长度的限制，学生不可能经历每一个知识点的形成过程，接纳知识的过程在某种程度上还以模仿训练为主，毕竟数学实验需要时间的支持、空间的承载，不可以太奢侈！因此数学实验内容的选则要精心，关照传统课堂无法生长的知识点或理解思维够不到的问题，立足于知识出生的效度.
方程模型在教师的视域内是何等的简单，可是讲授背景下的学生获得的方程总是处于“夹生”状态.经年的教学经验显示，能用算术方法解决的实际问题，学生绝不用方程解决；大凡必须用方程解决的问题学生就容易留白，于此看来，方程是不能真正听会的，也不是教师的说教能解决的，只有让学生在实际操作中不断的感受和提炼才能渐次内化，因此必须借助数学实验来建构方程模型.类似的知识还有：用字母表示数（可用火柴棒搭小鱼实验）、理解算法思想（可用数值转换机实验）、用一元一次方程解决问题（可借用月历中的方程游戏）等，借助实验能拉长学生理解思维的生长链，提高知识出生的效度.而有些经典的数学知识是不需要数学实验的，只要采用简单易行的“类比启发+模仿训练”即可实现知识的有效生成，比如有理数的减法可类比加法、分式的加减运算可类比分数的加减运算、一元一次不等式的解法可类比一元一次方程的解法等.鉴于此，实验内容的选择必须精心，应该聚焦知识出生的效度，不可以事事实验、时时实验，毕竟课程目标和课程内容有所期待，生命的生长和知识的发展有所规划.
2.2 数学实验手段的挑选要精当，基于知识出生的信度
数学实验的类型大致可分为实物验证型（建立在实物直观上的数学理解，测量楼梯的倾斜角：角的知识在生活中的应用等）、操作思考型（建立在实物模拟下的数学思考，借助天平平衡状态感受方程模型等）、探索发现型（建立在信息技术平台上的数学探究，借助计算机探索二次函数图象的画法与性质等）.[2]与实物验证型和探索发现型实验相比，操作思考型实验来得更经济节约、方便简易、贴近实际.毕竟实物验证型需要一定的成本，探索发现型需要学力奠基，这些因素又是不确定的，需要调研市场、考量分析思维能见度，成本偏高，消耗较奢侈，因此实验手段的选择要精当匹配.初中数学课堂上常态的实验手段往往采用剪拼、称量、圈算的方式引发学生的数学思考，就这个层面而言，操作思考型更具有大众性和平民性，相对常态化.借助手头操作生产的知识经验在学生的思维国度更具有可信性，能提升知识出生的思维信度.
“从问题到方程”涉及的生活素材丰富多样，可以是用火柴棒搭小鱼、可以是天平称量实物、可以是赛场得分游戏、也可以是年龄游戏等，但能帮助学生理解“方程模型”来龙去脉的抓手莫过于天平实验，因为天平的平衡状态能让原本看不到的方程模型可视可感可摸.天平在学生的生命履历里是亲切的、好玩的、熟悉的.超市里的电子称、物理实验室里的天平、药房里的磅秤等都是常见常新的“等号”印象，称量的情景随时随地都会浮现于孩子们的脑海，因此选择天平实验感受方程模型更能展示新知的可信度.比如该实验中的活动二就能生动阐释方程的信度，学生自己确定称量食盐的大致质量，借助增减或替换砝码的方式，在估测和逼近思想的参与下，获得天平平衡状态时的等号，进而感受方程就在手边，不是从天而降的凭空想象，而是具体生动的知识，是实在的、可信的、有用的.由于天平平衡状态不是一次就能呈现的，而是在不断的猜测、估算、调试中渐次由两边倾斜走向一种难得的平衡状态，由常态的不等走向暂时的平衡.整个追求平衡的过程涵盖了逼近思想、转化思想、替代思想、整体与局部思想，能让学生获得多重生命体悟，凝练个性的思维品质，这给生命的发展提供不可多得的奠基.因此，实验手段的挑选一定要精当合体，才能提升新知的信度指数.
2.3 数学实验问题的设置要精致，基于知识生长的区分度
《课程标准（2011年版）》指出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教.教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想方法，获得基本的活动经验.”[1]源于此，数学实验的问题设置要精致化，吻合学生的认知现状.这里的精致化是指问题设置要关照整体学情，让每一个学生的现有思维伸手可触及又若即若离，但经过努力能够得着，达到“跳一跳够到桃”的悟化境界.唯有适配的问题才能有效地拉动学生的思维，不同的思维土壤才能长出不同层次的知识经验；唯有问题精致，才能让每一块思维田园在原有的基础上提高知识产量，不同的思维水准生长出区分度明显的知识.
这节实验课的问题设置是精致的，知识生长的区分度是明显的.第一个活动设计了具体称量问题（固定砝码的使用范围以及称量食盐的质量，答案是1+5=6或2+5=6+1的模式），让每个学生都有能力参与；第二个活动创设了不确定称量问题（固定砝码的使用范围但称量食盐的质量不确定又有底限，这里的两个活动要相互照顾，答案不唯一，可以是160=100+50+10，16=10+5+1等），让不同思维起点的学生都能获得原本应有的体验；第三个活动刻画了在具体称量基础上天平平衡的状态，引动方程模型（若设每个蓝色小球的质量为xg，则可得关系式：2x+1=5），让每个学生都能获得方程模型的层面性体验；第四个活动问题设置的立足点既是对实验过程的提炼又是逆向思维的整合，让知识有序有向回流，形成知识循环节.整个问题设置呈梯度上升，关照学生的层次性，让每个学生都有事可做、有话可说，知识长势千姿百态，收获常态数学实验课带来的幸福体验！ 2.4 数学实验流程的指向要精准，基于建模思想的渗透度
《课程标准（2011年版）》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想.”[1]而数学实验的目的是帮助学生借助直观的操作理解抽象的、难以消化的知识（主要指概念、法则、公式、定理以及规律性的结论等）以及依托于具体知识背后的数学思想方法（主要指建模思想、抽象思想、化归思想、分类思想、从特殊到一般的思想等）.此次实验的核心问题是渗透方程建模思想.东北师大史宁中教授曾说过：“学生用自然语言阐释所述的事情，然后抽象成数学表达，最后用数学符号建立方程，解决问题，这正是建模的过程.”实验流程的指向要以构建方程模型为出发点，达成实验的初衷（借助天平感受方程模型）.因此，实验流程的指向必须精准，关注数学建模思想的渗透度.
方程是学生进入中学以来，刚刚接触的第一个代数模型，后续还要学习不等式模型、函数模型等，虽然方程模型在小学里已经有了初步的认识，但是大部分同学没能真正形成模型意识.因此，这次实验承载的常态目标就是建立“方程”模型.模型思想不是说建立就建立，想建立就能建立的，它是一个缓慢的用心培植过程.只有让学生亲历模型的发生发展过程，在具体的活动中不断积淀知识经验才能凝练而成.因此，实验活动流程的指向要非常明确.每一个操作步骤要达到怎样的实验目标，要学生学会哪些知识，在这些知识的背后承载哪些思想方法，在设计时都要充分的预设和开发；怎样的指向更有利于方程思想的生长，要做技术上的铺陈和考量.活动一的指向是让学生在封闭的操作中唤醒方程模型的意识；活动二的指向是让学生在开放的操作中渗透方程建模思想，全方位惊醒学生的方程意识；活动三的指向是让学生在特定条件下感受方程模型的存在性和必要性；活动四的指向让学生借助具体的方程模型解释相关生活背景，提炼方程模型的建构路径，实现内隐知识外显化.
3 后续的思考
常态数学实验课的随机性和展延性，决定了我们无法找到一条“万变不离其宗”的行走线路.只要能贴着学生的思维原创区走，就能让看似难长的知识潜滋暗长，原本混沌的数学思想方法澄澈空明，达成数学知识与数学方法齐飞，行走艺术共数学思想一色！
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2] 董林伟.在教材中渗透数学实验的思考与实践[J].中学数学教学参考（中旬），2012（1-2）：128-132.
数学实验是从生命个体的“数学现实”出发，借助好玩的纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等实物，在动手、动口、动脑的参与下，亲历观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，主动建构并发展自我认知结构的活动过程.它领跑了改课思潮，变“观众”为“表演家”、变“要我学”为“我要学”、变“苦学”为“乐学”……在感性世界具有得天独厚的优势.借助生命玩的天性，让知识在玩中不经意出生，排斥指向性意志力，因而倍受孩子们青睐，比音体美更有号召力.片断型实验虽能敦促知识出生，却因前摄抑制引发知识褶皱；连载式实验战线太长，容易引发精神疲劳，消解兴趣.因此，常态数学实验课应运而生，关照实验内容选择的精心、实验手段的精当、实验问题的精致、实验流程的精准，基于知识出生的效度、信度、区分度和思想方法的渗透度.
1 一节常态数学实验课的设计示例
实验目的
（1）通过动手操作，探索用方程描述实际问题中的数量关系；（2）借助天平称量物质的操作过程，感受方程模型思想.
实验准备
（1）天平若干；
（2）1g、2g、5g、10g、20g、50g、100g砝码足够多；
（3）质量不同的蓝色、紫色（质量为1g）小球若干，食盐500g；
（4）4人一组.
实验内容和步骤
活动一：称一称
现有一架天平和1g、2g、5g的砝码各1个，你可以称出 6g食盐吗？
设计意图 小学课本中已经借助“天平”帮助学生初步感受从问题到方程的生发过程.该活动的设计旨在唤醒学生对小学学过的相关知识的记忆，让学生在头脑中浮现出“方程”的直观形象，激发学生再次探索新知的欲望.另外，这个活动仅是感受方程模型的敲门砖，要求相对较低，几乎每个孩子都有能力玩，为实验常态展开埋下伏笔，实现了人人参与实验的初衷.
活动二：试一试
⑴ 现有一些散装食盐，有1架天平和1盒标准砝码（内有1g，2g，5g，10g，50g，100g砝码各1个，20g砝码2个），你如何称出这些食盐的质量？
⑵ 如果拿掉一个10g的砝码，依旧在现有条件下要称出这些食盐，你如何称？
活动记录表1：
设计意图 这个活动的要求相对较高，需要学生借助尝试，渐次压缩范围，利用“两边逼迫法”获取食盐的质量.实验记录表能展示学生的“试称”过程，翔实地讲述了天平两端所放砝码的质量、天平是否处于平衡状态以及估计食盐的质量范围（即结论），清晰地展现了学生的操作指向和思考路径，让等与不等关系从手边自然诞生，直观地感受方程模型的存在性.显然，此活动具有极强的开放性，学生可以依据自己的思维习惯和动手能力选择心中预定的食盐数量展开实验，这能激活学生的智力兴趣，又能引动学生的发散性思维和引发学生的求异精神，有效地表达了实验的承载功能.
活动三：想一想
（1）处于平衡状态的天平上，左盘里有2个质量相同的蓝色小球和1个质量为1g的紫色小球，右盘里有1个质量为5g砝码，你能猜出蓝色小球的质量吗？
（2）如果设蓝色小球的质量为x克，你能得到一个关于x的式子吗？
通过上述操作，你有哪些发现？
设计意图 在累积无序“称量”经验的基础上，创设了这个具体称量活动，能让学生的内层思维自然过渡到天平平衡状态时“数量之间的相等关系”，能初步体悟方程模型思想.平衡的天平能直观的解释方程的存在性与合理性，让学生切实明白方程的来龙去脉，不再是传统课堂生产的突兀方程（魔术师帽子里跳出的兔子），实现了借用天平建立常态方程模型的先天优势.
活动四：议一议
（1）请用实例来解释方程2x+1=5的意义并用天平进行检验.
（2）任意编一道你喜欢的且符合实际的方程问题，借助天平检验其合理性.
经历上述活动，你觉得天平处于平衡状态时两端物体的质量之间有何数量关系？“从问题到方程”一般要经历哪些过程？如何列出方程？与同伴交流你的想法.
设计意图 这一活动的运作是对方程模型的补续，能让完满的方程扎根于学生理解思维的顶层，实现了用天平感受方程模型的潜能.第1个活动设置目的是培养学生的逆向思维能力，让学生用生活背景解释自己对方程模型的理解，唱响了数学来源于生活的理念，并借用天平平衡状态阐释方程的信度；第2个活动的创设则是栽植学生的问题意识，让模型意识融入孩子们的生活思维，体现了数学服务于生活的理念，并借助天平平衡状态诠释方程模型的效度.最后的结论提炼则是学生操作后的思考，揭示在探究方程优越性的过程中感觉到用方程解决问题是优效的，让学生抓住用数学符号把要说的话（即两件事情等价）表达出来，从而生成踏踏实实的“方程”模型.
2 一节常态数学实验课的实践与思考
常态数学实验课以“做”为抓手，以简单易行为条件，以经济实惠为视点，立足于学生的学力，观照课时内容的完整性和知识的谱系性，排斥片断性和连载式，让学生理解无法理解的知识，生长能力看似够不到的数学思想方法，累积生命经验的长度、高度和宽度.具体的“常态”体现在以下四个方面：其一实验内容的常态，选择实验能提高知识出生的效度；其二实验手段的常态，借助剪剪拼拼、称称量量、圈圈算算等手段提高知识生长的信度；其三实验问题的常态，关注由浅入深、由表及里、由特殊到一般梯度提升学生的思维力，关注问题的区分度和学生的层次性；其四实验流程的常态，由封闭走向开放，由聚合思维转向发散思维，顺应建模思想的渗透度. 2.1 数学实验内容的选择要精心，基于知识出生的效度
《课程标准（2011年版）》指出：“课程内容要符合学生的认知规律，不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法.课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索.课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系.”[1]这就要求教师在二度开发使用教材时必须站在学生的思维层面选择匹配的教学内容，关注知识出生的效度.由于数学实验能让抽象的知识可视化、难产的知识顺产化、单调的知识生趣化、滞胀的知识渐次消化，因此在一定层面上补位了传统数学课堂的不足，深受师生的青睐！由于受生命长度的限制，学生不可能经历每一个知识点的形成过程，接纳知识的过程在某种程度上还以模仿训练为主，毕竟数学实验需要时间的支持、空间的承载，不可以太奢侈！因此数学实验内容的选则要精心，关照传统课堂无法生长的知识点或理解思维够不到的问题，立足于知识出生的效度.
方程模型在教师的视域内是何等的简单，可是讲授背景下的学生获得的方程总是处于“夹生”状态.经年的教学经验显示，能用算术方法解决的实际问题，学生绝不用方程解决；大凡必须用方程解决的问题学生就容易留白，于此看来，方程是不能真正听会的，也不是教师的说教能解决的，只有让学生在实际操作中不断的感受和提炼才能渐次内化，因此必须借助数学实验来建构方程模型.类似的知识还有：用字母表示数（可用火柴棒搭小鱼实验）、理解算法思想（可用数值转换机实验）、用一元一次方程解决问题（可借用月历中的方程游戏）等，借助实验能拉长学生理解思维的生长链，提高知识出生的效度.而有些经典的数学知识是不需要数学实验的，只要采用简单易行的“类比启发+模仿训练”即可实现知识的有效生成，比如有理数的减法可类比加法、分式的加减运算可类比分数的加减运算、一元一次不等式的解法可类比一元一次方程的解法等.鉴于此，实验内容的选择必须精心，应该聚焦知识出生的效度，不可以事事实验、时时实验，毕竟课程目标和课程内容有所期待，生命的生长和知识的发展有所规划.
2.2 数学实验手段的挑选要精当，基于知识出生的信度
数学实验的类型大致可分为实物验证型（建立在实物直观上的数学理解，测量楼梯的倾斜角：角的知识在生活中的应用等）、操作思考型（建立在实物模拟下的数学思考，借助天平平衡状态感受方程模型等）、探索发现型（建立在信息技术平台上的数学探究，借助计算机探索二次函数图象的画法与性质等）.[2]与实物验证型和探索发现型实验相比，操作思考型实验来得更经济节约、方便简易、贴近实际.毕竟实物验证型需要一定的成本，探索发现型需要学力奠基，这些因素又是不确定的，需要调研市场、考量分析思维能见度，成本偏高，消耗较奢侈，因此实验手段的选择要精当匹配.初中数学课堂上常态的实验手段往往采用剪拼、称量、圈算的方式引发学生的数学思考，就这个层面而言，操作思考型更具有大众性和平民性，相对常态化.借助手头操作生产的知识经验在学生的思维国度更具有可信性，能提升知识出生的思维信度.
“从问题到方程”涉及的生活素材丰富多样，可以是用火柴棒搭小鱼、可以是天平称量实物、可以是赛场得分游戏、也可以是年龄游戏等，但能帮助学生理解“方程模型”来龙去脉的抓手莫过于天平实验，因为天平的平衡状态能让原本看不到的方程模型可视可感可摸.天平在学生的生命履历里是亲切的、好玩的、熟悉的.超市里的电子称、物理实验室里的天平、药房里的磅秤等都是常见常新的“等号”印象，称量的情景随时随地都会浮现于孩子们的脑海，因此选择天平实验感受方程模型更能展示新知的可信度.比如该实验中的活动二就能生动阐释方程的信度，学生自己确定称量食盐的大致质量，借助增减或替换砝码的方式，在估测和逼近思想的参与下，获得天平平衡状态时的等号，进而感受方程就在手边，不是从天而降的凭空想象，而是具体生动的知识，是实在的、可信的、有用的.由于天平平衡状态不是一次就能呈现的，而是在不断的猜测、估算、调试中渐次由两边倾斜走向一种难得的平衡状态，由常态的不等走向暂时的平衡.整个追求平衡的过程涵盖了逼近思想、转化思想、替代思想、整体与局部思想，能让学生获得多重生命体悟，凝练个性的思维品质，这给生命的发展提供不可多得的奠基.因此，实验手段的挑选一定要精当合体，才能提升新知的信度指数.
2.3 数学实验问题的设置要精致，基于知识生长的区分度
《课程标准（2011年版）》指出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教.教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想方法，获得基本的活动经验.”[1]源于此，数学实验的问题设置要精致化，吻合学生的认知现状.这里的精致化是指问题设置要关照整体学情，让每一个学生的现有思维伸手可触及又若即若离，但经过努力能够得着，达到“跳一跳够到桃”的悟化境界.唯有适配的问题才能有效地拉动学生的思维，不同的思维土壤才能长出不同层次的知识经验；唯有问题精致，才能让每一块思维田园在原有的基础上提高知识产量，不同的思维水准生长出区分度明显的知识.
这节实验课的问题设置是精致的，知识生长的区分度是明显的.第一个活动设计了具体称量问题（固定砝码的使用范围以及称量食盐的质量，答案是1+5=6或2+5=6+1的模式），让每个学生都有能力参与；第二个活动创设了不确定称量问题（固定砝码的使用范围但称量食盐的质量不确定又有底限，这里的两个活动要相互照顾，答案不唯一，可以是160=100+50+10，16=10+5+1等），让不同思维起点的学生都能获得原本应有的体验；第三个活动刻画了在具体称量基础上天平平衡的状态，引动方程模型（若设每个蓝色小球的质量为xg，则可得关系式：2x+1=5），让每个学生都能获得方程模型的层面性体验；第四个活动问题设置的立足点既是对实验过程的提炼又是逆向思维的整合，让知识有序有向回流，形成知识循环节.整个问题设置呈梯度上升，关照学生的层次性，让每个学生都有事可做、有话可说，知识长势千姿百态，收获常态数学实验课带来的幸福体验！ 2.4 数学实验流程的指向要精准，基于建模思想的渗透度
《课程标准（2011年版）》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想.”[1]而数学实验的目的是帮助学生借助直观的操作理解抽象的、难以消化的知识（主要指概念、法则、公式、定理以及规律性的结论等）以及依托于具体知识背后的数学思想方法（主要指建模思想、抽象思想、化归思想、分类思想、从特殊到一般的思想等）.此次实验的核心问题是渗透方程建模思想.东北师大史宁中教授曾说过：“学生用自然语言阐释所述的事情，然后抽象成数学表达，最后用数学符号建立方程，解决问题，这正是建模的过程.”实验流程的指向要以构建方程模型为出发点，达成实验的初衷（借助天平感受方程模型）.因此，实验流程的指向必须精准，关注数学建模思想的渗透度.
方程是学生进入中学以来，刚刚接触的第一个代数模型，后续还要学习不等式模型、函数模型等，虽然方程模型在小学里已经有了初步的认识，但是大部分同学没能真正形成模型意识.因此，这次实验承载的常态目标就是建立“方程”模型.模型思想不是说建立就建立，想建立就能建立的，它是一个缓慢的用心培植过程.只有让学生亲历模型的发生发展过程，在具体的活动中不断积淀知识经验才能凝练而成.因此，实验活动流程的指向要非常明确.每一个操作步骤要达到怎样的实验目标，要学生学会哪些知识，在这些知识的背后承载哪些思想方法，在设计时都要充分的预设和开发；怎样的指向更有利于方程思想的生长，要做技术上的铺陈和考量.活动一的指向是让学生在封闭的操作中唤醒方程模型的意识；活动二的指向是让学生在开放的操作中渗透方程建模思想，全方位惊醒学生的方程意识；活动三的指向是让学生在特定条件下感受方程模型的存在性和必要性；活动四的指向让学生借助具体的方程模型解释相关生活背景，提炼方程模型的建构路径，实现内隐知识外显化.
3 后续的思考
常态数学实验课的随机性和展延性，决定了我们无法找到一条“万变不离其宗”的行走线路.只要能贴着学生的思维原创区走，就能让看似难长的知识潜滋暗长，原本混沌的数学思想方法澄澈空明，达成数学知识与数学方法齐飞，行走艺术共数学思想一色！
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2] 董林伟.在教材中渗透数学实验的思考与实践[J].中学数学教学参考（中旬），2012（1-2）：128-132.