论文部分内容阅读
“小数乘法和除法（二）”是苏教版小学数学五年级上册的教学内容。本单元学习后，年级组检测试卷上出现了这样一道选择题：“3吨黄豆可榨油1.2吨，计算榨1吨油需要多少吨黄豆的算式是（ ）。①3÷1.2；②1.2÷3；③3×1.2。”学生的答卷上选②的人数最多，出现这样的错误在我的预料之中，因为以前学习这部分知识后，习题或考卷上常会出现此类题目，学生的错误率很高。我评讲的方法是引导学生理解小数乘法和除法与整数除法意义的联系后，再通过反复举例的训练加以巩固。然而，令人尴尬的事实是，学生在后续的学习中每每碰到这类题目时，错误却依然普遍存在。看来，缺少对已有经验的唤醒，缺失体悟的过程，不能对所学知识实现真正意义上的理解。
为了让学生理解这一知识难点和其中的规律，我决定进行一次新的教学尝试。
教学实践：
一、课前作业，独立探究
当天，布置如下的探究作业。
■
二、课堂实践，交流提升
1.通过口答唤醒已有经验，做好新旧知识间的有效对接。（略）
2.讨论提炼，把握知识的本质。
师：同学们，“3吨黄豆……”这道题有答案了吗？通过探究，你有什么想说、想问的？
生1：答案选①。因为3÷1.2表示把3吨黄豆平均分1.2份……3表示的是黄豆……求的是黄豆……（生1支支吾吾，语言断断续续）
师：你探究了吗？一组题完成了吗？
生1（点点头，声音小）：我和爸爸一起做的，我会做。（师将她汇报的习题结果投影在银幕上，其他学生连声说道：“对的，全对，我也是这么做的。”）
生2：老师，我是用整数除法平均分的意义来推想的。如第1题，10÷4=2.5（元），表示把10元钱平均分4份，就是平均分到4千克香蕉上，每千克香蕉分得2.5元钱，就求出每千克香蕉是2.5元；4÷10=0.4（千克），表示把4千克香蕉平均分10份，就是平均分到10元钱上去，每元钱上分得0.4千克的香蕉，就是1元钱可以买0.4千克的香蕉。
师：不错，讲得既清晰又完整。谁能再具体地说说选择题答案选①的道理给大家听听？
生3：3÷1.2表示把3吨黄豆平均分到1.2吨油上，每吨油上分得了多少吨黄豆，求得的就是“榨1吨油需要多少吨黄豆”。
师：大家听明白了吗？谁还有别的想法？
生4：老师，我知道她的想法，我妈妈就是这样指导我的。如第2题，第一个问题求每小时做的零件个数，应把“18个零件”当作被除数，列式为18÷4.5；第二个问题求的是时间，应把“4.5小时”当作被除数，列式为4.5÷18。上面的选择题，求的是“需要多少吨黄豆”，应把3当作被除数，所以答案选①。第1题和第3题都可以这样来想，直接列出除法算式。（此时，有好几个学生小声地嘀咕着，说他们也是这样来区分的）
师：知道你妈妈这样教你是为什么吗？
生4：有点搞不清楚谁除以谁，但妈妈就叫我用这样的方法区分，列式能既快又对。（问生1是不是这样想的，她羞涩地点了点头）
生5：现在我懂了，知道求什么就把什么当作被除数的道理了，实际上就是根据整数除法的意义来推想的。
师：你以第3题为例完整地说一说，好吗？
生5：求“平均每米钢丝重多少千克”，就是要把重量0.2千克平均分到长度0.25米上，可得到每米重0.8千克，把重量0.2千克来平均分，当然就将0.2当作被除数了；反过来，求“平均1千克重的钢丝长多少米”，就是要把长度0.25米平均分到重量0.2千克上，可得到每千克长1.25米，要把长度来平均分，就是将0.25当作被除数。
师：讲得非常好！谢谢这几位发言的同学，让我们对这样的问题解决有了更深刻的理解。是的，小数除法的意义和整数除法的意义是相同的，我们在解决这类问题时，就可以借助整数除法的平均分意义或数量之间的关系来帮助理解。这样不仅能单纯地记住解题的方法，而且能深刻地明白其中的道理。
师：谁还有什么疑惑，让大家讨论解决？
生6：做探究题时，我也是仿照整数除法意义推想的。为了区分，我是记住问题中的“每什么”，那么这些数列式时就为除数。如求“每千克……”“每元钱……”“每小时……”，则以“多少千克”“多少元钱”“多少小时”为除数。听了大家的想法，我现在清楚多了。
生7：我还有疑惑。像18÷4.5=4（个），按照平均分的意义，就是把18个零件平均分为4.5份，每小时加工4个零件，但怎么平均分成4.5份呢？4个零件是不是1个小时加工的呢？0.2÷0.25又怎么平均分？0.8千克一定就是长1米的重量吗？（学生静静地倾听并思考）
师：听明白他的疑惑了吗？我要特地夸奖一下他，敢于把自己的疑惑给说出来。爱因斯坦曾经说过“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”，把这句名言送给每一位同学，希望大家学习中多问一些“为什么”。
师：谁也有像他这样的疑惑？（一些学生点点头）是啊，除数是整数时，我们可以去实践分一分来验证，或者想象一下分的过程帮助理解。可除数是小数时，平均分怎么操作呢？想不想跟着老师一起分分看？挑个最容易的我们一起试试，好吗？
指导学生画出“18÷4.5=4（个）”平均分的示意图，如下。
■
师：通过实践，我们验证了每小时确实加工了4个零件。其实，每道题都可以证明所得结果就是每份数的量，只不过都用具体分一分或画图的办法来验证难度太大了。想一想，有没有更好的方法来验证？（教室里静悄悄的，学生一下子还找不着方法）
师：刚刚学习计算除数是小数的除法，用的是什么策略？（这时，部分学生茅塞顿开）
生8：可以把被除数和除数同时扩大2倍转化成整数思考，原题就相当于9小时加工了36个零件，可得每小时加工4个零件。 师：为什么要同时乘2呢？
生8：同时乘2才能保证商不变（商不变的性质），这样被除数和除数都转化成了整数，易于理解。
师：同学们，商不变的性质告诉我们，不仅仅18÷4.5与36÷9、180÷45的值都是4，同时这个4所表示“每小时加工的零件个数”的意义也是不会变的。大家用这个更为简单的转化方法验证一下其他题吧。
生9：0.2÷0.25可想成0.8÷1=0.8或20÷25=0.8，0.25÷0.2可想成1.25÷1=1.25、2.5÷2=1.25、25÷20=1.25……
师：转化是一种非常重要的数学思想方法，在今后的学习中，我们遇到比较困难的问题时要常想到用它，可使未知的问题借助已学的旧知来解决。
……
教学思考：
1.基于问题描述及问题成因的思考
教学“小数乘法和除法（二）”后，只要让学生做“一台拖拉机4小时耕地5公顷。平均每小时耕地（ ）公顷，平均每耕地1公顷需要（ ）小时”这类题目（即使题目中出现的都是整数），学生解决问题的正确率会明显降低。为什么学生解答一个问题单独出现的题时正确率很高，但将两个问题合二为一后，学生却反而不会了？
（1）从不同角度丰富小数除法含义的理解与平均分含义理解的冲突。
新课程理念倡导：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。课程内容的选择要贴近学生的生活实际，有利于他们体验与理解、思考与探索。”在“小数乘法和除法（二）”教学中，教材多是通过学生的生活实际场景设计问题，以激活学生的已有经验，引导学生借助具体数量关系列出一个数除以小数的算式。同时，教材还在练习中让学生根据数量间的倍数关系列出除法算式。教材从多角度丰富学生对小数乘除法含义的理解，体现了新课程的基本理念。学生在具体情境中联系整数乘除法的意义很容易理解小数乘除法的计算意义，因而列式时没有学习障碍。如教材P93例5（7.98÷4.2）及P95例6（1.1÷0.55）的教学问题设计，都是让学生用“总价÷单价=数量”这一数量关系来列式，避免了求单价用平均分理解的情况出现，这是教材有意降低学生学习的难度。而上述探究题，却让学生从除法平均分的角度思考问题，学生思维的形象性与问题的抽象性之间发生冲突，导致解题出现错误。小学阶段，学生的思维处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，即便到了中高年级，抽象思维有所发展，但学生思考问题时仍然需要感性材料的支持，所以学生解决上述教学中的问题感到棘手也就理所当然。此外，混淆两个问题也是学生出现错误的原因之一。在实际教学中，由于教师忽视对常用数量关系的提炼和介绍，如“1元钱可以买多少千克香蕉”“平均每加工1个零件需要多少小时”等，导致学生得不到已有数量关系知识经验的支撑，所以解题出现错误在所难免。
（2）计算方法掌握的主要教学目标与教学忽视小数除法计算意义理解的冲突。
这部分内容的教学目标为理解并掌握小数乘除法计算的笔算方法，会用小数的计算解决一些比较简单的实际问题。反观我们的教学设计与教学过程，教师更多的是引领学生通过合乎逻辑的思考，逐步理解小数乘除法的计算方法和能够正确计算，从而忽略了引导学生对除法计算意义的理解。教学中，学生感受小数与整数乘除法的内在联系、发展类比迁移能力和合情推理能力、重点体会转化的策略及获得的感性与理性认识等，更多的是体现在小数乘除法计算方法的层面上。我认为学生借助具体情境容易理解小数除法的意义，但还需教师引导学生把初步形成的感性认识进一步深化。如题目：“服装小组用21.45米布做了15件短袖衫，平均每件短袖衫用布多少米？”学生列出除法算式后，教师不要急于告诉学生正确的计算结果，而是追问：“21.45除以15，是否可以理解成把21.45米平均分成15份，求每份是多少？”通过追问，引发学生的深入思考，加深他们对小数乘除法意义的理解。
2.基于本次数学活动的思考。
根据分析，类似上述教学中的探究题是学生学习小数乘除法时的难点。陈洪杰老师说过：“以纸笔形式解题虽是小学数学学习的常态，但真正的学习不是‘解题’，而是‘问题解决’。”那么，这一问题该如何解决呢？如上述教学，课前安排自主探究环节有以下的意图：首先，让学生进行专项问题的自主探究，这样才能发挥每位学生的积极性，避免课堂上思考的只是那些思维敏捷且敢于发言的学生，让那些默默无闻的学生也能积极主动地进行独立思考；其次，给学生提供充分从事数学活动的机会，保证学生有足够的时间、空间与精力进行探究，以便课堂交流时学生有话可说、有话要说，有助于他们对问题的深入认识与理解；再次，学生间存在个体差异，所以解决问题的路径也有差异，但经历了这样的探究过程，每个学生的能力都各有提升，实现“不同的学生得到不同的发展”的教学目的。
虽然数学学习主要是思维活动的过程，依靠个人的独立思考完成学习任务，但让学生通过交流讨论，能修正、优化自己的思维过程与结果。本次教学，我没有止步于学生获得高正确率的解题结果上，而是将教学重点放在组织课堂交流环节中。课堂交流中，我通过不断的追问和质疑，引导学生进一步交流与反思，促使他们在思维碰撞中不断提高认识、深化理解、积累经验，使大多数学生对原有问题的理解从具体层面上升为一般化概括的水平。本节课学生获得以下发展：第一，拓展对小数除法计算含义的已有认识，即在原有乘法的逆运算、数量的平均分配、数量间的倍数的基础上，把对数量平均分配的认识拓宽到小数范围，且将除法与后续比（商和比值）的知识建立了初步的内在联系；第二，既改变学生对教师所授予知识的被动接受状态，实践以其已有知识和经验为基础的主动建构的探究学习方式，又改变学生把解决问题等同于得到答案的学习习惯；第三，感悟数学思想方法，积累数学活动经验。上述教学过程，既有验证、归纳，又有推理和探究，使学生在知识和方法方面进行更高层次上的抽象与概括，从而深刻理解所学知识，获得真正的发展。
（责编 杜 华）
为了让学生理解这一知识难点和其中的规律，我决定进行一次新的教学尝试。
教学实践：
一、课前作业，独立探究
当天，布置如下的探究作业。
■
二、课堂实践，交流提升
1.通过口答唤醒已有经验，做好新旧知识间的有效对接。（略）
2.讨论提炼，把握知识的本质。
师：同学们，“3吨黄豆……”这道题有答案了吗？通过探究，你有什么想说、想问的？
生1：答案选①。因为3÷1.2表示把3吨黄豆平均分1.2份……3表示的是黄豆……求的是黄豆……（生1支支吾吾，语言断断续续）
师：你探究了吗？一组题完成了吗？
生1（点点头，声音小）：我和爸爸一起做的，我会做。（师将她汇报的习题结果投影在银幕上，其他学生连声说道：“对的，全对，我也是这么做的。”）
生2：老师，我是用整数除法平均分的意义来推想的。如第1题，10÷4=2.5（元），表示把10元钱平均分4份，就是平均分到4千克香蕉上，每千克香蕉分得2.5元钱，就求出每千克香蕉是2.5元；4÷10=0.4（千克），表示把4千克香蕉平均分10份，就是平均分到10元钱上去，每元钱上分得0.4千克的香蕉，就是1元钱可以买0.4千克的香蕉。
师：不错，讲得既清晰又完整。谁能再具体地说说选择题答案选①的道理给大家听听？
生3：3÷1.2表示把3吨黄豆平均分到1.2吨油上，每吨油上分得了多少吨黄豆，求得的就是“榨1吨油需要多少吨黄豆”。
师：大家听明白了吗？谁还有别的想法？
生4：老师，我知道她的想法，我妈妈就是这样指导我的。如第2题，第一个问题求每小时做的零件个数，应把“18个零件”当作被除数，列式为18÷4.5；第二个问题求的是时间，应把“4.5小时”当作被除数，列式为4.5÷18。上面的选择题，求的是“需要多少吨黄豆”，应把3当作被除数，所以答案选①。第1题和第3题都可以这样来想，直接列出除法算式。（此时，有好几个学生小声地嘀咕着，说他们也是这样来区分的）
师：知道你妈妈这样教你是为什么吗？
生4：有点搞不清楚谁除以谁，但妈妈就叫我用这样的方法区分，列式能既快又对。（问生1是不是这样想的，她羞涩地点了点头）
生5：现在我懂了，知道求什么就把什么当作被除数的道理了，实际上就是根据整数除法的意义来推想的。
师：你以第3题为例完整地说一说，好吗？
生5：求“平均每米钢丝重多少千克”，就是要把重量0.2千克平均分到长度0.25米上，可得到每米重0.8千克，把重量0.2千克来平均分，当然就将0.2当作被除数了；反过来，求“平均1千克重的钢丝长多少米”，就是要把长度0.25米平均分到重量0.2千克上，可得到每千克长1.25米，要把长度来平均分，就是将0.25当作被除数。
师：讲得非常好！谢谢这几位发言的同学，让我们对这样的问题解决有了更深刻的理解。是的，小数除法的意义和整数除法的意义是相同的，我们在解决这类问题时，就可以借助整数除法的平均分意义或数量之间的关系来帮助理解。这样不仅能单纯地记住解题的方法，而且能深刻地明白其中的道理。
师：谁还有什么疑惑，让大家讨论解决？
生6：做探究题时，我也是仿照整数除法意义推想的。为了区分，我是记住问题中的“每什么”，那么这些数列式时就为除数。如求“每千克……”“每元钱……”“每小时……”，则以“多少千克”“多少元钱”“多少小时”为除数。听了大家的想法，我现在清楚多了。
生7：我还有疑惑。像18÷4.5=4（个），按照平均分的意义，就是把18个零件平均分为4.5份，每小时加工4个零件，但怎么平均分成4.5份呢？4个零件是不是1个小时加工的呢？0.2÷0.25又怎么平均分？0.8千克一定就是长1米的重量吗？（学生静静地倾听并思考）
师：听明白他的疑惑了吗？我要特地夸奖一下他，敢于把自己的疑惑给说出来。爱因斯坦曾经说过“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”，把这句名言送给每一位同学，希望大家学习中多问一些“为什么”。
师：谁也有像他这样的疑惑？（一些学生点点头）是啊，除数是整数时，我们可以去实践分一分来验证，或者想象一下分的过程帮助理解。可除数是小数时，平均分怎么操作呢？想不想跟着老师一起分分看？挑个最容易的我们一起试试，好吗？
指导学生画出“18÷4.5=4（个）”平均分的示意图，如下。
■
师：通过实践，我们验证了每小时确实加工了4个零件。其实，每道题都可以证明所得结果就是每份数的量，只不过都用具体分一分或画图的办法来验证难度太大了。想一想，有没有更好的方法来验证？（教室里静悄悄的，学生一下子还找不着方法）
师：刚刚学习计算除数是小数的除法，用的是什么策略？（这时，部分学生茅塞顿开）
生8：可以把被除数和除数同时扩大2倍转化成整数思考，原题就相当于9小时加工了36个零件，可得每小时加工4个零件。 师：为什么要同时乘2呢？
生8：同时乘2才能保证商不变（商不变的性质），这样被除数和除数都转化成了整数，易于理解。
师：同学们，商不变的性质告诉我们，不仅仅18÷4.5与36÷9、180÷45的值都是4，同时这个4所表示“每小时加工的零件个数”的意义也是不会变的。大家用这个更为简单的转化方法验证一下其他题吧。
生9：0.2÷0.25可想成0.8÷1=0.8或20÷25=0.8，0.25÷0.2可想成1.25÷1=1.25、2.5÷2=1.25、25÷20=1.25……
师：转化是一种非常重要的数学思想方法，在今后的学习中，我们遇到比较困难的问题时要常想到用它，可使未知的问题借助已学的旧知来解决。
……
教学思考：
1.基于问题描述及问题成因的思考
教学“小数乘法和除法（二）”后，只要让学生做“一台拖拉机4小时耕地5公顷。平均每小时耕地（ ）公顷，平均每耕地1公顷需要（ ）小时”这类题目（即使题目中出现的都是整数），学生解决问题的正确率会明显降低。为什么学生解答一个问题单独出现的题时正确率很高，但将两个问题合二为一后，学生却反而不会了？
（1）从不同角度丰富小数除法含义的理解与平均分含义理解的冲突。
新课程理念倡导：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。课程内容的选择要贴近学生的生活实际，有利于他们体验与理解、思考与探索。”在“小数乘法和除法（二）”教学中，教材多是通过学生的生活实际场景设计问题，以激活学生的已有经验，引导学生借助具体数量关系列出一个数除以小数的算式。同时，教材还在练习中让学生根据数量间的倍数关系列出除法算式。教材从多角度丰富学生对小数乘除法含义的理解，体现了新课程的基本理念。学生在具体情境中联系整数乘除法的意义很容易理解小数乘除法的计算意义，因而列式时没有学习障碍。如教材P93例5（7.98÷4.2）及P95例6（1.1÷0.55）的教学问题设计，都是让学生用“总价÷单价=数量”这一数量关系来列式，避免了求单价用平均分理解的情况出现，这是教材有意降低学生学习的难度。而上述探究题，却让学生从除法平均分的角度思考问题，学生思维的形象性与问题的抽象性之间发生冲突，导致解题出现错误。小学阶段，学生的思维处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，即便到了中高年级，抽象思维有所发展，但学生思考问题时仍然需要感性材料的支持，所以学生解决上述教学中的问题感到棘手也就理所当然。此外，混淆两个问题也是学生出现错误的原因之一。在实际教学中，由于教师忽视对常用数量关系的提炼和介绍，如“1元钱可以买多少千克香蕉”“平均每加工1个零件需要多少小时”等，导致学生得不到已有数量关系知识经验的支撑，所以解题出现错误在所难免。
（2）计算方法掌握的主要教学目标与教学忽视小数除法计算意义理解的冲突。
这部分内容的教学目标为理解并掌握小数乘除法计算的笔算方法，会用小数的计算解决一些比较简单的实际问题。反观我们的教学设计与教学过程，教师更多的是引领学生通过合乎逻辑的思考，逐步理解小数乘除法的计算方法和能够正确计算，从而忽略了引导学生对除法计算意义的理解。教学中，学生感受小数与整数乘除法的内在联系、发展类比迁移能力和合情推理能力、重点体会转化的策略及获得的感性与理性认识等，更多的是体现在小数乘除法计算方法的层面上。我认为学生借助具体情境容易理解小数除法的意义，但还需教师引导学生把初步形成的感性认识进一步深化。如题目：“服装小组用21.45米布做了15件短袖衫，平均每件短袖衫用布多少米？”学生列出除法算式后，教师不要急于告诉学生正确的计算结果，而是追问：“21.45除以15，是否可以理解成把21.45米平均分成15份，求每份是多少？”通过追问，引发学生的深入思考，加深他们对小数乘除法意义的理解。
2.基于本次数学活动的思考。
根据分析，类似上述教学中的探究题是学生学习小数乘除法时的难点。陈洪杰老师说过：“以纸笔形式解题虽是小学数学学习的常态，但真正的学习不是‘解题’，而是‘问题解决’。”那么，这一问题该如何解决呢？如上述教学，课前安排自主探究环节有以下的意图：首先，让学生进行专项问题的自主探究，这样才能发挥每位学生的积极性，避免课堂上思考的只是那些思维敏捷且敢于发言的学生，让那些默默无闻的学生也能积极主动地进行独立思考；其次，给学生提供充分从事数学活动的机会，保证学生有足够的时间、空间与精力进行探究，以便课堂交流时学生有话可说、有话要说，有助于他们对问题的深入认识与理解；再次，学生间存在个体差异，所以解决问题的路径也有差异，但经历了这样的探究过程，每个学生的能力都各有提升，实现“不同的学生得到不同的发展”的教学目的。
虽然数学学习主要是思维活动的过程，依靠个人的独立思考完成学习任务，但让学生通过交流讨论，能修正、优化自己的思维过程与结果。本次教学，我没有止步于学生获得高正确率的解题结果上，而是将教学重点放在组织课堂交流环节中。课堂交流中，我通过不断的追问和质疑，引导学生进一步交流与反思，促使他们在思维碰撞中不断提高认识、深化理解、积累经验，使大多数学生对原有问题的理解从具体层面上升为一般化概括的水平。本节课学生获得以下发展：第一，拓展对小数除法计算含义的已有认识，即在原有乘法的逆运算、数量的平均分配、数量间的倍数的基础上，把对数量平均分配的认识拓宽到小数范围，且将除法与后续比（商和比值）的知识建立了初步的内在联系；第二，既改变学生对教师所授予知识的被动接受状态，实践以其已有知识和经验为基础的主动建构的探究学习方式，又改变学生把解决问题等同于得到答案的学习习惯；第三，感悟数学思想方法，积累数学活动经验。上述教学过程，既有验证、归纳，又有推理和探究，使学生在知识和方法方面进行更高层次上的抽象与概括，从而深刻理解所学知识，获得真正的发展。
（责编 杜 华）