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【摘 要】针对数学知识的逻辑性与抽象性，本文采用案例教学的方法对椭圆与圆的位置关系进 行课堂教学的设计。通过案例教学不仅使学生积极主动的参与整个探究的过程，同时让学生经历设计方案，解决方案，从而感受到解决问题的快乐，激发学生学习数学的兴趣。
【关键词】案例教学法；逻辑性；椭圆；课堂设计
一、 前言
在人民教育出版社出版的高中数学选修教材2—1第47页有一道这样的例题：已知椭圆，直线L：4x-5y+40=0，椭圆上是否存在一点，它到直线L的距离最小？最小距离是多少？大多学者对椭圆与圆[1-3]的位置关系的研究采用数形结合法，而对于采用何种方式讲授这个知识点才能让学生更容易接受与理解，大多学者也进行了很多有价值的研究。本文应用案例教学的方法对这一知识点进行了分析与研究。通过现实课堂的反馈，案例教学方法更有利学生的理解与掌握。
二、案例教学法的过程
具体过程如下：
师：大家知道方程表示的是什么曲线？
生：焦点在X轴上的椭圆。
师：大家能快速作出它的图像吗？
生：规范，认真作好图。
师：方程4x-5y+40=0呢？
生：直线
师：大家在同一坐标系中做图并观察两者的关系。
设计意图：体会曲线与方程的对应性，加强数形结合的意识。
生：相离。
师：图上看见的相离，数上如何体现呢？
生：直线方程与椭圆方程组成的方程组无解，
师：大家能刻化相离程度吗？停顿片刻，指出：如椭圆上点到直线的最小距离是多少？
生：学生表现出异常的兴奋，有很强探索意识。师在教室巡视观察学生的思维，解决问题的方式。学生激烈的讨论后，师组织学生表达解题方案：
生甲：与直线4x-5y+40=0平行的直线经过最小距离平移后会和椭圆有一个公共点，即直线与椭圆相切。为此解决步骤如下：
第一步，设直线方程为4X-5y+m=0.
第二步，直线4X-5y+m=0.与椭圆联立消y后判别式等于0会得到两个m的值。m=-25和m=25
第三步，数形结合，观察那两条平行直线间距离是最小的。用这种方法解决完后，另一个学生站起来，大胆表达他的另一种解决方案：
生乙：我认为这种方法烦，可以考虑三角换元法，设x=5cosQ
y=3sinQ 则椭圆上点到直线的距离可用点到直线的距离公式表示为：d=，此时椭圆上点到直线的距离的最值问题转化为三角函数的最值问题。
生乙的解法得到全班同学的赞扬，顿时教室响起掌声，师肯定生乙的解法，利用等价转换的思想后，组织学生比较两种解法的优劣。
师：若题目变为：求椭圆上点到直线的最大距离是多少？那是哪种方法好呢？
生：讨论后发现，还是三角换元法方便。
师：再次提问引发学生深层次的思考。若题目变求椭圆上哪个点到直线的距离最小，哪个点到直线的距离最大呢？
生：再次激烈讨论，比较两种方案在找点上的异同，最后觉得若在椭圆上找点还是第一种方案好求点。
师：只求距离的最值，方案二好点；若还要求取到最值的点，则方案一好点。可见解决同一个问题的方案不只有一个，但是存在哪个是较好的方案问题。
设计意图：利用直线和椭圆相离的背景，两次变式提问，引发学生深层次的思考，而且让学生体会到经过思考后解决问题的喜悦。
师：大家表现的很好，看来只要肯思考，问题总是可以解决的。在方案一中，大家得到两个m的值，m=-25，m=25若我给一个两m中间的值，如m=20，大家知道此时直线与椭圆的位置关系吗？
生：作图后观察是相交。
师：大家能求出相交的两点间距离（相交弦）长吗？
生：再次讨论，师巡视，学生会利用相交弦长公式解决问题。
师：从这两个问题的解决中，大家发现直线和椭圆位置关系有几种呢？三种，即，相离，相切，相交。本节所讨论的问题就是围绕教材47页的例7展开的。作业：大家围绕本节内容，就《直线和椭圆的位置关系》写一份学习报告。
三、小结 教后反思：
本文围绕教材中的一个例题，解决了直线和椭圆相离，相切，相交的问题。在教师预设的思路中，学生积极主动的参与整个探究的过程。让学生经历设计方案，解决方案，从而感受到解决问题的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，解决问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
参考文献：
[1] 张辉 圆与椭圆、抛物线的结合在高考中的体现【J】数学学习与研究；2013.3.
[2] 刘铮 椭圆与圆的变换关系应用【J】数学通讯2001，12.
[3] 宋春梅 几何法解圆锥曲线问题研究【J】高中数理化 2011.12.
【关键词】案例教学法；逻辑性；椭圆；课堂设计
一、 前言
在人民教育出版社出版的高中数学选修教材2—1第47页有一道这样的例题：已知椭圆，直线L：4x-5y+40=0，椭圆上是否存在一点，它到直线L的距离最小？最小距离是多少？大多学者对椭圆与圆[1-3]的位置关系的研究采用数形结合法，而对于采用何种方式讲授这个知识点才能让学生更容易接受与理解，大多学者也进行了很多有价值的研究。本文应用案例教学的方法对这一知识点进行了分析与研究。通过现实课堂的反馈，案例教学方法更有利学生的理解与掌握。
二、案例教学法的过程
具体过程如下：
师：大家知道方程表示的是什么曲线？
生：焦点在X轴上的椭圆。
师：大家能快速作出它的图像吗？
生：规范，认真作好图。
师：方程4x-5y+40=0呢？
生：直线
师：大家在同一坐标系中做图并观察两者的关系。
设计意图：体会曲线与方程的对应性，加强数形结合的意识。
生：相离。
师：图上看见的相离，数上如何体现呢？
生：直线方程与椭圆方程组成的方程组无解，
师：大家能刻化相离程度吗？停顿片刻，指出：如椭圆上点到直线的最小距离是多少？
生：学生表现出异常的兴奋，有很强探索意识。师在教室巡视观察学生的思维，解决问题的方式。学生激烈的讨论后，师组织学生表达解题方案：
生甲：与直线4x-5y+40=0平行的直线经过最小距离平移后会和椭圆有一个公共点，即直线与椭圆相切。为此解决步骤如下：
第一步，设直线方程为4X-5y+m=0.
第二步，直线4X-5y+m=0.与椭圆联立消y后判别式等于0会得到两个m的值。m=-25和m=25
第三步，数形结合，观察那两条平行直线间距离是最小的。用这种方法解决完后，另一个学生站起来，大胆表达他的另一种解决方案：
生乙：我认为这种方法烦，可以考虑三角换元法，设x=5cosQ
y=3sinQ 则椭圆上点到直线的距离可用点到直线的距离公式表示为：d=，此时椭圆上点到直线的距离的最值问题转化为三角函数的最值问题。
生乙的解法得到全班同学的赞扬，顿时教室响起掌声，师肯定生乙的解法，利用等价转换的思想后，组织学生比较两种解法的优劣。
师：若题目变为：求椭圆上点到直线的最大距离是多少？那是哪种方法好呢？
生：讨论后发现，还是三角换元法方便。
师：再次提问引发学生深层次的思考。若题目变求椭圆上哪个点到直线的距离最小，哪个点到直线的距离最大呢？
生：再次激烈讨论，比较两种方案在找点上的异同，最后觉得若在椭圆上找点还是第一种方案好求点。
师：只求距离的最值，方案二好点；若还要求取到最值的点，则方案一好点。可见解决同一个问题的方案不只有一个，但是存在哪个是较好的方案问题。
设计意图：利用直线和椭圆相离的背景，两次变式提问，引发学生深层次的思考，而且让学生体会到经过思考后解决问题的喜悦。
师：大家表现的很好，看来只要肯思考，问题总是可以解决的。在方案一中，大家得到两个m的值，m=-25，m=25若我给一个两m中间的值，如m=20，大家知道此时直线与椭圆的位置关系吗？
生：作图后观察是相交。
师：大家能求出相交的两点间距离（相交弦）长吗？
生：再次讨论，师巡视，学生会利用相交弦长公式解决问题。
师：从这两个问题的解决中，大家发现直线和椭圆位置关系有几种呢？三种，即，相离，相切，相交。本节所讨论的问题就是围绕教材47页的例7展开的。作业：大家围绕本节内容，就《直线和椭圆的位置关系》写一份学习报告。
三、小结 教后反思：
本文围绕教材中的一个例题，解决了直线和椭圆相离，相切，相交的问题。在教师预设的思路中，学生积极主动的参与整个探究的过程。让学生经历设计方案，解决方案，从而感受到解决问题的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，解决问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
参考文献：
[1] 张辉 圆与椭圆、抛物线的结合在高考中的体现【J】数学学习与研究；2013.3.
[2] 刘铮 椭圆与圆的变换关系应用【J】数学通讯2001，12.
[3] 宋春梅 几何法解圆锥曲线问题研究【J】高中数理化 2011.12.