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摘 要：本文利用概率论知识以及中心极限定理，分析保险理论计算小概率事件发生的概率、实际赔偿金额与期望赔偿金额之间的差距、保险公司保费的制定方法以及参保人数对于保险公司亏本概率的影响。最后介绍再保险制度，以及再保险制度如何提高保险公司的安全垫，降低保险公司亏本的概率。
关键词：中心极限定理；保险；再保险；保费计算
一、概述
在概率论中，根据大数定律，独立同分布试验次数越多，试验结果越稳定，均值更加接近于期望。而当试验次数不够时，结果就不太稳定，很容易受个别事件的影响。对于个体而言，人有旦夕祸福，一场大病就能够让一个中产家庭重返赤贫，风险的巨大摧毁力让个体无法承担。保险与精算行业的出现则是为了分摊风险，设计保险规则将分散的风险集中起来，利用大数定律平摊风险。这样充满不确定性的风险平均后的损失就是确定的，只要个体之间是独立的，个体数量越多，平均损失就越接近于预期损失。
所以保险公司在开发新产品时，就要通过调研大量历史数据来估算这种新产品包括在内的风险损失。大数定律告诉我们当个体人数越多时，平均损失接近预期损失，但是没有解释如何计算偏差。中心极限定理则提供工具，即当样本数量服从大数定律时，随机样本的平均损失服从正态分布，再通过调整使其服从标准正态分布。通过这个工具，保险公司可以根据保费费率、参保人数、保证金精确计算自己资不抵债倒闭的概率。
当保费无法增加，在市场因素下参保人数会降低，参保人数达到瓶颈后，保险公司为了进一步降低倒闭的概率，可以参见再保险计划，保险公司之间再平摊风险。
二、定理
Lindeberg-Levy中心极限定理：设样本X1，X2，…，Xn，…是一列相互独立同分布的随机变量，满足EXk=μ，VarXk=σ2，0<σ2<
SymboleB@ ，则随机变量∑nk=1Xk-nμσn依分布收敛到标准正态分布，即limn→
SymboleB@ P∑nk=1Xk-nμσn≤t=∫t-
SymboleB@ 12πe-x22dxφ（t），标准正态分布的分布函数可以通过查表或者计算机软件轻松获得。
三、应用
例1.现有50万个人参加某年龄段的意外险，一年内每个人事故的概率为万分之一，可以从保险公司领取100万元，每个人发生事故是独立的事件，安全附加系数为30%，保险公司的固定支出每年为100万。问（1）保险公司有多大概率亏钱呢？（2）保险公司需要准备多少保证金才能保证履行兑付责任的概率不低于99%？如果是99.9%，99.99%呢？（3）如果保险公司在安全附加系数为30%基础上保证99%的概率不亏本，它至少需要扩展业务到多少份保单？（4）如果只有50万份保单，保险需要把安全附加系数提高多少才能将不亏钱概率提高到99%？
解：记ξi=1，第i个人一年内出事故0，第i个人一年内没出事故，则ξi独立同分布且Pξi=1=10-4，S=∑ni=1ξi，n=5×105，Eξi=10-4，Varξi=9.999×10-5。每个人缴纳的保费为106×10-4×1.3=130，所以保险公司收到的保费为6500万，除去固定支出后还剩6400万。
（1）当S>64时保险公司会出现亏损，由中心极限定理PS-ESσn≤t～φt，PS>64=1-PS≤64=1-PS-nEξiσn≤64-5010050×9.999×10-5～1-φ1.98～2.39%；
（2）设保险公司准备的保证金为x，则当S≤64+10-6x时保险公司能够完全兑付，由中心极限定理PS≤64+10-6x=
PS-nEξiσn≤14+10-6x10050×9.9999×10-5～φ14+10-6x50>99%，即14+10-6x50>2.326，x>2.45×106元；如果要求不低于99.9%概率能够完全赔付，即4+10-6x5>3.09，x>7.85×106元；如果要求不低于99.99%概率能够完全赔付，即4+10-6x5>3.719，x>1.23×107元，所以当保险公司准备1230万元准备金时，就可以保证99.99%的概率能够完成赔付，这也是中国政府要求保险公司必须缴纳足够的准备金在监管部门的理由。
（3）根据大数定律与中心极限定理，当样本数量增加时，Sn越接近Eξi，而且保险公司前期调研，办公等固定支出可以随着参保人数的增加而稀释。所以参保人数越多，保险公司的赔钱的风险越小，越能够稳稳地赚钱。当参保人数为m时，130m106（S+1），即S≤1.3m×10-4-1时保险公司不亏，通过中心极限定理，PS≤1.3m×10-4-1=PS-nEξiσn≤1.3m×10-4-1-m×10-4m×9.9999×10-5～φ3m×10-5-1m×10-4>99%，设t=m×10-4，则要求3t2-1010t>2.33，推出t>8.17，所以m>6.67×105，需要将参保人数提高16.7万可将保本概率从97.61%提高到99%；
（4）如果市场份额已经到达极限，那么保险公司可以提高安全附加系数，也就是增加保費来获利。设安全附加系数修改为θ，则公司收到的保费为5×107（1+θ），除去固定开支后出事故人数S≤501+θ-1是保险公司保本，要使得PS-nEξiσn≤50θ-110050×9.9999×10-5～φ50θ-150>99.9%，即要求50θ-150>3.09，即安全附加系数至少要45.7%，每份保单价格提高15.元保险公司就能够将保本概率从96.3%提高到99.9%。
例2.当单个保险公司规模较小时，且对于风险的敏感度很高，可以加入再保险公司，按照第（2）问中计算的保险公司需要准备785万保证金才能保证99.9%的概率能够兑付，保险公司为了对冲这千分之一的风险，有100家保险公司加入再保险计划，每家保险公司缴纳40万元，有千分之一的概率保险公司亏损800万，就能够获得再保险公司赔偿800万，求再保险计划能够赔付的概率。
解：按照例1中的模型，当S≤5时再保险计划能够赔付，由中心极限定理，PS≤10=PS-nEξiσn≤5-100×10-310×9.99×10-4～φ15.49～100%所以再保险计划能够兑付保险公司800万的损失。
参考文献：
[1]岳金健.中心极限定理和大数法则在保险中的应用[J].江苏教育学院学报（自然科学版），2007，24（04）：134-136.
[2]王稳，陈琛，汪风.小概率高损失事件的忽略——对中国发展巨灾保险的意义[J].保险研究，2009，（12）：15-20.
作者简介：
康子璇，北京交通大学附属中学。
关键词：中心极限定理；保险；再保险；保费计算
一、概述
在概率论中，根据大数定律，独立同分布试验次数越多，试验结果越稳定，均值更加接近于期望。而当试验次数不够时，结果就不太稳定，很容易受个别事件的影响。对于个体而言，人有旦夕祸福，一场大病就能够让一个中产家庭重返赤贫，风险的巨大摧毁力让个体无法承担。保险与精算行业的出现则是为了分摊风险，设计保险规则将分散的风险集中起来，利用大数定律平摊风险。这样充满不确定性的风险平均后的损失就是确定的，只要个体之间是独立的，个体数量越多，平均损失就越接近于预期损失。
所以保险公司在开发新产品时，就要通过调研大量历史数据来估算这种新产品包括在内的风险损失。大数定律告诉我们当个体人数越多时，平均损失接近预期损失，但是没有解释如何计算偏差。中心极限定理则提供工具，即当样本数量服从大数定律时，随机样本的平均损失服从正态分布，再通过调整使其服从标准正态分布。通过这个工具，保险公司可以根据保费费率、参保人数、保证金精确计算自己资不抵债倒闭的概率。
当保费无法增加，在市场因素下参保人数会降低，参保人数达到瓶颈后，保险公司为了进一步降低倒闭的概率，可以参见再保险计划，保险公司之间再平摊风险。
二、定理
Lindeberg-Levy中心极限定理：设样本X1，X2，…，Xn，…是一列相互独立同分布的随机变量，满足EXk=μ，VarXk=σ2，0<σ2<
SymboleB@ ，则随机变量∑nk=1Xk-nμσn依分布收敛到标准正态分布，即limn→
SymboleB@ P∑nk=1Xk-nμσn≤t=∫t-
SymboleB@ 12πe-x22dxφ（t），标准正态分布的分布函数可以通过查表或者计算机软件轻松获得。
三、应用
例1.现有50万个人参加某年龄段的意外险，一年内每个人事故的概率为万分之一，可以从保险公司领取100万元，每个人发生事故是独立的事件，安全附加系数为30%，保险公司的固定支出每年为100万。问（1）保险公司有多大概率亏钱呢？（2）保险公司需要准备多少保证金才能保证履行兑付责任的概率不低于99%？如果是99.9%，99.99%呢？（3）如果保险公司在安全附加系数为30%基础上保证99%的概率不亏本，它至少需要扩展业务到多少份保单？（4）如果只有50万份保单，保险需要把安全附加系数提高多少才能将不亏钱概率提高到99%？
解：记ξi=1，第i个人一年内出事故0，第i个人一年内没出事故，则ξi独立同分布且Pξi=1=10-4，S=∑ni=1ξi，n=5×105，Eξi=10-4，Varξi=9.999×10-5。每个人缴纳的保费为106×10-4×1.3=130，所以保险公司收到的保费为6500万，除去固定支出后还剩6400万。
（1）当S>64时保险公司会出现亏损，由中心极限定理PS-ESσn≤t～φt，PS>64=1-PS≤64=1-PS-nEξiσn≤64-5010050×9.999×10-5～1-φ1.98～2.39%；
（2）设保险公司准备的保证金为x，则当S≤64+10-6x时保险公司能够完全兑付，由中心极限定理PS≤64+10-6x=
PS-nEξiσn≤14+10-6x10050×9.9999×10-5～φ14+10-6x50>99%，即14+10-6x50>2.326，x>2.45×106元；如果要求不低于99.9%概率能够完全赔付，即4+10-6x5>3.09，x>7.85×106元；如果要求不低于99.99%概率能够完全赔付，即4+10-6x5>3.719，x>1.23×107元，所以当保险公司准备1230万元准备金时，就可以保证99.99%的概率能够完成赔付，这也是中国政府要求保险公司必须缴纳足够的准备金在监管部门的理由。
（3）根据大数定律与中心极限定理，当样本数量增加时，Sn越接近Eξi，而且保险公司前期调研，办公等固定支出可以随着参保人数的增加而稀释。所以参保人数越多，保险公司的赔钱的风险越小，越能够稳稳地赚钱。当参保人数为m时，130m106（S+1），即S≤1.3m×10-4-1时保险公司不亏，通过中心极限定理，PS≤1.3m×10-4-1=PS-nEξiσn≤1.3m×10-4-1-m×10-4m×9.9999×10-5～φ3m×10-5-1m×10-4>99%，设t=m×10-4，则要求3t2-1010t>2.33，推出t>8.17，所以m>6.67×105，需要将参保人数提高16.7万可将保本概率从97.61%提高到99%；
（4）如果市场份额已经到达极限，那么保险公司可以提高安全附加系数，也就是增加保費来获利。设安全附加系数修改为θ，则公司收到的保费为5×107（1+θ），除去固定开支后出事故人数S≤501+θ-1是保险公司保本，要使得PS-nEξiσn≤50θ-110050×9.9999×10-5～φ50θ-150>99.9%，即要求50θ-150>3.09，即安全附加系数至少要45.7%，每份保单价格提高15.元保险公司就能够将保本概率从96.3%提高到99.9%。
例2.当单个保险公司规模较小时，且对于风险的敏感度很高，可以加入再保险公司，按照第（2）问中计算的保险公司需要准备785万保证金才能保证99.9%的概率能够兑付，保险公司为了对冲这千分之一的风险，有100家保险公司加入再保险计划，每家保险公司缴纳40万元，有千分之一的概率保险公司亏损800万，就能够获得再保险公司赔偿800万，求再保险计划能够赔付的概率。
解：按照例1中的模型，当S≤5时再保险计划能够赔付，由中心极限定理，PS≤10=PS-nEξiσn≤5-100×10-310×9.99×10-4～φ15.49～100%所以再保险计划能够兑付保险公司800万的损失。
参考文献：
[1]岳金健.中心极限定理和大数法则在保险中的应用[J].江苏教育学院学报（自然科学版），2007，24（04）：134-136.
[2]王稳，陈琛，汪风.小概率高损失事件的忽略——对中国发展巨灾保险的意义[J].保险研究，2009，（12）：15-20.
作者简介：
康子璇，北京交通大学附属中学。