在高考数学试卷中，难度最大的是解析几何、函数与导数这两个大题，它们成为不少考生难以攀登的“珠穆朗玛峰”。下面节选两个高考原题，尝试利用思维工具中的部分方法对试题进行分析，体会如何利用思维工具提高数学能力。
　　例1设a>0，讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）x的单调性。
　　解析：本题的题意简单明了，就一个目标：函数的单调性，这个内容在高中数学中非常重要也常见。聚焦函数的单调性问题，同学们很容易想到利用导函数的正负号分析原函数的单调性，但这里就容易产生一个丢分点：函数的定义域。
　　对这个函数求导后，部分考生可能会陷入慌乱，结果是f′（x）=1x+2a（1-a）x-2（1-a），感觉导数的形式复杂。此时，目的、方向非常关键：导数的正负号决定函数的单调性。平时面对这样的复杂形式，我们都要对其就行化简，去伪求真。通分应该是平时就要养成的习惯，当我们对导数通分后，发现导数f′（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1x的正负号只由分子2a（1-a）x2-2（1-a）x+1来决定，因此，找准方向，聚焦新问题：构建函数G（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1，分析其正负号的分布。
　　因为常数a的不确定性，当a=1时，1-a为0，从而使得G（x）变成了一个常数函数G（x）=1恒为正，从而确定单调性。这点非常重要，1把a的范围分成了两部分：（0，1）和（1，+∞）。该两个范围会使得二次函数G（x）二次项系数2a（1-a）的正负发生变化，导致开口发生变化，从而使导数的正负号发生变化，进而影响函數的单调性。
　　例2如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=-2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP。
　　图1
　　（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程。
　　（2）已知点T（1，-1），设H是E 上动点，求HO+HT的最小值，并给出此时点H的坐标。
　　（3）过点T（1，-1）且不平行于y轴
　　的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围。
　　解析：本题的题意比较好理解，考生完全可以根据题目的已知条件，求出点M的轨迹方程为y2=4（x+1）（x≥-1）。
　　由第一问知M的轨迹方程y2=4（x+1），确定出轨迹是一条开口向右，p为2，焦点（0，0）的抛物线。这个结论对第二问非常重要，可以利用抛物线的定义找到求出最小值的办法。
　　图2
　　求解第三问时，部分考生会出现一个困惑，因为所给点T在抛物线内部，无论怎样画直线，都和抛物线有两个交点，那么斜率的范围就是一切实数R了。这时，就需要考虑是否前面的解答出现了错误，曲线的形式是否还有其他没有考虑到，从而对现存结论进行反思，寻找解决的办法。因为抛物线是肯定存在的了，再结合题目中谈到了“有且只有”的字眼，那么是否还有轨迹没有发现？这样，再次回到第一问进行探究，就有可能找到M点存在的另外一种情况y=0x<-1。
　　综上所述，思维工具对数学能力的培养是非常重要的，如果平时能够经常利用诸多工具，内化为思维的一种习惯，会帮助我们更加容易地发现问题解决的办法。
　　作者单位：广东省佛山市顺德区勒流中学