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【摘要】密码学是一门交叉学科，涉及众多数学知识，内容丰富，在很大程度上是一门应用数学学科。本文着重介绍数学在密码学各种算法中的基本理论及应用，包括数论、线性代数、近世代数等。
【关键词】模运算 欧拉定理 应用
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）04-0052-02
引言
信息安全的主要任务是研究计算机系统和通信网络中信息的保护方法，其中密码学正是实现这些功能的核心技术。然而密码学在很大程度上是一门应用数学学科，在先修课程当中虽然有高等数学、线性代数、概率论等基础数学知识，但是在密码学的学习当中仍然涉及到数论、近世代数等数学知识。本文从这一角度出发，介绍模运算、欧拉定理、及熵的基本理论及在密码学当中的应用。
一、传统密码应用
在1949年香农发表《保密系统的通信理论》之前，密码体制主要通过字符间的简单置换和代换实现，一般认为这些密码体制属于传统密码体制范畴。其中置换密码通常较简单，通过位置的改变重新排列明文，而在代换密码当中的单表代换密码中的典型算法仿射密码当中涉及到了模运算、模逆元、欧拉函数的基本理论。
1.仿射密码仿射密码的加密算法就是一个线性代换，即对任意的明文字符x，对应的密文字符为y=e（x）=ax+b（mod26），其中a，b∈Z26，且要求gcd（a，26）=1，函数e（x）称为仿射加密函数。由欧拉定理可知在Z26上与26互素的数共有12个，其中欧拉函数是指对于一个正整数n，与其互素的且小于等于n的正整数的个数可以表示为准（n）。在y=e（x）=ax+b（mod26）中两边同时左乘，a-1a-1ax=（a-1a）x=x=a-1（e（x-b）（mod26）由此可得仿射解密函数为：x=d（e（x））=a-1（e（x）-b）（mod26）。从仿射求解仿射解密函数来看，需要求出a在Z26上的乘法逆元a-1∈Z26。
2.Hill密码，希尔密码是由数学家LesterHill于1929在《American Mathematical Monthly》杂志上首次提出的。其基本思想是利用Z26上的线性变换把n个连续的明文字母替换为n个密文字母。这个替换是由密钥决定的，而这个密钥是一个变换矩阵，解密时只需对密文做一次逆变换即可。
二、现代密码应用
1949年香农发表《保密系统的通信理论》标志着现代密码学的真正开始。在这片论文中，香农首次将信息论引入到密码学研究中，他利用概率统计的观点和熵的概念对信息源、密钥源、传输的密文和密码系统的安全性进行了数学描述和定量分析，并提出了密码体制的模型。他的工作为现代密码学及密码分析学奠定了坚实的理论基础在现代密码学中无论是对称密码学范畴还是公钥密码体制思想均应用到了数学当中的数论及香农理论。
1.AES算法AES的处理单位是字节，128位的输入明文分组P今儿输入密钥K都被分成16个字节，整体经过十轮操作，第一轮到第九轮的论函数一样，包括四个操作：字节代换、行移位、列混合和轮密钥加。最后一轮迭代不执行列混合。值得一提的是在字节代换中用到的S盒置换运用到了近世代数的知识。
2.RSA公钥算法RSA的基础是数论的欧拉函数，它的安全性依赖于大整数因子分解的困难性。RSA公钥密码体制既可用于加密，也可用于数字签名，且具有安全、易懂、易实现等特点。算法过程如下：公钥为n（两素数p和q的乘积），公钥e：满足gcd（e，准（n））=1，准（n）=（p-1）（q-1）私钥d=e-1mod准（n），加密算法c=memodn，解密算法m=cdmodn。
3.ElGamal签名体制ElGamal数字签名方案是一种非确定性的签名方案，即对给定的一个消息，由于选择的随机数不同而又不同的数字签名，并且验证算法能够将它们中的任何一个作为有效的签名而接受。下面简要介绍其方案的实现过程。
（1）初始化：选择一个满足安全性要求的大素数p，然后选择一个生成元g∈Z*P和随机数
x∈RZ*P-1（其中*表示除去零元，R表示随机选取），
计算y=gxmodp。则签名者A的公钥为（p，g，y），私钥为x。
（2）签名过程：设待签消息为m，签名者选择随机数
k∈RZ*P，计算：r=gkmodps=[h（m）-xr]k-1mod（p-1）。
则对消息m的数字签名为（r，s），其中h为安全的Hash
函数。
（3）验证过程：签名接收者B收到消息m和签名（r，s）后，
首先计算h（m），然后验证等式：
yrrs=gh（m）modp，如等式成立，则
签名有效；否则签名无效。
三、小结
本文主要基于数学中的数论、线性代数、近世代数等理论介绍了它们在密码学中的应用，这些数学基础与密码学紧密相关。密码学中的加密、解密、破译都与数学联系在一起，数学密码已成为密码学中的主流学科。
参考文献：
[1]谷利泽，等.现代密码学教程[M].北京：北京邮电大学出版社，2009.
[2]潘承洞，等.初等数论[M].北京：北京大学出版社，2003.
[3]楊 波.现代密码学[M].北京：清华大学出版社，2003.
【关键词】模运算 欧拉定理 应用
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）04-0052-02
引言
信息安全的主要任务是研究计算机系统和通信网络中信息的保护方法，其中密码学正是实现这些功能的核心技术。然而密码学在很大程度上是一门应用数学学科，在先修课程当中虽然有高等数学、线性代数、概率论等基础数学知识，但是在密码学的学习当中仍然涉及到数论、近世代数等数学知识。本文从这一角度出发，介绍模运算、欧拉定理、及熵的基本理论及在密码学当中的应用。
一、传统密码应用
在1949年香农发表《保密系统的通信理论》之前，密码体制主要通过字符间的简单置换和代换实现，一般认为这些密码体制属于传统密码体制范畴。其中置换密码通常较简单，通过位置的改变重新排列明文，而在代换密码当中的单表代换密码中的典型算法仿射密码当中涉及到了模运算、模逆元、欧拉函数的基本理论。
1.仿射密码仿射密码的加密算法就是一个线性代换，即对任意的明文字符x，对应的密文字符为y=e（x）=ax+b（mod26），其中a，b∈Z26，且要求gcd（a，26）=1，函数e（x）称为仿射加密函数。由欧拉定理可知在Z26上与26互素的数共有12个，其中欧拉函数是指对于一个正整数n，与其互素的且小于等于n的正整数的个数可以表示为准（n）。在y=e（x）=ax+b（mod26）中两边同时左乘，a-1a-1ax=（a-1a）x=x=a-1（e（x-b）（mod26）由此可得仿射解密函数为：x=d（e（x））=a-1（e（x）-b）（mod26）。从仿射求解仿射解密函数来看，需要求出a在Z26上的乘法逆元a-1∈Z26。
2.Hill密码，希尔密码是由数学家LesterHill于1929在《American Mathematical Monthly》杂志上首次提出的。其基本思想是利用Z26上的线性变换把n个连续的明文字母替换为n个密文字母。这个替换是由密钥决定的，而这个密钥是一个变换矩阵，解密时只需对密文做一次逆变换即可。
二、现代密码应用
1949年香农发表《保密系统的通信理论》标志着现代密码学的真正开始。在这片论文中，香农首次将信息论引入到密码学研究中，他利用概率统计的观点和熵的概念对信息源、密钥源、传输的密文和密码系统的安全性进行了数学描述和定量分析，并提出了密码体制的模型。他的工作为现代密码学及密码分析学奠定了坚实的理论基础在现代密码学中无论是对称密码学范畴还是公钥密码体制思想均应用到了数学当中的数论及香农理论。
1.AES算法AES的处理单位是字节，128位的输入明文分组P今儿输入密钥K都被分成16个字节，整体经过十轮操作，第一轮到第九轮的论函数一样，包括四个操作：字节代换、行移位、列混合和轮密钥加。最后一轮迭代不执行列混合。值得一提的是在字节代换中用到的S盒置换运用到了近世代数的知识。
2.RSA公钥算法RSA的基础是数论的欧拉函数，它的安全性依赖于大整数因子分解的困难性。RSA公钥密码体制既可用于加密，也可用于数字签名，且具有安全、易懂、易实现等特点。算法过程如下：公钥为n（两素数p和q的乘积），公钥e：满足gcd（e，准（n））=1，准（n）=（p-1）（q-1）私钥d=e-1mod准（n），加密算法c=memodn，解密算法m=cdmodn。
3.ElGamal签名体制ElGamal数字签名方案是一种非确定性的签名方案，即对给定的一个消息，由于选择的随机数不同而又不同的数字签名，并且验证算法能够将它们中的任何一个作为有效的签名而接受。下面简要介绍其方案的实现过程。
（1）初始化：选择一个满足安全性要求的大素数p，然后选择一个生成元g∈Z*P和随机数
x∈RZ*P-1（其中*表示除去零元，R表示随机选取），
计算y=gxmodp。则签名者A的公钥为（p，g，y），私钥为x。
（2）签名过程：设待签消息为m，签名者选择随机数
k∈RZ*P，计算：r=gkmodps=[h（m）-xr]k-1mod（p-1）。
则对消息m的数字签名为（r，s），其中h为安全的Hash
函数。
（3）验证过程：签名接收者B收到消息m和签名（r，s）后，
首先计算h（m），然后验证等式：
yrrs=gh（m）modp，如等式成立，则
签名有效；否则签名无效。
三、小结
本文主要基于数学中的数论、线性代数、近世代数等理论介绍了它们在密码学中的应用，这些数学基础与密码学紧密相关。密码学中的加密、解密、破译都与数学联系在一起，数学密码已成为密码学中的主流学科。
参考文献：
[1]谷利泽，等.现代密码学教程[M].北京：北京邮电大学出版社，2009.
[2]潘承洞，等.初等数论[M].北京：北京大学出版社，2003.
[3]楊 波.现代密码学[M].北京：清华大学出版社，2003.