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【摘要】基于新课程的教材观，教师在设计“空间向量的正交分解及其坐标表示”教学时，在尊重教材设计的基础上，突破内容类比，尝试探究类比，以“平面向量的基本定理及坐标表示”的探究框架，类比“空间向量的正交分解及其坐标表示”的探究过程，顺应了教材设计，实现了教材的再创造过程。
【关键词】空间向量；分解；类比思想；教材
【作者简介】黄珮莹，广州大学数学与信息科学学院学科教学（数学）硕士研究生；廖运章，本文通讯作者，广州大学数学与信息科学学院教授，博士生导师，研究方向为数学教育研究。新课程的教材观认为，教材是重要的课程资源，是课程实施的物质载体，也是师生活动的主要依据。有效地驾驭教材就是教师依据课程标准，运用科学的教学理念和教学知识，有效地分析教材、整合教材、创生教材，使教材发挥其课程资源的应有功能，提高课堂教學实效[1]68。
在当下的高中数学教学中，教师在使用教材方面还存在一些问题：脱离学情，照搬教材；偏离文本，“冷落”教材；消除重点，误读教材。只有基于教材才能高于教材，尊重教材方可超越教材[1]68。因此，我们应该更加关注基于教材的再创造过程，在对知识和教学深度掌握的基础上，从学生已有的认知结构和经验出发，关注教材内容的设计，重新组织教材，深入地理解和把握教材各部分内容之间的内在逻辑关系[2]。
笔者在对教材“空间向量的正交分解及其坐标表示”内容进行深入理解和挖掘后，基于对教材编写意图及教学内容在教材中所处地位和价值的思考，从整体上把握教材的设计思路和框架，对此部分内容的教学进行了新的设计。
一、教材分析
“空间向量的正交分解及其坐标表示”是人教A版高中数学选修2-1“空间向量与立体几何”第一节第四课时的内容。这个课时处在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，其中的意义就是借助空间向量的基本定理，得出空间向量坐标的定义。新课标对此的要求是，学生了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义。因此，空间向量基本定理以及如何通过空间向量基本定理完成空间向量的坐标化是这节课的重点。
空间向量与平面向量没有本质区别，只是维度从二维上升到三维，无论是向量的定义还是运算，也都完全相同。由此，“空间向量与立体几何”的教材内容编排和概念引入，都是利用类比思想完成二维到三维的过渡。但是，简单机械的类比只会限制学生对类比思想的理解。例如，有些教师会直接类比平面向量基本定理而得到空间向量基本定理。向量坐标的定义亦是如此。这种只是在字面意义上做出修改的类比显得空洞乏味。为了突破简单的内容类比，笔者通过分析教材设计的整体和局部，对教材进行整合与创新，形成富有探索性类比的教学设计，完成基于教材的再创造过程。
笔者将“平面向量的基本定理及坐标表示”与“空间向量的正交分解及其坐标表示”的教材内容进行了比较。
“空间向量的正交分解及其坐标表示”的教材内容设计如下：教师首先两次利用平面向量基本定理完成空间向量的正交分解（特殊），其次在抛出探究后引出空间向量基本定理（一般），然后由单位正交基底创设从正交基底到空间直角坐标系的转化，最后在例题4的四面体中用一组基底表示其他空间向量（一般分解）。内容流程如图1。
由于要类比平面和空间相同内容的教材设计，笔者同时抽取并拼接人教A版高中数学必修4第二章第三节第一课时“平面向量基本定理”和第二课时“平面向量的正交分解及坐标表示”的内容。两课时的设计分别如下。第一课时：首先，运用平行四边形法则对任意一个向量用两个向量进行量化；其次，教师揭示平面向量基本定理（一般）；然后，教师介绍两向量的夹角情况；最后，例题1由已知两向量去量化（合成）一向量，即平面向量基本定理的一般合成应用。第二课时：首先，教师由物理情境“力的分解”引入平面向量的正交分解；其次，在平面直角坐标系上建立单位正交基底；最后，例题2在直角坐标系中利用平面向量的正交分解表示向量的坐标。总流程图如图2。
二、教学设计说明
通过以上比较，笔者发现，平面向量的正交分解的教学是在平面向量基本定理之后，即在从一般分解到特殊分解的引导过程；而空间向量的正交分解却是在空间向量的基本定理之前，即在从特殊分解到一般分解的引导过程。如果站在学生未知教材设计的角度看，运用类比的思想，容易类比平面向量基本定理推导过程，得到空间向量基本定理推导过程，如图3。
基于尊重学生自发思考得到推理思路的理念，教师引导其自主探究空间向量一般分解，在学生遇到分解困难后，再引导学生另辟蹊径，转而探究特殊分解的可行性，发现和归纳特殊分解的方法，自然类比得到一般分解的技巧，空间向量基本定理的几何意义也就浮于水面了。新的教学设计思路如图4。
三、教学设计
根据以上分析，笔者对“空间向量的正交分解及其坐标表示”这一课例的内容进行了如下教学设计。
（一）回顾旧知
问题1平面内的任意一个向量p→都可以用两个不共线的向量a→，b→表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量p→，有没有类似的结论呢？是否可以类比平面向量基本定理的推导过程来推导这个结论呢？
设计意图这是教材的原问题，笔者在此特意多加一个小问题，完成教材的再创造过程。设计这个问题的目的是引导学生整体把握平面向量基本定理的推导过程（如图2），进而类比这个推导过程，思考空间向量基本定理的获得过程。同时，学生回顾了平面向量基本定理的概念和分解方法（包括一般分解和正交分解）。
（二）探索新知
问题2根据自行把握的平面向量基本定理的推导过程，平面向量的一般分解是发现定理的关键性操作，即平面内的任意一个向量p→都可以分解成两个不共线的向量a→，b→。对于空间类似的定理，我们可以类比创设一个推导过程吗？如何对空间任意一个向量进行一般分解？ 设计意图结论可以类比，那么对于结论的产生，笔者希望学生也能运用类比的数学思想发现空间向量基本定理（如图3）。同时，笔者设计推导过程（如图4）最主要的意图，是让学生发现空间向量一般分解的困难性，由此引发学生思考其他分解方法的可行性，也就是发现正交分解更具有操作性和直观性。这正是教材一开始就设计空间任意向量正交分解这一内容的巧妙之处。我们只要理解了教材设计的意图，加上创设的问题情境，就可以实现教材的再创造过程。
问题3已知平面内的任意一个向量p→都可以一般分解成两个不共线的向量a→，b→。那么，对于空间内的任意一个向量p→可以一般分解成几个什么样的向量呢？
设计意图学生顺着问题2思考，并且在问题3的引导下，类比空间和平面任意一个向量分解的基底要求，得出对于空间任意一个向量的分解需要三個不共面的向量a→，b→，c→的结论。
问题4如几何画板展示，设a→，b→，c→是空间任意三个不共面向量，且有公共起点O。对于空间任意一个向量p→=OP，如何类比平面任意向量的一般分解，确定基底后找到唯一的一组实数λ，μ，γ？
设计意图该教学设计让学生在展示的立体几何画板中直观感受三维空间，弥补了部分学生空间想象力的不足，让学生都带着想象力参与探究活动，并且从多角度观察空间任意三个不共面向量a→，b→，c→和向量p→（如图5），为学生寻找分解方法提供想象思路。
角度一角度二
角度三角度四
问题5由于是三维空间，一般分解任一向量p→显得难以操作。而我们知道特殊与一般是数学的基本思想方法，同学们能否对刚才创设的推导过程进行调整呢？能否通过基向量的特殊化获得正交分解向量p→的方法，再进一步迁移到一般分解呢？
设计意图概念的形成过程往往是特殊与一般的抽象过程，强抽象可以看成从一般到特殊的抽象，弱抽象则可以看成从特殊到一般的抽象[3]。学生对于三维空间的想象能力始终有限，即使有先进的信息技术辅助抽象过程，也是不够的。因此，笔者认为，这个空间向量的正交分解到一般分解的弱抽象过程，能更好地帮助学生形成概念。
图6到图8的过程为向量p→正交分解的操作过程。把问题4不共面向量a→，b→，c→特殊化为空间三个两两垂直的向量i→，j→，k→，且有公共起点O。对于空间任意一个向量p→=OP进行正交分解（如图9）：① 作点P在i→，j→所确定的平面上的正投影点Q，连接OQ；② 由平面向量基本定理可知，在OQ，k→所确定的平面上，存在实数γ，使得OP=OQ+γk→；③ 在i→，j→所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（λ，μ），使得OQ=λi→+μj→；④ 从而，OP=OQ+γk→=λi→+μj→+γk→；⑤由此可知，如果向量i→，j→，k→是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p→，存在一个有序实数组{λ，μ，γ}，使得p→=λi→+μj→+γk→。
这个正交分解过程可以简化为图10。
由此可知，空间中对任意向量p→正交分解的操作方法是把向量p→往基向量形成的平面逐渐转移，利用平面向量基本定理实现各个分向量的线性表示，最后得出向量p→由i→，j→，k→的线性表示。正交分解方法迁移到一般分解上，道理同上。
问题6由正交分解得出的结论能得到一般分解的类似结论吗？如何把该结论定理化呢？
设计意图由特殊的结论类比转化到一般的结论，结论的定理化旨在让学生不仅在推导结构上作类比，还在定理和相关概念上与平面作类比，进而得出空间向量基本定理的表述形式、空间基底、空间基向量的概念，这是最简单的类比过程。
问题7由平面向量的基本定理向平面直角坐标系转化得到的启示，请同学们思考空间向量的基本定理如何向空间直角坐标系进行转化？即转化需要满足什么条件？
设计意图从类比转化的过程得知，转化的条件是分别与坐标轴方向相同的三个单位向量作为空间的一组基底，把任意向量p→的起点与原点O重合，得到向量p→=OP，由空间向量基本定理可知向量p→在这组基底下的线性表示，这组实数组与P点的空间坐标便是一一对应关系，即得到空间向量的坐标表示，如图11。
（三）范例与练习
练一练如图12，M，N分别是四面体O-ABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量OA，OB，OC表示OP和OQ。
设计意图例题设计是达成课堂教学目标的重要环节。笔者采用了教材中的例题进行新知识的巩固。练习的解题思路是运用空间向量基本定理对空间任意向量一般分解。虽然课例的标题是正交分解和坐标表示，但例题并没有体现，而一般分解正是正交分解的本质所在。学生掌握了一般分解的技巧，才能真正理解定理。
（四）归纳总结
师生一起归纳探究过程，如图13，展现整堂课清晰的探究思路。
整个探究过程无不渗透类比的思想，不仅从内容上进行类比，更是将定理的发现过程进行类比探究，体现了较好的教材再创造过程。
科学发现的过程都是曲折的，让学生体会数学探究过程的不易，体验思考带来的无限乐趣，培养了学生的数学核心素养。“类比思想”的渗透更为深刻，学生运用已有知识和经验，发现新旧事物之间、新旧问题之间的相似之处，并创造性地以旧引新，建构新知识，解决新问题。
参考文献：
[1]戴建华.基于教材高于教材：初中思想品德新课程有效驾驭教材摭谈[J].上海教育科研，2011（11）：6870.
[2]赵光千.基于教材的高中数学有效教学设计[J].中国数学教育，2013（22）：811.
[3]叶红.特殊与一般思想[J].中学数学教学参考，2018（1/2）：118121.
【关键词】空间向量；分解；类比思想；教材
【作者简介】黄珮莹，广州大学数学与信息科学学院学科教学（数学）硕士研究生；廖运章，本文通讯作者，广州大学数学与信息科学学院教授，博士生导师，研究方向为数学教育研究。新课程的教材观认为，教材是重要的课程资源，是课程实施的物质载体，也是师生活动的主要依据。有效地驾驭教材就是教师依据课程标准，运用科学的教学理念和教学知识，有效地分析教材、整合教材、创生教材，使教材发挥其课程资源的应有功能，提高课堂教學实效[1]68。
在当下的高中数学教学中，教师在使用教材方面还存在一些问题：脱离学情，照搬教材；偏离文本，“冷落”教材；消除重点，误读教材。只有基于教材才能高于教材，尊重教材方可超越教材[1]68。因此，我们应该更加关注基于教材的再创造过程，在对知识和教学深度掌握的基础上，从学生已有的认知结构和经验出发，关注教材内容的设计，重新组织教材，深入地理解和把握教材各部分内容之间的内在逻辑关系[2]。
笔者在对教材“空间向量的正交分解及其坐标表示”内容进行深入理解和挖掘后，基于对教材编写意图及教学内容在教材中所处地位和价值的思考，从整体上把握教材的设计思路和框架，对此部分内容的教学进行了新的设计。
一、教材分析
“空间向量的正交分解及其坐标表示”是人教A版高中数学选修2-1“空间向量与立体几何”第一节第四课时的内容。这个课时处在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，其中的意义就是借助空间向量的基本定理，得出空间向量坐标的定义。新课标对此的要求是，学生了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义。因此，空间向量基本定理以及如何通过空间向量基本定理完成空间向量的坐标化是这节课的重点。
空间向量与平面向量没有本质区别，只是维度从二维上升到三维，无论是向量的定义还是运算，也都完全相同。由此，“空间向量与立体几何”的教材内容编排和概念引入，都是利用类比思想完成二维到三维的过渡。但是，简单机械的类比只会限制学生对类比思想的理解。例如，有些教师会直接类比平面向量基本定理而得到空间向量基本定理。向量坐标的定义亦是如此。这种只是在字面意义上做出修改的类比显得空洞乏味。为了突破简单的内容类比，笔者通过分析教材设计的整体和局部，对教材进行整合与创新，形成富有探索性类比的教学设计，完成基于教材的再创造过程。
笔者将“平面向量的基本定理及坐标表示”与“空间向量的正交分解及其坐标表示”的教材内容进行了比较。
“空间向量的正交分解及其坐标表示”的教材内容设计如下：教师首先两次利用平面向量基本定理完成空间向量的正交分解（特殊），其次在抛出探究后引出空间向量基本定理（一般），然后由单位正交基底创设从正交基底到空间直角坐标系的转化，最后在例题4的四面体中用一组基底表示其他空间向量（一般分解）。内容流程如图1。
由于要类比平面和空间相同内容的教材设计，笔者同时抽取并拼接人教A版高中数学必修4第二章第三节第一课时“平面向量基本定理”和第二课时“平面向量的正交分解及坐标表示”的内容。两课时的设计分别如下。第一课时：首先，运用平行四边形法则对任意一个向量用两个向量进行量化；其次，教师揭示平面向量基本定理（一般）；然后，教师介绍两向量的夹角情况；最后，例题1由已知两向量去量化（合成）一向量，即平面向量基本定理的一般合成应用。第二课时：首先，教师由物理情境“力的分解”引入平面向量的正交分解；其次，在平面直角坐标系上建立单位正交基底；最后，例题2在直角坐标系中利用平面向量的正交分解表示向量的坐标。总流程图如图2。
二、教学设计说明
通过以上比较，笔者发现，平面向量的正交分解的教学是在平面向量基本定理之后，即在从一般分解到特殊分解的引导过程；而空间向量的正交分解却是在空间向量的基本定理之前，即在从特殊分解到一般分解的引导过程。如果站在学生未知教材设计的角度看，运用类比的思想，容易类比平面向量基本定理推导过程，得到空间向量基本定理推导过程，如图3。
基于尊重学生自发思考得到推理思路的理念，教师引导其自主探究空间向量一般分解，在学生遇到分解困难后，再引导学生另辟蹊径，转而探究特殊分解的可行性，发现和归纳特殊分解的方法，自然类比得到一般分解的技巧，空间向量基本定理的几何意义也就浮于水面了。新的教学设计思路如图4。
三、教学设计
根据以上分析，笔者对“空间向量的正交分解及其坐标表示”这一课例的内容进行了如下教学设计。
（一）回顾旧知
问题1平面内的任意一个向量p→都可以用两个不共线的向量a→，b→表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量p→，有没有类似的结论呢？是否可以类比平面向量基本定理的推导过程来推导这个结论呢？
设计意图这是教材的原问题，笔者在此特意多加一个小问题，完成教材的再创造过程。设计这个问题的目的是引导学生整体把握平面向量基本定理的推导过程（如图2），进而类比这个推导过程，思考空间向量基本定理的获得过程。同时，学生回顾了平面向量基本定理的概念和分解方法（包括一般分解和正交分解）。
（二）探索新知
问题2根据自行把握的平面向量基本定理的推导过程，平面向量的一般分解是发现定理的关键性操作，即平面内的任意一个向量p→都可以分解成两个不共线的向量a→，b→。对于空间类似的定理，我们可以类比创设一个推导过程吗？如何对空间任意一个向量进行一般分解？ 设计意图结论可以类比，那么对于结论的产生，笔者希望学生也能运用类比的数学思想发现空间向量基本定理（如图3）。同时，笔者设计推导过程（如图4）最主要的意图，是让学生发现空间向量一般分解的困难性，由此引发学生思考其他分解方法的可行性，也就是发现正交分解更具有操作性和直观性。这正是教材一开始就设计空间任意向量正交分解这一内容的巧妙之处。我们只要理解了教材设计的意图，加上创设的问题情境，就可以实现教材的再创造过程。
问题3已知平面内的任意一个向量p→都可以一般分解成两个不共线的向量a→，b→。那么，对于空间内的任意一个向量p→可以一般分解成几个什么样的向量呢？
设计意图学生顺着问题2思考，并且在问题3的引导下，类比空间和平面任意一个向量分解的基底要求，得出对于空间任意一个向量的分解需要三個不共面的向量a→，b→，c→的结论。
问题4如几何画板展示，设a→，b→，c→是空间任意三个不共面向量，且有公共起点O。对于空间任意一个向量p→=OP，如何类比平面任意向量的一般分解，确定基底后找到唯一的一组实数λ，μ，γ？
设计意图该教学设计让学生在展示的立体几何画板中直观感受三维空间，弥补了部分学生空间想象力的不足，让学生都带着想象力参与探究活动，并且从多角度观察空间任意三个不共面向量a→，b→，c→和向量p→（如图5），为学生寻找分解方法提供想象思路。
角度一角度二
角度三角度四
问题5由于是三维空间，一般分解任一向量p→显得难以操作。而我们知道特殊与一般是数学的基本思想方法，同学们能否对刚才创设的推导过程进行调整呢？能否通过基向量的特殊化获得正交分解向量p→的方法，再进一步迁移到一般分解呢？
设计意图概念的形成过程往往是特殊与一般的抽象过程，强抽象可以看成从一般到特殊的抽象，弱抽象则可以看成从特殊到一般的抽象[3]。学生对于三维空间的想象能力始终有限，即使有先进的信息技术辅助抽象过程，也是不够的。因此，笔者认为，这个空间向量的正交分解到一般分解的弱抽象过程，能更好地帮助学生形成概念。
图6到图8的过程为向量p→正交分解的操作过程。把问题4不共面向量a→，b→，c→特殊化为空间三个两两垂直的向量i→，j→，k→，且有公共起点O。对于空间任意一个向量p→=OP进行正交分解（如图9）：① 作点P在i→，j→所确定的平面上的正投影点Q，连接OQ；② 由平面向量基本定理可知，在OQ，k→所确定的平面上，存在实数γ，使得OP=OQ+γk→；③ 在i→，j→所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（λ，μ），使得OQ=λi→+μj→；④ 从而，OP=OQ+γk→=λi→+μj→+γk→；⑤由此可知，如果向量i→，j→，k→是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p→，存在一个有序实数组{λ，μ，γ}，使得p→=λi→+μj→+γk→。
这个正交分解过程可以简化为图10。
由此可知，空间中对任意向量p→正交分解的操作方法是把向量p→往基向量形成的平面逐渐转移，利用平面向量基本定理实现各个分向量的线性表示，最后得出向量p→由i→，j→，k→的线性表示。正交分解方法迁移到一般分解上，道理同上。
问题6由正交分解得出的结论能得到一般分解的类似结论吗？如何把该结论定理化呢？
设计意图由特殊的结论类比转化到一般的结论，结论的定理化旨在让学生不仅在推导结构上作类比，还在定理和相关概念上与平面作类比，进而得出空间向量基本定理的表述形式、空间基底、空间基向量的概念，这是最简单的类比过程。
问题7由平面向量的基本定理向平面直角坐标系转化得到的启示，请同学们思考空间向量的基本定理如何向空间直角坐标系进行转化？即转化需要满足什么条件？
设计意图从类比转化的过程得知，转化的条件是分别与坐标轴方向相同的三个单位向量作为空间的一组基底，把任意向量p→的起点与原点O重合，得到向量p→=OP，由空间向量基本定理可知向量p→在这组基底下的线性表示，这组实数组与P点的空间坐标便是一一对应关系，即得到空间向量的坐标表示，如图11。
（三）范例与练习
练一练如图12，M，N分别是四面体O-ABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量OA，OB，OC表示OP和OQ。
设计意图例题设计是达成课堂教学目标的重要环节。笔者采用了教材中的例题进行新知识的巩固。练习的解题思路是运用空间向量基本定理对空间任意向量一般分解。虽然课例的标题是正交分解和坐标表示，但例题并没有体现，而一般分解正是正交分解的本质所在。学生掌握了一般分解的技巧，才能真正理解定理。
（四）归纳总结
师生一起归纳探究过程，如图13，展现整堂课清晰的探究思路。
整个探究过程无不渗透类比的思想，不仅从内容上进行类比，更是将定理的发现过程进行类比探究，体现了较好的教材再创造过程。
科学发现的过程都是曲折的，让学生体会数学探究过程的不易，体验思考带来的无限乐趣，培养了学生的数学核心素养。“类比思想”的渗透更为深刻，学生运用已有知识和经验，发现新旧事物之间、新旧问题之间的相似之处，并创造性地以旧引新，建构新知识，解决新问题。
参考文献：
[1]戴建华.基于教材高于教材：初中思想品德新课程有效驾驭教材摭谈[J].上海教育科研，2011（11）：6870.
[2]赵光千.基于教材的高中数学有效教学设计[J].中国数学教育，2013（22）：811.
[3]叶红.特殊与一般思想[J].中学数学教学参考，2018（1/2）：118121.