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摘要：数学教学的最终目标是帮助学生发展与当代正活跃的数学家相一致的理解方式和思维方式。数学教学要注重引导学生经历知识发现和问题解决的探究过程，学会数学的探究方法。以对一道平面几何题的探究为例，说明一个数学探究的基本模型：从问题出发，寻求多种不同的解法或证明，拓展得到新的问题或结论，应用已有的结论解决新的问题。
关键词：数学探究 基本模型 证明 拓展 应用
数学教学的最终目标是帮助学生发展与当代正活跃的数学家相一致的理解方式和思维方式。学生应该及早地像数学大师那样追求和进行大量的创造性思考活动，而不应被学校里那种无休止的练习弄得头脑僵化和贫乏。在数学的领域里重要的不是知道什么，而是怎样知道。数学教学教学生怎样思考比教学生思考什么更加重要。数学教学要注重引导学生经历知识发现和问题解决的探究过程，学会数学的探究方法。
笔者曾撰文论述了数学探究的教育价值，并从学科底蕴方面说明了数学探究教学的必要性；还提出了数学教学中应加强问题的变式、引申与推广，以培养学生的探索能力；并进一步指出，为了更好地培养学生发现和提出问题的能力，教师要主动地让不同层次的学生都能以探索者的姿态出现，在探究中发现新颖而独特的解决方案，通过问题解决带来成功体验，激励学生“再发现”和“再创造”。
然而在教学实践中，许多教师常常不知如何引导学生进行数学探究，迫切希望有一种模式或方法来有效指导如何组织数学探究活动。夏小刚曾撰文给出了三种提出数学问题的基本方法：（1）直接询问初始条件法；（2）拓展初始条件法；（3）否定初始条件法。笔者也撰文给出过一个提出数学问题的模型（见图1）。这些方法或模型无疑对一线数学教师指导学生提出数学问题或从事数学探究具有重要的参考价值。
这里笔者进一步给出一个数学探究的基本模型（见图2），供教师参考。下面以对一道平面几何题的探究为例进行说明。
一、问题
问题求证：等腰三角形底边上任意一点与两腰的距离之和等于一腰上的高。
数学语言表述
如图3，在△ABC中，AB=AC，P是底边BC上一点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF。
二、证明
数学家们在解决问题时总是喜欢努力去寻求问题的不同证法，尤其是新颖简洁的证法。正如高斯所说：“绝对不能以为获得一个证明后研究便告结束，或把另外的证明当作多余的奢侈品。有时候，一開始你没有得到最简和最美妙的证明，但恰恰在寻求这样的证明过程中才能深入到真理的奇妙联想中去，这正是吸引我去继续研究的主动力，并且最能使我们有所发现。”因此，寻求问题的不同解法尤其是新颖简洁的解法，是数学研究的一种基本策略，也是数学探究的一种基本形式。以下给出上述问题的不同证法：
证法1如图4，延长DP至M，使PM=PE，连接CM。
因为AB=AC，所以∠B=∠ACB。
又因为∠BPD+∠B=90°，∠CPE+∠ACB=90°，所以∠BPD=∠CPE。
又因为∠CPM=∠BPD，所以∠CPM=∠CPE。
又因为PM=PE，CP=CP，所以△CPM≌△CPE（SAS），所以∠M=∠PEC=90°。
所以四边形CFDM为矩形，所以CF=DM=DP+PM=DP+PE。
证法2如图5，过点F作BC的平行线，交PD于点G。
因为AB=AC，所以∠B=∠ACB。
又因为∠BPD+∠B=90°，∠CPE+∠ACB=90°，所以∠BPD=∠CPE。
五、总结
以上针对一道平面几何题，寻求多种不同的证法，并进一步通过逆命题、变式问题和特殊化问题得到不同的拓展命题，再给出原命题的多种应用。这是数学探究的一种基本策略和路径。许多数学家即使从事最前沿的数学研究，仍然会使用这种方法。学生学会了这样探究数学问题，就学会了数学探究的方法，培养了数学创造的意识和能力，领悟到数学研究的精髓，体会到生动活泼的数学创造，从而形成较强的学习迁移和适应能力，做到“以不变应万变”。
正如李大潜院士所指出的：“掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。”这就要求教师平时有意识地对数学问题的由来、所用方法及创新之处进行归纳总结和深层次思考，注意发现不同问题之间隐含的联系，以便学生学会发掘潜在的问题或方法，生长新思想和新知识。
也正如波利亚先生所指出的：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，帮助学生发掘问题的各个方面，使得学生通过一道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”这就要求教师平时尽可能多地发掘具有较强探究性的“好的”数学问题，展现探究性思维的完整过程，归纳总结数学探究的一般策略或路径，激发和调动学生的探究意识和能力。
只有这样去组织数学探究，才能把潜在于数学中的研究精神、发现精神提炼出来，并使之表面化，才有助于培养学生的创见性。
关键词：数学探究 基本模型 证明 拓展 应用
数学教学的最终目标是帮助学生发展与当代正活跃的数学家相一致的理解方式和思维方式。学生应该及早地像数学大师那样追求和进行大量的创造性思考活动，而不应被学校里那种无休止的练习弄得头脑僵化和贫乏。在数学的领域里重要的不是知道什么，而是怎样知道。数学教学教学生怎样思考比教学生思考什么更加重要。数学教学要注重引导学生经历知识发现和问题解决的探究过程，学会数学的探究方法。
笔者曾撰文论述了数学探究的教育价值，并从学科底蕴方面说明了数学探究教学的必要性；还提出了数学教学中应加强问题的变式、引申与推广，以培养学生的探索能力；并进一步指出，为了更好地培养学生发现和提出问题的能力，教师要主动地让不同层次的学生都能以探索者的姿态出现，在探究中发现新颖而独特的解决方案，通过问题解决带来成功体验，激励学生“再发现”和“再创造”。
然而在教学实践中，许多教师常常不知如何引导学生进行数学探究，迫切希望有一种模式或方法来有效指导如何组织数学探究活动。夏小刚曾撰文给出了三种提出数学问题的基本方法：（1）直接询问初始条件法；（2）拓展初始条件法；（3）否定初始条件法。笔者也撰文给出过一个提出数学问题的模型（见图1）。这些方法或模型无疑对一线数学教师指导学生提出数学问题或从事数学探究具有重要的参考价值。
这里笔者进一步给出一个数学探究的基本模型（见图2），供教师参考。下面以对一道平面几何题的探究为例进行说明。
一、问题
问题求证：等腰三角形底边上任意一点与两腰的距离之和等于一腰上的高。
数学语言表述
如图3，在△ABC中，AB=AC，P是底边BC上一点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF。
二、证明
数学家们在解决问题时总是喜欢努力去寻求问题的不同证法，尤其是新颖简洁的证法。正如高斯所说：“绝对不能以为获得一个证明后研究便告结束，或把另外的证明当作多余的奢侈品。有时候，一開始你没有得到最简和最美妙的证明，但恰恰在寻求这样的证明过程中才能深入到真理的奇妙联想中去，这正是吸引我去继续研究的主动力，并且最能使我们有所发现。”因此，寻求问题的不同解法尤其是新颖简洁的解法，是数学研究的一种基本策略，也是数学探究的一种基本形式。以下给出上述问题的不同证法：
证法1如图4，延长DP至M，使PM=PE，连接CM。
因为AB=AC，所以∠B=∠ACB。
又因为∠BPD+∠B=90°，∠CPE+∠ACB=90°，所以∠BPD=∠CPE。
又因为∠CPM=∠BPD，所以∠CPM=∠CPE。
又因为PM=PE，CP=CP，所以△CPM≌△CPE（SAS），所以∠M=∠PEC=90°。
所以四边形CFDM为矩形，所以CF=DM=DP+PM=DP+PE。
证法2如图5，过点F作BC的平行线，交PD于点G。
因为AB=AC，所以∠B=∠ACB。
又因为∠BPD+∠B=90°，∠CPE+∠ACB=90°，所以∠BPD=∠CPE。
五、总结
以上针对一道平面几何题，寻求多种不同的证法，并进一步通过逆命题、变式问题和特殊化问题得到不同的拓展命题，再给出原命题的多种应用。这是数学探究的一种基本策略和路径。许多数学家即使从事最前沿的数学研究，仍然会使用这种方法。学生学会了这样探究数学问题，就学会了数学探究的方法，培养了数学创造的意识和能力，领悟到数学研究的精髓，体会到生动活泼的数学创造，从而形成较强的学习迁移和适应能力，做到“以不变应万变”。
正如李大潜院士所指出的：“掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。”这就要求教师平时有意识地对数学问题的由来、所用方法及创新之处进行归纳总结和深层次思考，注意发现不同问题之间隐含的联系，以便学生学会发掘潜在的问题或方法，生长新思想和新知识。
也正如波利亚先生所指出的：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，帮助学生发掘问题的各个方面，使得学生通过一道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”这就要求教师平时尽可能多地发掘具有较强探究性的“好的”数学问题，展现探究性思维的完整过程，归纳总结数学探究的一般策略或路径，激发和调动学生的探究意识和能力。
只有这样去组织数学探究，才能把潜在于数学中的研究精神、发现精神提炼出来，并使之表面化，才有助于培养学生的创见性。