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【摘要】级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中它都处于重要地位。级数能表示某些非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；同时，可將函数表为级数，从而借助级数去研究函数，如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。因此我们有必要学习级数这个概念，本文对级数思想的起源与发展、级数的研究内容进行探究。
【关键词】函数 级数 起源 发展 敛散性
那么，什么是级数呢？看下面两个例子。
例1.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。如果把每一天截下的那一部分的长度加起来，则得到下面的式子：
该式子中有无限个数相加。从直观上看，它的和显然是1。
例2.将 与 无限循环相加，得到下面的式子：
若将它写成： 则结果无疑等于0
但是，若写成 则结果又等于1。
有限个常数相加一定有和，但是无穷个常数相加（数项级数）或无穷个函数相加（函数项级数）的结果就不尽然了。
1.级数的萌芽
历史上级数出现得很早，早在公元前4世纪就知道公比小于1（大于零）的几何级数具有和数。14世纪，N.奥尔斯姆证明了调和级数发散到+∞。但是直到接近于微积分发明的年代，我们才能脱离几何表示而达到级数和的纯算术概念，进一步把级数视为独立的算术运算并正式使用收敛与发散两词。级数收敛概念的逐渐明确有力地帮助了微积分基本概念的形成。
2.级数的发展及理论形成
微积分在创立的初期就为级数理论的开展提供了基本的素材。它通过自己的基本运算与级数运算的纯形式的结合，达到了一些初等函数的（幂）级数展开。在此以后，级数便作为分析函数的等价物，用来计算函数的值，代表函数参加运算，同时所得结果阐释函数的性质。在运算过程中，级数被视为多项式的直接的代数推广。这些基本观点的运用一直持续到19世纪初年，获得了丰硕的成果。这些成果主要归功于欧拉、雅各布第一·伯努利、J.-L.拉格朗日、傅里叶等。
同时，悖论性等式的不时出现（如1/2=1-1+1-1+…，-1=1+2+4+8+…之类）促使人们逐渐地自觉到级数的无限多项之和有别于有限多项之和这一基本事实，注意到函数的级数展开的有效性表现为级数的部分和无限趋近于函数值这一收敛现象，提出了收敛定义的确切陈述，从而开始了分析学的严密化运动（B.波尔查诺1817、柯西1821、阿贝尔1826）。
微积分基本运算与级数运算相结合，引导人们加强或缩小收敛性而提出一致收敛的概念[K.（T.W.）外尔斯特拉斯（1841）、G.G.斯托克斯（1847）、 P.L.von賽德尔（1848）]。然而（在天文学、物理学中，甚至在柯西本人的研究工作中）函数的级数展开，作为一整个函数的分析等价物，在收敛范围以外的不断的成功的使用，则又迫使人们推广或扩大收敛概念而提出渐近性与可和性（庞加莱，1886；切萨罗，1890；波莱尔，1895）。
级数理论中的基本概念总是在其朴素意义获得有效使用的过程中形成及发展的。高等数学对于级数的研究，级数求和问题是级数理论中相当重要的内容，由于级数求和的方法很多而且难度大，因此是数学分析学中的难点之一。目前，系统讲解级数求和的论著相对较少，但相关的文献资料还是非常丰富。我了解到可以利用子列极限求部分和、微分方程法、欧拉常数法、利用复数求级数和等等方法。 我们很有必要了解简单的级数敛散性的判定及特殊级数的展开方式。
【参考文献】
[1]武娜.傅里叶级数的起源与发展[D].河北师范大学.2008.
[2]王辉.无穷级数的发展演化[D].河北师范大学.2006.
[3]盛立刚.级数-研究函数最重要的工具[J].工科数学.1993（S1）：142-136.
[4]张淑辉.幂级数的应用[J].太原教育学院学报.2005（23）：94-96.
[5]史向平，智友海.浅谈函数展开成幂级数的方法[J].徐州工程学院数学与物理科学学院.2014（1）：110-111.
[6]王全来.无理性幂级数理论起源和发展[J].咸阳师范学院学报.2015（6）：1-5.
【关键词】函数 级数 起源 发展 敛散性
那么，什么是级数呢？看下面两个例子。
例1.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。如果把每一天截下的那一部分的长度加起来，则得到下面的式子：
该式子中有无限个数相加。从直观上看，它的和显然是1。
例2.将 与 无限循环相加，得到下面的式子：
若将它写成： 则结果无疑等于0
但是，若写成 则结果又等于1。
有限个常数相加一定有和，但是无穷个常数相加（数项级数）或无穷个函数相加（函数项级数）的结果就不尽然了。
1.级数的萌芽
历史上级数出现得很早，早在公元前4世纪就知道公比小于1（大于零）的几何级数具有和数。14世纪，N.奥尔斯姆证明了调和级数发散到+∞。但是直到接近于微积分发明的年代，我们才能脱离几何表示而达到级数和的纯算术概念，进一步把级数视为独立的算术运算并正式使用收敛与发散两词。级数收敛概念的逐渐明确有力地帮助了微积分基本概念的形成。
2.级数的发展及理论形成
微积分在创立的初期就为级数理论的开展提供了基本的素材。它通过自己的基本运算与级数运算的纯形式的结合，达到了一些初等函数的（幂）级数展开。在此以后，级数便作为分析函数的等价物，用来计算函数的值，代表函数参加运算，同时所得结果阐释函数的性质。在运算过程中，级数被视为多项式的直接的代数推广。这些基本观点的运用一直持续到19世纪初年，获得了丰硕的成果。这些成果主要归功于欧拉、雅各布第一·伯努利、J.-L.拉格朗日、傅里叶等。
同时，悖论性等式的不时出现（如1/2=1-1+1-1+…，-1=1+2+4+8+…之类）促使人们逐渐地自觉到级数的无限多项之和有别于有限多项之和这一基本事实，注意到函数的级数展开的有效性表现为级数的部分和无限趋近于函数值这一收敛现象，提出了收敛定义的确切陈述，从而开始了分析学的严密化运动（B.波尔查诺1817、柯西1821、阿贝尔1826）。
微积分基本运算与级数运算相结合，引导人们加强或缩小收敛性而提出一致收敛的概念[K.（T.W.）外尔斯特拉斯（1841）、G.G.斯托克斯（1847）、 P.L.von賽德尔（1848）]。然而（在天文学、物理学中，甚至在柯西本人的研究工作中）函数的级数展开，作为一整个函数的分析等价物，在收敛范围以外的不断的成功的使用，则又迫使人们推广或扩大收敛概念而提出渐近性与可和性（庞加莱，1886；切萨罗，1890；波莱尔，1895）。
级数理论中的基本概念总是在其朴素意义获得有效使用的过程中形成及发展的。高等数学对于级数的研究，级数求和问题是级数理论中相当重要的内容，由于级数求和的方法很多而且难度大，因此是数学分析学中的难点之一。目前，系统讲解级数求和的论著相对较少，但相关的文献资料还是非常丰富。我了解到可以利用子列极限求部分和、微分方程法、欧拉常数法、利用复数求级数和等等方法。 我们很有必要了解简单的级数敛散性的判定及特殊级数的展开方式。
【参考文献】
[1]武娜.傅里叶级数的起源与发展[D].河北师范大学.2008.
[2]王辉.无穷级数的发展演化[D].河北师范大学.2006.
[3]盛立刚.级数-研究函数最重要的工具[J].工科数学.1993（S1）：142-136.
[4]张淑辉.幂级数的应用[J].太原教育学院学报.2005（23）：94-96.
[5]史向平，智友海.浅谈函数展开成幂级数的方法[J].徐州工程学院数学与物理科学学院.2014（1）：110-111.
[6]王全来.无理性幂级数理论起源和发展[J].咸阳师范学院学报.2015（6）：1-5.