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摘 要：在三尖摆线泵的设计中，由于摆线属于异形曲线，计算不便。因此文章提出了用圆弧来代替摆线进行设计计算的方法，且通过几何计算和Auto CAD软件对其准确性进行了证明。在证明过程中根据圆弧推导出了型腔最大面积的计算公式。
关键词：三尖摆线泵 圆弧 型腔最大面积
中图分类号：THl37.51 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）07（c）-0028-03
Abstract：In the design of Tritubercular Cycloid Pump， because cycloid was abnormal curve， the calculation became inconvenient. So this paper presented the calculation method of insteading cycloid with circular， its veracity was proved with geometry calculation and the software of Auto CAD. In the course of proving， according to circular arc the formula of cavity’s maximal area was deduced.
Key Words：Trtubercular cycloid pump； Circular arc； Cavity’s maximal area
目前国内外对三尖摆线泵的研究，正在不断深入。型腔最大面积是三尖摆线泵排量计算中的关键参数，对此虽然也有了一些研究，但还存在着问题。如计算复杂，其结果不便于应用等。基于这一原因，文中对三尖摆线的近似展开了研究。
1 三尖摆线简介
1.1 摆线的形成及三尖摆线的方程
当动圆与定圆相切，动圆在定圆上做纯滚动时，动圆上一点走出的轨迹称为摆线[1]。根据动圆上的点到动圆中心的距离小于、等于或大于其半径，摆线分为短幅、等幅或长幅摆线。人们常称定圆与动圆的半径之比为整数k的等幅摆线为k尖摆线。
1.2 三尖摆线的性质
（1）定圆与动圆半径之比为3与其比为3/2时的三尖摆线的形状大小完全相同。
（2）三尖摆线尖点处两段曲线相切。
（3）当定动圆半径之比为时，动圆直径始终与摆线的某段相切。
（4）当定动圆半径之比为时，动圆直径的端点始终在摆线上。
（5）三尖摆线上动径除在三尖点外，把三尖摆线型腔分为3部分，且随动径的转动3部分的面积由零到最大值之间变化。
1.3 三尖摆线的包络及三尖摆线泵的原理
如图2所示，动径经圆包络后作为转子，三尖摆线经圆包络后形成的型腔作为定子，做平面运动的叶片（转子）把定子的型腔分为3部分，假设转子逆时针公转顺时针自转，即从图2（a）所示的情形向图2（b）的情形变化，随着转子的转动，三腔从零到最大值之间变化，如果应用为油泵，随着转子的转动，三腔实现交替吸、排油，且无残留面积。
2 摆线的近似
2.1 摆线的近似
在Auto CAD中实验发现，过摆线一支上任意3点所做的圆弧与摆线基本重合，图3是过P、A、R3点所做的圆弧。那么在设计计算中，设想是否可以用该段圆弧来代替摆线。随即对这一圆弧进行了研究。
2.2 求解近似圆
设中心距为a=r，由于3段摆线完全相同，所以这里只计算摆线PR段。通过已知条件，可得P，A，R3点的坐标为，A （-r，0），。根据这3点的坐标求出该圆弧所在圆的圆心为（-8r，0），可得该圆方程为，则近似圆半径R=7r=7a，即是中心距的7倍。
2.3 型腔最大面积近似计算公式
根据近似圆弧推导出未包络摆线图形面积、未包络型腔最大面积、包络后图形面积，进而得到包络后型腔最大面积，即三尖摆线泵型腔最大面积。
（1）未包络摆线图形的面积。
3 证明近似的准确性
3.1 从面积上证明近似圆弧的准确性
Auto CAD中无法直接画出摆线，通过二次开发得到摆线的标准模型[2]，因此由CAD中摆线得出的结果真实可靠。从面积上对近似性进行证明主要是通过对比由公式（5）、（6）、（7）、（8）算出的面积与CAD中测出的标准面积，算出其相对误差，得到结论。表1是所选取的摆线的原始数据，表中数据均以毫米（mm）为单位。
第1、2、3组数可产生的摆线1、2、3，在CAD里测出它们的各项面积——未包络摆线图形面积S1，未包络型腔最大面积S2，包络后图形面积S及型腔最大面积Smax。然后根据公式（5）、（6）、（7）、（8）可分别计算出摆线1、2、3所对应的面积。如表2、3、4所示。
表中误差为相对误差。根据表2、3、4将S1、S2、S及Smax的误差分别绘制成折线图来分析，如图6所示。通过误差图可发现，各组误差变化都很平缓，且均在0.007范围之内。
3.2 误差补偿
因为z2与B都是常数，所以排量只受Smax影响，Smax误差在0.007范围之内，为了保险起见，将误差值扩大搭到0.010，则真实排量为，且最后可在泵容积效率上减去此误差值，即，以补偿近似计算误差。
4 结语
综上所述，在三尖摆线泵的设计计算中，可用半径为摆线中心距7倍的圆弧来代替摆线。经证明圆弧的近似程度高，误差很小，且误差可以补偿掉。由圆弧推导出的公式（5）、（6）、（7）、（8），只与中心距与包络圆直径有关，公式简洁易用，在三尖摆线的应用中可以使用。
参考文献
[1] 白海清.三尖摆线的形成及应用[J].机械，2002，29（S1）： 73-74.
[2] 刘林.AUTOCAD 2004高级应用教程[M].2版.华南理工大学出版社，2006.
关键词：三尖摆线泵 圆弧 型腔最大面积
中图分类号：THl37.51 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）07（c）-0028-03
Abstract：In the design of Tritubercular Cycloid Pump， because cycloid was abnormal curve， the calculation became inconvenient. So this paper presented the calculation method of insteading cycloid with circular， its veracity was proved with geometry calculation and the software of Auto CAD. In the course of proving， according to circular arc the formula of cavity’s maximal area was deduced.
Key Words：Trtubercular cycloid pump； Circular arc； Cavity’s maximal area
目前国内外对三尖摆线泵的研究，正在不断深入。型腔最大面积是三尖摆线泵排量计算中的关键参数，对此虽然也有了一些研究，但还存在着问题。如计算复杂，其结果不便于应用等。基于这一原因，文中对三尖摆线的近似展开了研究。
1 三尖摆线简介
1.1 摆线的形成及三尖摆线的方程
当动圆与定圆相切，动圆在定圆上做纯滚动时，动圆上一点走出的轨迹称为摆线[1]。根据动圆上的点到动圆中心的距离小于、等于或大于其半径，摆线分为短幅、等幅或长幅摆线。人们常称定圆与动圆的半径之比为整数k的等幅摆线为k尖摆线。
1.2 三尖摆线的性质
（1）定圆与动圆半径之比为3与其比为3/2时的三尖摆线的形状大小完全相同。
（2）三尖摆线尖点处两段曲线相切。
（3）当定动圆半径之比为时，动圆直径始终与摆线的某段相切。
（4）当定动圆半径之比为时，动圆直径的端点始终在摆线上。
（5）三尖摆线上动径除在三尖点外，把三尖摆线型腔分为3部分，且随动径的转动3部分的面积由零到最大值之间变化。
1.3 三尖摆线的包络及三尖摆线泵的原理
如图2所示，动径经圆包络后作为转子，三尖摆线经圆包络后形成的型腔作为定子，做平面运动的叶片（转子）把定子的型腔分为3部分，假设转子逆时针公转顺时针自转，即从图2（a）所示的情形向图2（b）的情形变化，随着转子的转动，三腔从零到最大值之间变化，如果应用为油泵，随着转子的转动，三腔实现交替吸、排油，且无残留面积。
2 摆线的近似
2.1 摆线的近似
在Auto CAD中实验发现，过摆线一支上任意3点所做的圆弧与摆线基本重合，图3是过P、A、R3点所做的圆弧。那么在设计计算中，设想是否可以用该段圆弧来代替摆线。随即对这一圆弧进行了研究。
2.2 求解近似圆
设中心距为a=r，由于3段摆线完全相同，所以这里只计算摆线PR段。通过已知条件，可得P，A，R3点的坐标为，A （-r，0），。根据这3点的坐标求出该圆弧所在圆的圆心为（-8r，0），可得该圆方程为，则近似圆半径R=7r=7a，即是中心距的7倍。
2.3 型腔最大面积近似计算公式
根据近似圆弧推导出未包络摆线图形面积、未包络型腔最大面积、包络后图形面积，进而得到包络后型腔最大面积，即三尖摆线泵型腔最大面积。
（1）未包络摆线图形的面积。
3 证明近似的准确性
3.1 从面积上证明近似圆弧的准确性
Auto CAD中无法直接画出摆线，通过二次开发得到摆线的标准模型[2]，因此由CAD中摆线得出的结果真实可靠。从面积上对近似性进行证明主要是通过对比由公式（5）、（6）、（7）、（8）算出的面积与CAD中测出的标准面积，算出其相对误差，得到结论。表1是所选取的摆线的原始数据，表中数据均以毫米（mm）为单位。
第1、2、3组数可产生的摆线1、2、3，在CAD里测出它们的各项面积——未包络摆线图形面积S1，未包络型腔最大面积S2，包络后图形面积S及型腔最大面积Smax。然后根据公式（5）、（6）、（7）、（8）可分别计算出摆线1、2、3所对应的面积。如表2、3、4所示。
表中误差为相对误差。根据表2、3、4将S1、S2、S及Smax的误差分别绘制成折线图来分析，如图6所示。通过误差图可发现，各组误差变化都很平缓，且均在0.007范围之内。
3.2 误差补偿
因为z2与B都是常数，所以排量只受Smax影响，Smax误差在0.007范围之内，为了保险起见，将误差值扩大搭到0.010，则真实排量为，且最后可在泵容积效率上减去此误差值，即，以补偿近似计算误差。
4 结语
综上所述，在三尖摆线泵的设计计算中，可用半径为摆线中心距7倍的圆弧来代替摆线。经证明圆弧的近似程度高，误差很小，且误差可以补偿掉。由圆弧推导出的公式（5）、（6）、（7）、（8），只与中心距与包络圆直径有关，公式简洁易用，在三尖摆线的应用中可以使用。
参考文献
[1] 白海清.三尖摆线的形成及应用[J].机械，2002，29（S1）： 73-74.
[2] 刘林.AUTOCAD 2004高级应用教程[M].2版.华南理工大学出版社，2006.