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摘 要 为了统计和分析一个国家和地区的收入分配情况，经济学界往往通过入户调查获得家庭收入与消费等数据，采用洛伦兹曲线模型来进行数据拟合.洛伦兹曲线模型拟合效果的好坏，直接影响着收入分配的描述.本文构建了一类凹凸组合的洛伦兹曲线模型，并针对19个国家的收入分配数据进行了实证分析.结果显示该模型具有较好的拟合效果，其基尼系数能较好地描述收入分配现状，对反映和监测居民之间的贫富差距具有重要意义.
关键词 数理经济学；洛伦兹曲线；基尼系数；凹凸组合
中图分类号 F014.4 文献标识码 A
A Class of Lorenz Curve Model with
Concave and Convex Combination
CHU Changmu，XING Li， TIAN Yingfu
（College of Science， Guizhou Minzu University， Guiyang，Guizhou 550025，China）
Abstract In order to analyze and make statistics about a national and regional income distribution situation， the economics often obtain the income and consumption data through household surveys， and carry out data fitting by using the Lorenz curve model. And the Lorenz curve model fitting effect directly affects the description of the income distribution. This paper constructed a class of Lorentz curve model involving concave and convex combination， and carried on the empirical analysis by using the income distribution data of 19 countries. The results show that the model has good fitting effect. The Gini coefficient can well describe the income distribution situation. As a result， the model is of great significance to reflect and monitor the gap between the rich and poor residents.
Key words mathematical economics； lorenz curve； gini coefficient； concave and convex combination
1 引 言
在社会经济领域，一些重要的社会经济指标如收入分配的分布都是不均匀的，具有高度的集中性.洛伦兹曲线和基尼系数是描述和度量分布不均匀性与集中性的重要统计分析工具，在社会经济领域的定量分析中获得了广泛的应用.
设收入分配的概率分布密度函数为f（x），对应的分布函数为F（x），则p=F（x）表示收入低于或等于x的人口比例.记收入低于或等于x的人口群体拥有收入占总收入的比例为L（p），则
L（p）=1μ∫x0tf（t）dt，p=F（x），
也称L（p）为收入分配的洛伦兹曲线.记F（x）的反函数为F-1（p），μ为平均收入，则洛伦兹曲线可以表示为
L（p）=1μ∫p0F-1（q）dq.
经 济 数 学第 32卷第2期
储昌木等：基于凹凸组合的一类洛伦兹曲线模型
因此，只要知道了收入分配的统计分布，就能得到相应的洛伦兹曲线.然而，在实践应用中收入分配的统计分布是未知的. 实践中通过入户调查获得家庭收入与消费等数据，这种数据的完整形式为pi，Lini=1，其中pi是低收入群体的累计人口比例，Li是该群体拥有的总收入比例.经济学界采用洛伦兹曲线模型L（p，τ）拟合上述数据，其中τ是一组参数，使用最小二乘法求解
min ∑ni=1L（pi，τ）-Li2
确定其中参数向量τ的估计值，然后用L（p，）=（p）作为近似的洛伦兹曲线来进行收入分配分析.L（p，τ）是定义在[0，1]区间上、取值于[0，1]区间的函数，满足
L（0，τ）=0，L（1，τ）=1，L′（p，τ）≥0，
L″（p，τ）≥0， （1）
即L（p，τ）在[0，1]上是凸增函数.
近几十年，洛伦兹曲线模型受到人们的普遍关注.文献[1]及其参考文献提到了大量的洛伦兹曲线模型，并利用均方误差、平均绝对误差和最大绝对误差等对拟合精度进行比较.然而已有的这些模型还存在诸多不足.有些模型拟合效果欠佳，不能提供整个[0，1]上的良好逼近[2-4]， 有些模型不满足洛伦兹曲线的条件[4，5].为了克服这些局限性，文献[6]讨论了构建洛伦兹曲线模型的一般方法，并考虑了如下乘积形式的洛伦兹曲线模型：
（p）=f（p）αg（p）η， α≥0， η≥0， （2）
其中f（p）和g（p）是含参数的洛伦兹曲线模型.作为模型（2）的特殊情形，Sarabia[7]等构造了形如S（p）=pαL（p）η的模型并给出了S（p）满足洛伦兹曲线的条件.随后，文献[8]将文献[7]的结论改进成如下定理. 定理1 设L（p）满足洛伦兹曲线的条件，则
（i） 对于任何α≥0，当η≥1时，S（p）满足洛伦兹曲线的条件；
（ii） 若对任何p∈[0，1]，有ddpL″L′≥0，则当α≥0，η≥0，α η≥1时，S（p）满足洛伦兹曲线的条件；
（iii） 若对任何p∈[0，1]，有L（p）≥0，则当α≥0，η≥12，α η≥1时，S（p）满足洛伦兹曲线的条件.
2 洛伦兹曲线模型的构建
对文献[8]的几个具体模型的数值实验进行分析后，不难发现这些模型获得较好的拟合效果时参数α的估计值∈（0，1）.显然，当α∈（0，1）时，pα是一个凹函数，这是否蕴含着将模型（2）中的f（p）和g（p）这种两个凸函数的组合形式替换成凹凸（即一个凹函数和一个凸函数）组合形式，会提高拟合的精度呢？基于这种思想，构造如下的洛伦兹曲线模型
H（p）=2p1 pαL（p）η，其中L（p）是含参数的洛伦兹曲线模型.
引理1 设L（p）满足洛伦兹曲线的条件，则当α≥0时，J（p）=2p1 pαL（p）满足洛伦兹曲线的条件.
证明 要证J（p）满足洛伦兹曲线的条件，只需证J（p）满足式（1）.由于L（p）满足洛伦兹曲线的条件，所以由（1）式知，L（0）=0，L（1）=1，L′（p）≥0，L″（p）≥0. 由此易知J（0）=0， J（1）=1.由J′（p）=2α2p1 pα-1L（p）（1 p）2 2p1 pαL′（p）知，当α≥0时，J′（p）≥0.直接计算可得，
参考文献
[1] Z X WANG， R SMYTH. A hybrid method for creating Lorenz curves with an application to measuring world income inequality[J]. Monash Universtiy Business and Economics， 2013（1）：1-48.
[2] T OGWANG， R U L GOURANG. Hybrid models of the Lorenz curve[ J] . Economics Letters， 2000（69）： 39-44.
[3] H K RYU， D J SLOTTJE. Two Flexible Functional Form Approaches for Approximating the Lorenz Curve， Journal of Econometrics[J].1996（72）： 251-74.
[4] R L BASMANN， K J HAYES， D J SLOTTJE， J D JOHNSON. A General Functional Form for Approximating the Lorenz Curve[J]， Journal of Econometrics， 1990（43）： 77-90.
[5] M SCHADER， F SCHMID. Fitting parametric Lorenz curves to grouped income distribution-A critical note[ J] . Empirical Economics， 1994（ 19）： 361-370.
[6] Z X WANG， Y K NG， R SMYTH. A general method for creating Lorenz curves[J]. The Review of Income and Wealth，2011（57）： 561-582.
[7] J SARABIA， E CASTILLOE， D J SLOTTJE. An ordered family of Lorenz curves[ J] . Journal of Econometrics， 1999（91）： 43- 60.
[8] 张奎， 王原君.Sarabia洛伦兹曲线模型的推广[J].应用数学，2010，23（3）：501-507.
[9] A F SHORROCKS. Ranking income distributions[J] . Economica， 1983（50）： 3-17.
关键词 数理经济学；洛伦兹曲线；基尼系数；凹凸组合
中图分类号 F014.4 文献标识码 A
A Class of Lorenz Curve Model with
Concave and Convex Combination
CHU Changmu，XING Li， TIAN Yingfu
（College of Science， Guizhou Minzu University， Guiyang，Guizhou 550025，China）
Abstract In order to analyze and make statistics about a national and regional income distribution situation， the economics often obtain the income and consumption data through household surveys， and carry out data fitting by using the Lorenz curve model. And the Lorenz curve model fitting effect directly affects the description of the income distribution. This paper constructed a class of Lorentz curve model involving concave and convex combination， and carried on the empirical analysis by using the income distribution data of 19 countries. The results show that the model has good fitting effect. The Gini coefficient can well describe the income distribution situation. As a result， the model is of great significance to reflect and monitor the gap between the rich and poor residents.
Key words mathematical economics； lorenz curve； gini coefficient； concave and convex combination
1 引 言
在社会经济领域，一些重要的社会经济指标如收入分配的分布都是不均匀的，具有高度的集中性.洛伦兹曲线和基尼系数是描述和度量分布不均匀性与集中性的重要统计分析工具，在社会经济领域的定量分析中获得了广泛的应用.
设收入分配的概率分布密度函数为f（x），对应的分布函数为F（x），则p=F（x）表示收入低于或等于x的人口比例.记收入低于或等于x的人口群体拥有收入占总收入的比例为L（p），则
L（p）=1μ∫x0tf（t）dt，p=F（x），
也称L（p）为收入分配的洛伦兹曲线.记F（x）的反函数为F-1（p），μ为平均收入，则洛伦兹曲线可以表示为
L（p）=1μ∫p0F-1（q）dq.
经 济 数 学第 32卷第2期
储昌木等：基于凹凸组合的一类洛伦兹曲线模型
因此，只要知道了收入分配的统计分布，就能得到相应的洛伦兹曲线.然而，在实践应用中收入分配的统计分布是未知的. 实践中通过入户调查获得家庭收入与消费等数据，这种数据的完整形式为pi，Lini=1，其中pi是低收入群体的累计人口比例，Li是该群体拥有的总收入比例.经济学界采用洛伦兹曲线模型L（p，τ）拟合上述数据，其中τ是一组参数，使用最小二乘法求解
min ∑ni=1L（pi，τ）-Li2
确定其中参数向量τ的估计值，然后用L（p，）=（p）作为近似的洛伦兹曲线来进行收入分配分析.L（p，τ）是定义在[0，1]区间上、取值于[0，1]区间的函数，满足
L（0，τ）=0，L（1，τ）=1，L′（p，τ）≥0，
L″（p，τ）≥0， （1）
即L（p，τ）在[0，1]上是凸增函数.
近几十年，洛伦兹曲线模型受到人们的普遍关注.文献[1]及其参考文献提到了大量的洛伦兹曲线模型，并利用均方误差、平均绝对误差和最大绝对误差等对拟合精度进行比较.然而已有的这些模型还存在诸多不足.有些模型拟合效果欠佳，不能提供整个[0，1]上的良好逼近[2-4]， 有些模型不满足洛伦兹曲线的条件[4，5].为了克服这些局限性，文献[6]讨论了构建洛伦兹曲线模型的一般方法，并考虑了如下乘积形式的洛伦兹曲线模型：
（p）=f（p）αg（p）η， α≥0， η≥0， （2）
其中f（p）和g（p）是含参数的洛伦兹曲线模型.作为模型（2）的特殊情形，Sarabia[7]等构造了形如S（p）=pαL（p）η的模型并给出了S（p）满足洛伦兹曲线的条件.随后，文献[8]将文献[7]的结论改进成如下定理. 定理1 设L（p）满足洛伦兹曲线的条件，则
（i） 对于任何α≥0，当η≥1时，S（p）满足洛伦兹曲线的条件；
（ii） 若对任何p∈[0，1]，有ddpL″L′≥0，则当α≥0，η≥0，α η≥1时，S（p）满足洛伦兹曲线的条件；
（iii） 若对任何p∈[0，1]，有L（p）≥0，则当α≥0，η≥12，α η≥1时，S（p）满足洛伦兹曲线的条件.
2 洛伦兹曲线模型的构建
对文献[8]的几个具体模型的数值实验进行分析后，不难发现这些模型获得较好的拟合效果时参数α的估计值∈（0，1）.显然，当α∈（0，1）时，pα是一个凹函数，这是否蕴含着将模型（2）中的f（p）和g（p）这种两个凸函数的组合形式替换成凹凸（即一个凹函数和一个凸函数）组合形式，会提高拟合的精度呢？基于这种思想，构造如下的洛伦兹曲线模型
H（p）=2p1 pαL（p）η，其中L（p）是含参数的洛伦兹曲线模型.
引理1 设L（p）满足洛伦兹曲线的条件，则当α≥0时，J（p）=2p1 pαL（p）满足洛伦兹曲线的条件.
证明 要证J（p）满足洛伦兹曲线的条件，只需证J（p）满足式（1）.由于L（p）满足洛伦兹曲线的条件，所以由（1）式知，L（0）=0，L（1）=1，L′（p）≥0，L″（p）≥0. 由此易知J（0）=0， J（1）=1.由J′（p）=2α2p1 pα-1L（p）（1 p）2 2p1 pαL′（p）知，当α≥0时，J′（p）≥0.直接计算可得，
参考文献
[1] Z X WANG， R SMYTH. A hybrid method for creating Lorenz curves with an application to measuring world income inequality[J]. Monash Universtiy Business and Economics， 2013（1）：1-48.
[2] T OGWANG， R U L GOURANG. Hybrid models of the Lorenz curve[ J] . Economics Letters， 2000（69）： 39-44.
[3] H K RYU， D J SLOTTJE. Two Flexible Functional Form Approaches for Approximating the Lorenz Curve， Journal of Econometrics[J].1996（72）： 251-74.
[4] R L BASMANN， K J HAYES， D J SLOTTJE， J D JOHNSON. A General Functional Form for Approximating the Lorenz Curve[J]， Journal of Econometrics， 1990（43）： 77-90.
[5] M SCHADER， F SCHMID. Fitting parametric Lorenz curves to grouped income distribution-A critical note[ J] . Empirical Economics， 1994（ 19）： 361-370.
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[7] J SARABIA， E CASTILLOE， D J SLOTTJE. An ordered family of Lorenz curves[ J] . Journal of Econometrics， 1999（91）： 43- 60.
[8] 张奎， 王原君.Sarabia洛伦兹曲线模型的推广[J].应用数学，2010，23（3）：501-507.
[9] A F SHORROCKS. Ranking income distributions[J] . Economica， 1983（50）： 3-17.