不等式是现实世界中同类量不等关系在数学上的反映,是等式方程函数等数学内容的引申。它是高中数学的一个难点。有关不等式恒成立的一些问题常常会使一些学生感到无从下手。我就结合一道上海高考题来谈谈这类问题的解法。
　　引例:
　　(2006上海卷)三个同学对问题“关于x的不等式x+25|x-5x|≥ax在x∈[1,12]上恒成立,求实数a的取值范围”提出各自的解题思路。
　　甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值。”
　　乙说:“把不等式变形为左边含变量x的函数,右边仅含常数,求函数的最值。”
　　丙说:“把不等式两边看成关于x的函数,作出函数图像。”
　　参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a的取值范围是?摇?摇?摇?摇。
　　题中三位同学的发言都是应用了函数的思想,把不等式恒成立的问题转化为函数的问题加以解决,从而使问题简单。而这类问题大多数都是用这三种思路去解。
　　方法1:转化为函数的最值问题,分别求两边的最值,使不等式左边的最小值不小于右边的最大值,或者使不等式左边的最大值不大于右边的最小值。
　　f(x)≥g(y)恒成立?圳f(x)≥g(y)。
　　例1:设f(x)=,求证:对于任意的实数a、b,恒有f(a)　　证明:∵f(a)===,
　　而2+≥2=4(当且仅当2=即2=2时等号成立),
　　∴f(a)≤=。
　　∴f(a)=。
　　又∵b-3b+3=(b-)+≥,
　　∴(b-3b+3)=。
　　故对于任意的实数a,b,恒有f(a)　　方法2:把不等式变形为一边含变量的函数,另一边仅含常数,求函数的最值。
　　例2:(2006陕西卷)已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()。
　　A.2B.4C.6D.8
　　解析:不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,
　　∴[(x+y)(+)]≥9,(x+y)(+)=1+a++≥a+2+1,a+2+1≥9,
　　∴≥2或≤-4(舍去),
　　所以正实数a的最小值为4,选B。
　　例3:引例
　　解:由x+25+|x-5x|≥ax,(1≤x≤12)得:a≤x++|x-5x|,
　　而x+≥2=10,当且仅当x=5∈[1,12]时等号成立;且x=5时,|x-5x|正好取最小值0;[x++|x-5x|]=10所以a≤[x++|x-5x|]=10,当且仅当x=5∈[1,12]时等号成立;故a∈(-∞,10]。
　　例4:定义在(-∞,3]上的减函数f(x)使得f(a-sinx)≤f(a+1+cosx)对一切x∈R成立,求实数a的取值范围。
　　解:∵f(x)是定义在(-∞,3]上的减函数,
　　且f(a-sinx)≤f(a+1+cosx)对一切x∈R成立,
　　∴a-sinx≤3a+1+cosx≤3a-sinx≥a+1+cosx对x∈R恒成立
　　即a≤3+sinxa≤2-cosxa-a≥cosx+sinx+1对x∈R恒成立
　　∵x∈R,
　　∴(3+sinx)=2,
　　(2-cosx)=1。
　　而cosx+sinx+1=-sinx+sinx+2=-(sinx-)+,
　　∴(cosx+sinx+1)=。
　　∴a≤2a≤1a-a≥,
　　∴-≤a≤a≤1a≥或a≤,
　　∴-≤a≤。
　　∴a的取值范围是-≤a≤。
　　方法3:把不等式两边看成关于x的函数,作出函数图像。
　　f(x)≥g(x)恒成立?圳y=f(x)的图像位于y=g(x)的图像的上方;
　　f(x)≤g(x)恒成立?圳y=f(x)的图像位于y=g(x)的图像的下方;
　　特别地g(x)=0时,g(x)=0的图像就是x轴;
　　f(x)≥0恒成立?圳y=f(x)的图像位于x轴的上方;
　　f(x)≤0恒成立?圳y=f(x)的图像位于x轴的下方。
　　例5:若对于任意的x∈(0,1),恒有2x+(a+1)x-a(a-1)<0成立,求a的取值范围。
　　解:设f(x)=2x+(a+1)x-a(a-1),
　　则f(x)=2x+(a+1)x-a(a-1)在x∈(0,1)的图像在x轴的下方,其图像如图所示:
　　则f(0)≤0f(1)≤0,即-a(a-1)≤02+(a+1)-a(a-1)≤0 。
　　∴a-a≥0a-2a-3≥0,
　　∴a≤0或a≥1a≤-1或a≥3,
　　∴a≤-1或a≥3。
　　例6:已知不等式x+|x-2c|>1恒成立,求c的取值范围。
　　解:x+|x-2c|>1恒成立?圯|x-2c|>1-x恒成立,
　　y=|x-2c|的图像应位于y=1-x的图像的上方,如图:
　　∴2c>1,∴c>。
　　另解:用思路二。
　　设y=x+|x-2c|,
　　则y=x+|x-2c|=2x-2c(x≥2c)2c(x<2c)。
　　∴当x≥2c时,y=2c,
　　当x<2c时,y=2c,
　　∴y=2c,∴2c>1,∴c>。
　　总之,解决有关不等式恒成立的实际问题时,我们首先应认真阅读题目、理解题目的意义,注意题目中的关键词和有关信息,根据上面介绍的方法,应用函数的有关知识加以解决。