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【摘要】依据新课程理念，我们本着数学源于生活实践的初衷，初步构建了中学数学有效教学过程的五个环节：一是创设情景、导引自学；二是大胆质疑、提出问题；三是组织探究、合作交流；四是先做后说、精练反思；五是精心设计、迁移创新。
【关键词】中学数学 有效教学 生活实践
中学数学是学习“如何学习数学知识”和学习“如何学习解题思维”的学科，它是21世纪培养学生“如何学习”和“如何思考”的重要课程之一。目前数学教育存在的普遍问题：一是“重知识、轻能力”培养；二是“重结果、轻过程”教学；三是“重收敛、轻发散”思维训练；四是“重单一智力、轻多元智能”培育，而最头疼的是数学恐怕是我们花力气最多而收效甚少的一门学科。这些问题形成的原因是多方面的，主要来源于教师专业自主发展的历程，教师的智能结构、思想态度、教学方法、知识魅力、人格魅力决定着教学效率的有效实施。
“台上一分钟，台下十年功”。教师精心设计的教学目标，教学内容，教学方法都将在教学过程中一一展现，能否达到精彩纷呈，高潮迭起，环环相扣，引人入胜，悬念遐思，浮想联翩是提高课堂教学效率的有效措施。常规数学教学的基本结构是复习、引入、讲授、巩固和布置作业等几个基本步骤。高中数学新课程倡导的自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，有助于发挥学生学习的主动性、积极性和自主性，对激发学生的学习兴趣，鼓励学生在学习的过程中，养成独立思考、积极探究的习惯，体验数学发现与创造的历程，从而培养学生的实践能力与创新意识有提纲挈领的作用。依据新课程理念，我们本着数学源于生活实践的初衷，初步构建了中学数学有效教学过程的五个环节，一是创设情景、导引自学；二是大胆质疑、提出问题；三是组织探究、合作交流；四是先做后说、精练反思；五是精心设计、迁移创新。以下我们用创设的五组问题来分别叙述这些环节的教学设计及组织教学过程的建议。
1.创设情境、导引自学
数学情境题以一段生活情节、一个趣味故事，寓数学问题、数学思想方法于具体的情境之中。这类问题以其生动有趣的情节吸引学生，进而产生强烈的探索和研究的欲望。情境题的教育意义在于，让学生经历重要的、有价值的数学思维活动的过程（而在活动中得到的不仅是问题的结论），把过程与结论有机的结合起来。
开启知识的大门将从教学设计者的匠心独运，赋有每个人的灵感和创意，令人赏心悦目，闪耀着智慧的光芒。从日常生活应用中，古老传说的故事中，中外数学史长河中不断提炼积累。
创设一、黄帝的脚印
在引进相似概念的时候，教师在多媒体屏幕上打出“黄帝脚印石”，并介绍：凡是到陕西黄陵县谒陵拜祖的人，几乎都要到轩辕庙院内看一看黄帝的脚印。黄帝脚印石于1956年出土于黄帝陵东南2公里的周家洼村。这双脚印留在约一米见方的青石上，脚印长52厘米，是后世为了歌颂和赞美我们伟大的始祖轩辕黄帝所制。黄帝“创文字、定算术、合音律、造舟车、制冠冕”，智慧卓绝；他又合炎帝、败蚩尤，统一华夏，刚勇无比。创造如此惊天地、泣鬼神的丰功伟绩而被后世予以神化夸大是不足为怪的。
假如黄帝在元旦节来我校做客，请大家为黄帝设计所用书的大小，坐的椅子的高度和大小，桌子的高度和大小。
在通常引入相似概念时，用相片放大和地图比例尺等等背景也很好。但是，学生在形成概念时缺乏自身的体验，被动地思考知识。这是参照弗勒登塔尔设计“巨人的手”设计的。十分适合学生的喜好，具有一定的悬念，成为创设问题的情景，能够激发求知的欲望。
创设二、挂历问题。（老师准备好2010年的年历卡）学生提问该年任何一天的日期，老师不看年历卡准确回答是星期几，在学生的惊讶与赞叹声中，引入挂历上的数学问题。挂历对于我们每个人都不陌生，你想知道老师是如何知道星期几的吗？你探究过其中的数学问题吗？当学生被置于这一情境中，许多数学问题就渐渐浮现出来。
创设三、国际象棋棋盘的传说（人教版试验修订必修本，数学第一册上P109，P130）。以数学悬念来创设问题情境，激发学生的学习兴趣。不仅给学生留下了深刻的印象，也进一步唤起了学生要探索数列求和等知识的求知欲。
创设四、植树节到了，要栽四棵树，要求每两棵树之间的距离都相等。高一（2）班学生申请设计植树方案，请开动脑筋思考符合条件的方案存在吗？如果存在，指出其中心位置点在哪里？
以数学活动和数学实验创设问题情境，让学生通过动脑思考、动手操作，在“做数学”中学到知识，获得成就感，体会到学习数学的无穷乐趣。
创设五、将一张厚0.01mm的纸折叠30次，试问有多高？当你站在此纸折叠后的高度时，你的体重会不会改变？若改变，是加重还是减轻？即人站在将一张厚0.01mm的纸折叠30次后的高度时，重量会加重（或减轻）多少呢？
在实际教学过程中，我们多利用计算机制作课件，增强数学课堂教学的直观性、生动性、趣味性，吸引学生的注意力，激发思维，激励探究，拓展视野，发掘潜能，使学生能积极参与到教学的全过程，提高教学效率和教学质量。
总之，创设良好的问题情境可以使教学内容触及到学生的情绪、心灵和意志领域，激发学习动机，激发学习的好奇心，激发学习兴趣是提高教育教学效率的重要手段。
2.提出问题、大胆质疑
数学教学设计的中心任务就是设计出一个或一组好的数学问题，把数学教学活动组织成提出问题和解决问题的过程，让学生在解决问题的过程中“做数学”、学数学、增长知识、发展能力。当我们把一个数学问题创设出一个数学问题情境题之后，关键是使学生进入“愤”和“悱”的状况，更重要的是为学生的思维活动提供了一个好的切入口，为学生的学习活动找到了一个好的载体，从而给学生更多的思考、动手交流的机会。以下将创设的情境题转化为对应的问题提出来。
问题一、由探究脚印的大小与人的身高之间的关系而得出相似比的概念。
此问题的提出具有艺术性、新颖性、趣味性、现实性。同时为学生质疑黄帝的脚印确实有这么大而埋下了伏笔。
问题二、（不看挂历，不查万年历）知道日期能说出是星期几吗？能算出你出生的那一天是星期几吗？
对学生“日用而不知”的问题，学生学起来兴趣盎然，一点不觉得枯燥，大有探个究竟的强烈欲望。
问题三、以题意，麦粒总数是1+2+22+23……+263。即求数列和1+2+22+23……+263是多少？并解决一些实际问题。
设计的问题在学生已有知识的基础上，用原有知识水平只能解决其中的一部分内容。因而要开辟新的解题途径，创设新的思维方式，从而在解决问题的过程中创造出新的数学思想方法。问题四、在学生掌握了平面几何知识之后，学习立体几何之前，让其探索本题，学生思来想去，反复在正三角形，正方形之间游荡，很难摆脱平面几何的思维模式。可启发学生用正三角形纸片折叠出符合要求的模型。设计本题的意图旨在让学生感悟到解决问题的思维方式要改变，即从平面思维要上升到空间思维来考虑。从而开始建立空间智能的概念。
学习立体几何时，能将数学思想和模型用于探索所提出的问题是建立空间概念的最好切入点。
问题五、将一张厚0.01mm的纸折叠30次，试问有多高？教师让学生对这个高度的直觉判断是可笑的，能猜测到高度有二十几米的学生已经是够异想天开的。说明学生“做数学”、“用数学”，动手做、动脑思数学的意识很淡薄。对几何级数增长的可怕性一无所知。该问题在学习指数函数的时候提出，将有意想不到的效果。进而将数学与物理知识有机结合起来，突出数学是解决问题的重要基础学科。
3.组织探究、合作交流
在探究学习的过程中，难免会碰到自己不能解决的疑难问题，这就要求学生知疑善问。张载说：“在可疑而不疑者，不曾学。学则须疑。比之行道者，将之南山，须问道路之出，自若安坐，则何尝有疑！”“义理有疑，则濯(zhuó)去旧见以来新意。”在他看来，学习必须质疑善问。质疑善问可以避免学习误入歧途，也可以获得新的见解。但另一方面，他认为学习中过多提问也不好，过多提问会影响独立思考能力的培养。“如但多问，未偿自得，学者懒惰，教者则渎，两失之矣。”朱熹主张：“读书无疑者，须教有疑，有疑却要无疑，到这里方是长进。”古代学者尽管强调为学贵在自求自得，但并不是为学者要关起门来孤立地学习，他们认为做学问应该与他人相互切磋，这样才会相得益彰。如《学记》指出：“独学而无友则孤陋而寡闻。”
对提出的数学问题，经过独立思考而不能解决的疑难问题，视个别问题，还是共性问题对待。对于个别问题采用启发点拨、个别辅导的方式进行。对于共性问题再分为：先是组织学生讨论能否完成，再是师生共作来完成，后是解后反思。对于要组织讨论的问题，要注意：①学生已有知识与能力水平；②讨论问题的难易程度；③具有挑战性、激励性的问题，激发学生讨论的目的；④给学生充分的讨论空间，使学生自由的思考，在体验中学习。教师应多看、多听、多感受而少说话，要及时肯定那些新颖的想法。对讨论中发现的新问题，要记下来，形同身受，相互启发思考，以创造更好的思维空间和氛围；⑤解后反思。
数学课的讨论有时是师生之间的讨论、学生之间的讨论，有时是全班的讨论、小组的讨论或同桌两人的讨论。教师应视问题的难易程度而组织不同形式的讨论活动。
例如：组织探究问题二（不看挂历，不查万年历）知道日期能说出是星期几吗？能推算出你出生的那一天是星期几吗？
虽然学生通过情境创设，对提出的问题虽有强烈的求知欲，但不知从何处下手。教师则应启发诱导，按学生已有的知识思路，设计由易到难、由浅入深的探求规律，分层设计（1）-（6）的问题。再鼓励学生查阅资料，探求任何年份日期是星期几的历法问题。
（1） 已知图1-（1）2010年一月的挂历中已知4行3列的日期是19日，请问元月1日是星期几？
（2）你直接观察到行（列）之间和与差间的规律了吗？
（3）如图1-（1）、（2）请寻求构成矩形的数之间的规律。
（4）关于被7整除余数的规律。再探求被7整除余数与星期之间的关系。
教师组织讨论问题（5）、（6），让学生合作探究，并交流讨论成果。
（5）（不看挂历）知道2010年任何一天的日期，能说出是星期几吗？
提示：让学生仔细观擦可推敲出月份日期与星期之间的关系是（4003 5136 2402），如2010年5月4日青年节是（（4+5）/ 7 =2）星期二。
（6）（不查万年历）能推出你出生的那一天是星期几吗？知道任何年份的日期而推出是星期几吗？
简解：利用高斯函数y=〔x〕,〔x〕是表示数x的整数部分，如：〔π〕=3，〔-4.75〕=-5，〔2010〕=2010。我们可以根据设润的规律，推算出在公元x年第y天是星期几。这里变数x是公元的年数；变数y是从这一年的元旦，算到这一天为止（包含这一天）的天数。历法家已经为我们找到了这样的公式：
s=x-1+［x-14］-［x-1100］+［x-1400］+y。按上式求出s后，除以7，如果恰好除尽，则这一天是星期天；否则余数是几，则为星期几！
例如，试计算新中国成立1949年10月1日是星期几？
解：由x-1=1948，y=274。代入公式计算
s=1948-1+［19484］-［1948100］+［1948400］+274
=1948+487-19+4+274
=2694≡6（mod7）(表示2697除以7余6)
原来，这一普天同庆的日子为星期六。依据此公式计算下面问题：
(1)请每个学生算一算自己出生的那一天是星期几？
(2)君士坦丁大帝宣布星期制开始的那一天为公元321年3月7日是星期几？
4.先做后说、精练反思
启发学生学习的主动性，循循善诱，引导他们前进，而不要牵逼学生使之被动；必须启发学生的自学性，勉励他们前进,而不要压抑他们使之退缩；必须启发学生学习的积极性，引导他们去思考，自己去钻研，自己去寻求结论，而不要事事都由教师越俎代庖而求其通达。如果达到这三条要求,师生关系就会融洽和谐,学生就会独立思考，学习起来也不会感到困难。
教师要想在教学过程中培养学生的自主学习能力，自己就不能讲的过多，不能采取满堂灌的方式，而是应该把大部分学习内容让学生通过自学掌握,教师只是在必要的时候给学生以点拨。王守仁指出：“凡教书不在图多，但贵精熟。量其资禀，能二百字者，可只授一百字。常使精神力量有余，则无厌苦之患，而有自得之美。”
例如，1、解答问题三：采用乘比相消法，
设Sn=1+2+22+ 23… … +263 … …（1）
2Sn=2+22+ 23… … +263+264… …（2）
(1)-(2)得，Sn=264-1=18 446 744 073 709 551 615=1.84×1019
这是一个长达二十位的天文数字！这样多的麦粒，相当于全世界多少年的小麦产量？假定千粒麦子的质量是40克，那么麦粒的质量超过了7000亿吨，因此，当国王明白这一情况时，他是不可能同意国际象棋发明者西萨·班的要求的。
发散思维：对于熟悉二进制的学生，西萨·班要求的赏赐，只是一个形式简单的数字。
解后反思，设计本题的重点是研究结论的发现过程与推导的思考过程。从而，推导出等比数列前n项和的求和公式。
2、解答问题四：试探求正四面体的中心位置点在哪里？
分析：由平面几何知识知，线段中点的内分比是1∶2，正三角形的重心比是1∶3，猜测正四面体的中心比是1∶4。结论是否正确，还要合理推证。
解：如图所示，设边长为a ，则正三角形的高为32a，正四面体的高为63a ，则GO=GO·FHCF=612a ，所以，OG∶OP=1∶4 。通过计算证明，先前猜测正四面体的中心比是1∶4的结论是正确的。此时，学生的就会感到愉悦的心情，从而激发新的探究欲望。教师不妨提出，你还知道有那些正多面体？正五面体，正六面体等存在吗？给学生留下悬念，为进一步学好立体几何，发掘空间智能开好头。待学生掌握了空间直角坐标系时，让学生用空间向量坐标法给于严格的证明。
4.精心设计、迁移创新
在初步理解并掌握规定的学习内容时，还不可能牢固的掌握和熟练的运用所学的知识、技能，部分学生看似掌握而实际上是机械模仿例题的层次。在这一过程中，教师要设计好变式练习，引导学生学会概括和迁移。有时候还可以设计一些难度较大的题目，使学习走向深入。在练习的过程中，教师还要视情况给学生以个别指导，尤其要给那些学有困难的潜能生给于指导。例如，研究问题五：人站在将一张厚0.01 mm的纸折叠30次后的高度时，重量会减轻多少呢？
实验1（动手做）： 让学生分别准备1本、1本、2本、4本、8本、16本、32本、64本、128本、256本、512本、1024本作业本后开始摞，规则是：1摞1、2摞2、4摞4的进行操作，在学生动手做的过程中观察高度的变化，并说出每摞一层时的本子数。当摞到1024本时，显然再摞一层就超过一般教室的高度而摞不下了。
思考：此时，将作业本摞（折叠）了多少次？再摞多少次后，高度可超过我们教学楼的高度？当地最高的建筑物？还有最高的（）？
实验 2 （动脑思）：将厚为0.33cm的作业本折叠30次后的高度约为多少米（近似计算）？
实验3（做数学）：将一张厚0.01 mm的纸折叠30次后的高度是1×2-2×2-3×230=10737.41824(m).此时，薄薄的一张纸折叠30次后的高度已经超过了珠穆朗玛峰的高度。实在是难以想象。此时，告诉学生人类探求自然，获得的科学知识只是冰山一角。望同学们，发奋学习，刻苦攻读，为人类社会生存作出应有的贡献。
实验4（用数学）：人站在10737.41824米高的顶上时，重量会减轻多少呢？
分析：为便于计算，假定人站的高度为一万米，在海平面上重60千克，人的质量为m，地球的质量为M，地球的半径为6370千米。所以当这个人在海平面时，他与地心的距离为6370千米，他与地球之间的引力为60千克，代入万有引力定律的公式，得
60=kmM63702（1）
当这个人在10000米高的顶上时，他与地心的距离为6380千米，设他此时的重量为x，则引力公式为
x=kmM63802（2）
（2）÷（1），得
x60=6370263802，由此求得x=59.81（kg）.
即这个人站在10000米高的顶上的重量为59.81千克，与他在海平面上重60千克相比，减轻了190克。
迁移创新：
①当人登上月球时重量会减轻多少（月球的质量是地球质量的181.3 ，月球的半径约是地球半径的0.273）？
②若人的重量减轻了30kg，求此时的高度为多少？
③当人升的越来越高时，地球的引力会变为零吗？为什么日月星辰会按各自的轨道自由运行呢？
随着对问题的不断深入研究，学生从探求知识上升到探求科学的领域，初步建立学生的人生观、价值观、宇宙观是很有必要的。
总之，构建中学数学有效的教学过程设计，旨在抛砖引玉，限于本人知识水平、时间、篇幅所限，所选事例挂一漏万，敬请同行指正。各环节之间紧密相连，环环相扣，甚至无法将它们严格的区分开来。因时因地，恰如其分的表达，切合时机的表述，潺潺溪流般滋润，委婉动听的言语，富有启发思考的问题，无不起到“润物细无声”的良效。诸多因素有效整合的越好，教学效率就越高；反之，效率就越低。在这些因素之中，我们认为教师热爱学生的人格魅力是创建教学有效的基石，师生之间融洽的情感是教学有效的条件，教师丰富的幽默语言是形成教学有效的润滑剂，教师的激励性语言是教学有效的催化剂，教师严谨治学的态度是形成良好课堂状态的有力保证，教师渊博的知识和驾驭课堂的教学艺术是开发学生智能，提高中学数学教学质量有效的一切保障。
参考文献
［1］张奠宙、宋乃庆.数学教育概论.高等教育出版社，2004年10月.
［2］张奠宙.20世纪数学经纬.华东师范大学出版社，2002年3月.
［3］［美］G波利亚著,阎育苏译.怎样解题.科学出版社，1982年.
［4］［美］理查德·曼凯维奇著,冯速译.数学的故事.海南出版社，2002年7月.
［5］张远南.数学故事丛书.上海科学普及出版社，1988年10月.
［6］庞维国.自主学习——学与教的原理和策略.华东师范大学出版社，2003年1月.
［7］［美］霍华德·加德纳著.沈致隆译.哈佛大学教育学名著-多元智能.新华出版社，2005年1月.
［8］全日制普通高级中学教科书（实验修订本·必修）数学，第一册（上），人民教育出版社.
［9］高级中学选修课教材——数学使用问题（上册）.人民教育出版社.
［10］北京市昌平区满井中学，田俊杰，浅谈教师课堂的有效管理.基础教育参考，2009年1月.
【关键词】中学数学 有效教学 生活实践
中学数学是学习“如何学习数学知识”和学习“如何学习解题思维”的学科，它是21世纪培养学生“如何学习”和“如何思考”的重要课程之一。目前数学教育存在的普遍问题：一是“重知识、轻能力”培养；二是“重结果、轻过程”教学；三是“重收敛、轻发散”思维训练；四是“重单一智力、轻多元智能”培育，而最头疼的是数学恐怕是我们花力气最多而收效甚少的一门学科。这些问题形成的原因是多方面的，主要来源于教师专业自主发展的历程，教师的智能结构、思想态度、教学方法、知识魅力、人格魅力决定着教学效率的有效实施。
“台上一分钟，台下十年功”。教师精心设计的教学目标，教学内容，教学方法都将在教学过程中一一展现，能否达到精彩纷呈，高潮迭起，环环相扣，引人入胜，悬念遐思，浮想联翩是提高课堂教学效率的有效措施。常规数学教学的基本结构是复习、引入、讲授、巩固和布置作业等几个基本步骤。高中数学新课程倡导的自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，有助于发挥学生学习的主动性、积极性和自主性，对激发学生的学习兴趣，鼓励学生在学习的过程中，养成独立思考、积极探究的习惯，体验数学发现与创造的历程，从而培养学生的实践能力与创新意识有提纲挈领的作用。依据新课程理念，我们本着数学源于生活实践的初衷，初步构建了中学数学有效教学过程的五个环节，一是创设情景、导引自学；二是大胆质疑、提出问题；三是组织探究、合作交流；四是先做后说、精练反思；五是精心设计、迁移创新。以下我们用创设的五组问题来分别叙述这些环节的教学设计及组织教学过程的建议。
1.创设情境、导引自学
数学情境题以一段生活情节、一个趣味故事，寓数学问题、数学思想方法于具体的情境之中。这类问题以其生动有趣的情节吸引学生，进而产生强烈的探索和研究的欲望。情境题的教育意义在于，让学生经历重要的、有价值的数学思维活动的过程（而在活动中得到的不仅是问题的结论），把过程与结论有机的结合起来。
开启知识的大门将从教学设计者的匠心独运，赋有每个人的灵感和创意，令人赏心悦目，闪耀着智慧的光芒。从日常生活应用中，古老传说的故事中，中外数学史长河中不断提炼积累。
创设一、黄帝的脚印
在引进相似概念的时候，教师在多媒体屏幕上打出“黄帝脚印石”，并介绍：凡是到陕西黄陵县谒陵拜祖的人，几乎都要到轩辕庙院内看一看黄帝的脚印。黄帝脚印石于1956年出土于黄帝陵东南2公里的周家洼村。这双脚印留在约一米见方的青石上，脚印长52厘米，是后世为了歌颂和赞美我们伟大的始祖轩辕黄帝所制。黄帝“创文字、定算术、合音律、造舟车、制冠冕”，智慧卓绝；他又合炎帝、败蚩尤，统一华夏，刚勇无比。创造如此惊天地、泣鬼神的丰功伟绩而被后世予以神化夸大是不足为怪的。
假如黄帝在元旦节来我校做客，请大家为黄帝设计所用书的大小，坐的椅子的高度和大小，桌子的高度和大小。
在通常引入相似概念时，用相片放大和地图比例尺等等背景也很好。但是，学生在形成概念时缺乏自身的体验，被动地思考知识。这是参照弗勒登塔尔设计“巨人的手”设计的。十分适合学生的喜好，具有一定的悬念，成为创设问题的情景，能够激发求知的欲望。
创设二、挂历问题。（老师准备好2010年的年历卡）学生提问该年任何一天的日期，老师不看年历卡准确回答是星期几，在学生的惊讶与赞叹声中，引入挂历上的数学问题。挂历对于我们每个人都不陌生，你想知道老师是如何知道星期几的吗？你探究过其中的数学问题吗？当学生被置于这一情境中，许多数学问题就渐渐浮现出来。
创设三、国际象棋棋盘的传说（人教版试验修订必修本，数学第一册上P109，P130）。以数学悬念来创设问题情境，激发学生的学习兴趣。不仅给学生留下了深刻的印象，也进一步唤起了学生要探索数列求和等知识的求知欲。
创设四、植树节到了，要栽四棵树，要求每两棵树之间的距离都相等。高一（2）班学生申请设计植树方案，请开动脑筋思考符合条件的方案存在吗？如果存在，指出其中心位置点在哪里？
以数学活动和数学实验创设问题情境，让学生通过动脑思考、动手操作，在“做数学”中学到知识，获得成就感，体会到学习数学的无穷乐趣。
创设五、将一张厚0.01mm的纸折叠30次，试问有多高？当你站在此纸折叠后的高度时，你的体重会不会改变？若改变，是加重还是减轻？即人站在将一张厚0.01mm的纸折叠30次后的高度时，重量会加重（或减轻）多少呢？
在实际教学过程中，我们多利用计算机制作课件，增强数学课堂教学的直观性、生动性、趣味性，吸引学生的注意力，激发思维，激励探究，拓展视野，发掘潜能，使学生能积极参与到教学的全过程，提高教学效率和教学质量。
总之，创设良好的问题情境可以使教学内容触及到学生的情绪、心灵和意志领域，激发学习动机，激发学习的好奇心，激发学习兴趣是提高教育教学效率的重要手段。
2.提出问题、大胆质疑
数学教学设计的中心任务就是设计出一个或一组好的数学问题，把数学教学活动组织成提出问题和解决问题的过程，让学生在解决问题的过程中“做数学”、学数学、增长知识、发展能力。当我们把一个数学问题创设出一个数学问题情境题之后，关键是使学生进入“愤”和“悱”的状况，更重要的是为学生的思维活动提供了一个好的切入口，为学生的学习活动找到了一个好的载体，从而给学生更多的思考、动手交流的机会。以下将创设的情境题转化为对应的问题提出来。
问题一、由探究脚印的大小与人的身高之间的关系而得出相似比的概念。
此问题的提出具有艺术性、新颖性、趣味性、现实性。同时为学生质疑黄帝的脚印确实有这么大而埋下了伏笔。
问题二、（不看挂历，不查万年历）知道日期能说出是星期几吗？能算出你出生的那一天是星期几吗？
对学生“日用而不知”的问题，学生学起来兴趣盎然，一点不觉得枯燥，大有探个究竟的强烈欲望。
问题三、以题意，麦粒总数是1+2+22+23……+263。即求数列和1+2+22+23……+263是多少？并解决一些实际问题。
设计的问题在学生已有知识的基础上，用原有知识水平只能解决其中的一部分内容。因而要开辟新的解题途径，创设新的思维方式，从而在解决问题的过程中创造出新的数学思想方法。问题四、在学生掌握了平面几何知识之后，学习立体几何之前，让其探索本题，学生思来想去，反复在正三角形，正方形之间游荡，很难摆脱平面几何的思维模式。可启发学生用正三角形纸片折叠出符合要求的模型。设计本题的意图旨在让学生感悟到解决问题的思维方式要改变，即从平面思维要上升到空间思维来考虑。从而开始建立空间智能的概念。
学习立体几何时，能将数学思想和模型用于探索所提出的问题是建立空间概念的最好切入点。
问题五、将一张厚0.01mm的纸折叠30次，试问有多高？教师让学生对这个高度的直觉判断是可笑的，能猜测到高度有二十几米的学生已经是够异想天开的。说明学生“做数学”、“用数学”，动手做、动脑思数学的意识很淡薄。对几何级数增长的可怕性一无所知。该问题在学习指数函数的时候提出，将有意想不到的效果。进而将数学与物理知识有机结合起来，突出数学是解决问题的重要基础学科。
3.组织探究、合作交流
在探究学习的过程中，难免会碰到自己不能解决的疑难问题，这就要求学生知疑善问。张载说：“在可疑而不疑者，不曾学。学则须疑。比之行道者，将之南山，须问道路之出，自若安坐，则何尝有疑！”“义理有疑，则濯(zhuó)去旧见以来新意。”在他看来，学习必须质疑善问。质疑善问可以避免学习误入歧途，也可以获得新的见解。但另一方面，他认为学习中过多提问也不好，过多提问会影响独立思考能力的培养。“如但多问，未偿自得，学者懒惰，教者则渎，两失之矣。”朱熹主张：“读书无疑者，须教有疑，有疑却要无疑，到这里方是长进。”古代学者尽管强调为学贵在自求自得，但并不是为学者要关起门来孤立地学习，他们认为做学问应该与他人相互切磋，这样才会相得益彰。如《学记》指出：“独学而无友则孤陋而寡闻。”
对提出的数学问题，经过独立思考而不能解决的疑难问题，视个别问题，还是共性问题对待。对于个别问题采用启发点拨、个别辅导的方式进行。对于共性问题再分为：先是组织学生讨论能否完成，再是师生共作来完成，后是解后反思。对于要组织讨论的问题，要注意：①学生已有知识与能力水平；②讨论问题的难易程度；③具有挑战性、激励性的问题，激发学生讨论的目的；④给学生充分的讨论空间，使学生自由的思考，在体验中学习。教师应多看、多听、多感受而少说话，要及时肯定那些新颖的想法。对讨论中发现的新问题，要记下来，形同身受，相互启发思考，以创造更好的思维空间和氛围；⑤解后反思。
数学课的讨论有时是师生之间的讨论、学生之间的讨论，有时是全班的讨论、小组的讨论或同桌两人的讨论。教师应视问题的难易程度而组织不同形式的讨论活动。
例如：组织探究问题二（不看挂历，不查万年历）知道日期能说出是星期几吗？能推算出你出生的那一天是星期几吗？
虽然学生通过情境创设，对提出的问题虽有强烈的求知欲，但不知从何处下手。教师则应启发诱导，按学生已有的知识思路，设计由易到难、由浅入深的探求规律，分层设计（1）-（6）的问题。再鼓励学生查阅资料，探求任何年份日期是星期几的历法问题。
（1） 已知图1-（1）2010年一月的挂历中已知4行3列的日期是19日，请问元月1日是星期几？
（2）你直接观察到行（列）之间和与差间的规律了吗？
（3）如图1-（1）、（2）请寻求构成矩形的数之间的规律。
（4）关于被7整除余数的规律。再探求被7整除余数与星期之间的关系。
教师组织讨论问题（5）、（6），让学生合作探究，并交流讨论成果。
（5）（不看挂历）知道2010年任何一天的日期，能说出是星期几吗？
提示：让学生仔细观擦可推敲出月份日期与星期之间的关系是（4003 5136 2402），如2010年5月4日青年节是（（4+5）/ 7 =2）星期二。
（6）（不查万年历）能推出你出生的那一天是星期几吗？知道任何年份的日期而推出是星期几吗？
简解：利用高斯函数y=〔x〕,〔x〕是表示数x的整数部分，如：〔π〕=3，〔-4.75〕=-5，〔2010〕=2010。我们可以根据设润的规律，推算出在公元x年第y天是星期几。这里变数x是公元的年数；变数y是从这一年的元旦，算到这一天为止（包含这一天）的天数。历法家已经为我们找到了这样的公式：
s=x-1+［x-14］-［x-1100］+［x-1400］+y。按上式求出s后，除以7，如果恰好除尽，则这一天是星期天；否则余数是几，则为星期几！
例如，试计算新中国成立1949年10月1日是星期几？
解：由x-1=1948，y=274。代入公式计算
s=1948-1+［19484］-［1948100］+［1948400］+274
=1948+487-19+4+274
=2694≡6（mod7）(表示2697除以7余6)
原来，这一普天同庆的日子为星期六。依据此公式计算下面问题：
(1)请每个学生算一算自己出生的那一天是星期几？
(2)君士坦丁大帝宣布星期制开始的那一天为公元321年3月7日是星期几？
4.先做后说、精练反思
启发学生学习的主动性，循循善诱，引导他们前进，而不要牵逼学生使之被动；必须启发学生的自学性，勉励他们前进,而不要压抑他们使之退缩；必须启发学生学习的积极性，引导他们去思考，自己去钻研，自己去寻求结论，而不要事事都由教师越俎代庖而求其通达。如果达到这三条要求,师生关系就会融洽和谐,学生就会独立思考，学习起来也不会感到困难。
教师要想在教学过程中培养学生的自主学习能力，自己就不能讲的过多，不能采取满堂灌的方式，而是应该把大部分学习内容让学生通过自学掌握,教师只是在必要的时候给学生以点拨。王守仁指出：“凡教书不在图多，但贵精熟。量其资禀，能二百字者，可只授一百字。常使精神力量有余，则无厌苦之患，而有自得之美。”
例如，1、解答问题三：采用乘比相消法，
设Sn=1+2+22+ 23… … +263 … …（1）
2Sn=2+22+ 23… … +263+264… …（2）
(1)-(2)得，Sn=264-1=18 446 744 073 709 551 615=1.84×1019
这是一个长达二十位的天文数字！这样多的麦粒，相当于全世界多少年的小麦产量？假定千粒麦子的质量是40克，那么麦粒的质量超过了7000亿吨，因此，当国王明白这一情况时，他是不可能同意国际象棋发明者西萨·班的要求的。
发散思维：对于熟悉二进制的学生，西萨·班要求的赏赐，只是一个形式简单的数字。
解后反思，设计本题的重点是研究结论的发现过程与推导的思考过程。从而，推导出等比数列前n项和的求和公式。
2、解答问题四：试探求正四面体的中心位置点在哪里？
分析：由平面几何知识知，线段中点的内分比是1∶2，正三角形的重心比是1∶3，猜测正四面体的中心比是1∶4。结论是否正确，还要合理推证。
解：如图所示，设边长为a ，则正三角形的高为32a，正四面体的高为63a ，则GO=GO·FHCF=612a ，所以，OG∶OP=1∶4 。通过计算证明，先前猜测正四面体的中心比是1∶4的结论是正确的。此时，学生的就会感到愉悦的心情，从而激发新的探究欲望。教师不妨提出，你还知道有那些正多面体？正五面体，正六面体等存在吗？给学生留下悬念，为进一步学好立体几何，发掘空间智能开好头。待学生掌握了空间直角坐标系时，让学生用空间向量坐标法给于严格的证明。
4.精心设计、迁移创新
在初步理解并掌握规定的学习内容时，还不可能牢固的掌握和熟练的运用所学的知识、技能，部分学生看似掌握而实际上是机械模仿例题的层次。在这一过程中，教师要设计好变式练习，引导学生学会概括和迁移。有时候还可以设计一些难度较大的题目，使学习走向深入。在练习的过程中，教师还要视情况给学生以个别指导，尤其要给那些学有困难的潜能生给于指导。例如，研究问题五：人站在将一张厚0.01 mm的纸折叠30次后的高度时，重量会减轻多少呢？
实验1（动手做）： 让学生分别准备1本、1本、2本、4本、8本、16本、32本、64本、128本、256本、512本、1024本作业本后开始摞，规则是：1摞1、2摞2、4摞4的进行操作，在学生动手做的过程中观察高度的变化，并说出每摞一层时的本子数。当摞到1024本时，显然再摞一层就超过一般教室的高度而摞不下了。
思考：此时，将作业本摞（折叠）了多少次？再摞多少次后，高度可超过我们教学楼的高度？当地最高的建筑物？还有最高的（）？
实验 2 （动脑思）：将厚为0.33cm的作业本折叠30次后的高度约为多少米（近似计算）？
实验3（做数学）：将一张厚0.01 mm的纸折叠30次后的高度是1×2-2×2-3×230=10737.41824(m).此时，薄薄的一张纸折叠30次后的高度已经超过了珠穆朗玛峰的高度。实在是难以想象。此时，告诉学生人类探求自然，获得的科学知识只是冰山一角。望同学们，发奋学习，刻苦攻读，为人类社会生存作出应有的贡献。
实验4（用数学）：人站在10737.41824米高的顶上时，重量会减轻多少呢？
分析：为便于计算，假定人站的高度为一万米，在海平面上重60千克，人的质量为m，地球的质量为M，地球的半径为6370千米。所以当这个人在海平面时，他与地心的距离为6370千米，他与地球之间的引力为60千克，代入万有引力定律的公式，得
60=kmM63702（1）
当这个人在10000米高的顶上时，他与地心的距离为6380千米，设他此时的重量为x，则引力公式为
x=kmM63802（2）
（2）÷（1），得
x60=6370263802，由此求得x=59.81（kg）.
即这个人站在10000米高的顶上的重量为59.81千克，与他在海平面上重60千克相比，减轻了190克。
迁移创新：
①当人登上月球时重量会减轻多少（月球的质量是地球质量的181.3 ，月球的半径约是地球半径的0.273）？
②若人的重量减轻了30kg，求此时的高度为多少？
③当人升的越来越高时，地球的引力会变为零吗？为什么日月星辰会按各自的轨道自由运行呢？
随着对问题的不断深入研究，学生从探求知识上升到探求科学的领域，初步建立学生的人生观、价值观、宇宙观是很有必要的。
总之，构建中学数学有效的教学过程设计，旨在抛砖引玉，限于本人知识水平、时间、篇幅所限，所选事例挂一漏万，敬请同行指正。各环节之间紧密相连，环环相扣，甚至无法将它们严格的区分开来。因时因地，恰如其分的表达，切合时机的表述，潺潺溪流般滋润，委婉动听的言语，富有启发思考的问题，无不起到“润物细无声”的良效。诸多因素有效整合的越好，教学效率就越高；反之，效率就越低。在这些因素之中，我们认为教师热爱学生的人格魅力是创建教学有效的基石，师生之间融洽的情感是教学有效的条件，教师丰富的幽默语言是形成教学有效的润滑剂，教师的激励性语言是教学有效的催化剂，教师严谨治学的态度是形成良好课堂状态的有力保证，教师渊博的知识和驾驭课堂的教学艺术是开发学生智能，提高中学数学教学质量有效的一切保障。
参考文献
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