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【摘要】本文依照循序逐增原理将组合数编为组合数表，从中发现了组合数表的奥秘及其规律，对组合数循序逐增的若干规律进行了证明，同时论证了组合数与1、自然数、奇数、平方数、金字塔形数等数列之间的循序逐增关系.
【关键词】循序逐增规律；组合数；组合数表
本文开篇，请允许笔者提出这样一道数学题：
C22 （C22 1 C2 12 1 C2 22 2 C2 32 3 … C2 982 98） （C22 1 1 C2 12 1 1 C2 22 2 1 C2 32 3 1 … C2 982 98 1） （C22 1 2 C2 12 1 2 C2 22 2 2 C2 32 3 2 … C2 982 98 2） （C22 1 3 C2 12 1 3 C2 22 2 3 C2 32 3 3 … C2 982 98 3） … （C22 1 97 C2 12 1 97 C2 22 2 97 C2 32 3 97 … C2 982 98 97）= ？
这是一道99列纵列组合数循序累加的数学题.不知有哪一位数学老师在没有阅看本文前，能写出其答案的组合式.
笔者之所以以这道数学题开篇，目的是想告诉人们，只要了解了组合数表的奥秘以及组合数的循序逐增规律，就可轻易做到这一点.
循序逐增是数学的组合、排列共有的基本原理.这是笔者在《地图与数学的组合、排列及三角矩阵》（见《数学学习与研究》2011年第17期）一文中得出的一个结论.经深入研究，笔者发现了组合数学（确切地说组合数）更多的循序逐增规律.本文将这些发现记录下来，有请老师指教.
一、循序逐增的组合数表
组合数表是依照循序逐增原理，循着Cmn的n、 m“ 1”的逐增规律，将组合数有序记录下来而形成的一个表.如图1所示.
对该表做分析，可发现其所隐藏的奥秘和规律.
图1 组合数表
二、组合数表的奥秘
奥秘1 横看成岭侧成峰，横竖斜列规律异有同
认真细看组合数表的数字，不论是横看还是竖看、斜看，都是一串有规律的循序逐增的组合数.横看，是n不变， m依序“ 1”逐增的组合数；竖看，是m不变，n依序“ 1”逐增的组合数；斜看（左上角至右下角），是n， m同依序“ 1”逐增的组合数.此奥秘又藏着若干规律.
图2 帕斯卡三角奥秘2 从组合数表中看出，在n不变（即n相同）的条件下，最大的组合数，既不是最大的m的组合数，也不是最小的m的组合数，而是处于中间的m（即中轴线框内）的组合数，组合数与m既不存在正比关系，也不存在反比关系.
奥秘3 组合数表与杨辉三角（帕斯卡三角）完全是同曲异工.
只要将图1向右倾斜45度，就会发现图1的数字与杨辉三角（见图2，也称帕斯卡三角）完全相同.这表明，杨辉三角（帕斯卡三角）的每一个数字都是Cmn的组合数.由此可见，组合数表与杨辉三角（帕斯卡三角）完全是同曲异工.
三、杨辉三角（帕斯卡三角）已知的规律
规律1 三角形中的每一行数字表示的是二项式的整系数（a b）的特定次幂.见图3.
规律2 三角形中的每一行数字相加之和，从第二行起，是2的次幂之积.见图4.
图 3 图 4
规律3 三角形中，每条斜线所经过的数字相加之和均为斐波纳契数.见图5.
图 5
四、组合数表中反映出来的组合数循序逐增的规律
规律1 横列组合数的规律之一
Cmn Cm 1n=Cm 1n 1 （ 式中n≥m 1）.
例证1C23 C2 13=C23 C33=C34=3 1=4.
例证2C24 C2 14=C24 C34=C35=6 4=10.
例证3C25 C2 15=C25 C35=C36=10 10=20.
例证4C26 C2 16=C26 C36=C37=15 20=35.
依照归纳法，可把这一规律的定理表为：
Cmn Cm 1n=Cm 1n 1 （式中n≥m 1）.
规律2 横列组合数的规律之二
如 m1 m2= n，则Cm1n =Cm2n，亦即Cmn=Cn-mn （ 式中n≥m）.
将图1中加粗的线框内的数字作为中轴线，可清楚看到，中轴线两边相对应的组合数是等同的.即在n相同的同一行组合数中，在相对应的位置可找到两个相同的组合数，且此两个相同的组合数的Cmn等式的两个m相加之和正好等于n.
例如Cm7的组合数.
已知n=7，Cm7的组合等式有8个，组合数相同的等式有4对：
C37=C47 m1=3 m2=4 m1 m2=3 4=7C37=35C47=35 可见C37=C47.
C27=C57 m1=2 m2=5 m1 m2=2 5=7C27=21C57=21 可见C27=C57.
C17=C67 m1=1 m2=6 m1 m2=1 6=7C17=7C67=7 可见C17=C67.
C07=C77 m1=0 m2=7 m1 m2=0 7=7C07=1C77=1 可见C07=C77.
又例如Cm8的组合数.
已知n=8，Cm8的组合等式有9个，组合数相同的等式有4对：
C38=C58 m1=3 m2=5 m1 m2=3 5=8C38=56C58=56 可见C38=C58.
C28=C68 m1=2 m2=6 m1 m2=2 6=8C28=28C68=28 可见C28=C68.
C18=C78 m1=1 m2=7 m1 m2=1 7=8C18=8C78=8 可見C18=C78. C08=C88 m1=0 m2=8 m1 m2=0 8=8C08=1C88=1 可见C08=C88.
两个相同的组合数的Cmn等式还告诉我们这样一个规律：Cmn=Cn-mn.
以Cm7的组合等式为例，如C37，已知 n=7，m=3，那么，C7-37=C47.
C37=35C47=35 可见C37=C47.
又如C57，已知 n=7，m=5，那么，C7-57=C27.C27=21C57=21，可见C57=C27.
在此，应指出的，我们不能以除法的计算方法来理解“C0n=1”的问题，而以组合的对等原理来理解“C0n=1（包括C00=1）”的问题，因为证明结果表明：C0n=1.组合的计算方式只是“借用”了除法的计算方法而已.
事实证明1 循序逐增的组合数表清楚地告诉我们：C0n=1.
事实证明2Cmn=Cn-mn的定理表明：C0n=Cn-0n=Cnn，Cnn=1，所以C0n=1.
因此，C0n=1，不存在“设定C0n=1”的问题.
规律3 横列组合数的规律之三
横列组合数依序相加规律表明，Cmn的n =2n的n ，即：
C0n C1n C2n C3n … Cnn=2n（式中n≥2）
如：n=1 那么，C01 C11=1 1=2 2=21.
n=2 那么，C02 C12 C22=1 2 1=4 4=22.
n=3 那么，C03 C13 C23 C33=1 3 3 1=8 8=23.
n=4 那么，C04 C14 C24 C34 C44=1 4 6 4 1=16 16=24.
依照归纳法，得：C0n C1n C2n C3n … Cnn=2n（式中n≥2）.
此规律表明，就横列Cmn的组合数依序相加来说， n为2的组合数依序相加之和是n为1的组合数依序相加之和的2倍； n为3的组合数依序相加之和是n为2的组合数依序相加之和的2倍；n为4的组合数依序相加之和是n为3的组合数依序相加之和的2倍，余此类推.可见，横列每行组合数依序相加之和随着n“ 1”而增加1倍.
规律4 纵列（竖列）组合数的规律之一
单列纵列组合数循序累加规律.即在m不变的条件下，n循着“ 1”逐增，依序将各组合数累加.其定理为：
Cmn Cmn 1 Cmn 2 Cmn 3 Cmn 4 … Cmn k=Cm 1n k 1（式中m = n ）.
例证1 见图6. 例证2 见图7.
图 6 图 7 图 8
根据例证1的C00 k组合数循序累加之规律，可将其公式表为：
C00 C00 1 C00 2 C00 3 C00 4 … C00 k=C0 10 k 1
根据例证2的C11 k组合数循序累加之规律，可将其公式表为：
C11 C11 1 C11 2 C11 3 C11 4 … C11 k=C1 11 k 1
综例证1、例证2，依照归纳法，其定理为：
Cmn Cmn 1 Cmn 2 Cmn 3 Cmn 4 … Cmn k=Cm 1n k 1 （式中m = n ）
单列纵列组合数循序累加规律表明，在m不变的条件下，n循着“ 1”逐增，其组合数依序累加之和，正是“m 1”后不变、n循着“ 1” 逐增的组合数，即上纵列组合数循序累加之和，正是下纵列的组合数.如C组合数循序累加之和，乃是C1n的组合数；而C1n组合数循序累加之和，乃是C2n的组合数；又C2n组合数循序累加之和，则是C3n的组合数……余此类推.可见，单列纵列组合数循序累加规律是一条“上加成下”的循序累加“链条”， 没有穷尽（见图8）.
规律5 纵列（竖列）组合数的规律之二
相邻双列纵列组合数循序累加规律.其定理为：
Cmn （Cmn 1 Cm 1n 1） （Cmn 2 Cm 1n 2） （Cmn 3 Cm 1n 3） （Cmn 4 Cm 1n 4） … （Cmn k Cm 1n k）=Cm 2n k 2（式中m = n ）.
例证1 见图9.
图 9 图 10
例证2 见图10.
根据例证1的“C0n C1n”组合数循序累加之规律，可将其公式表达为：
C00 （C00 1 C0 10 1） （C00 2 C0 10 2） （C00 3 C0 10 3） … （C00 k C0 10 k）=C0 20 k 2.
根据例证2的“C1n C2n”组合数循序累加之规律，可将其公式表达为：
C11 （C11 1 C1 11 1） （C11 2 C1 11 2） （C11 3 C1 11 3） … （C11 k C1 11 k）=C1 21 k 2.
综例证1、例证2的证明，依照归纳法，其定理为：
Cmn （Cmn 1 Cm 1n 1） （Cmn 2 Cm 1n 2） （Cmn 3 Cm 1n 3） … （Cmn k Cm 1n k）=Cm 2n k 2（式中m = n ）.
图 11
图9、图10、图11的证明表明，相邻双列纵列组合数依序累加之和，正是后列下一纵列循序逐增的组合数.具体地说，C0n与C1n双列组合数循序累加之和，是C1n下一纵列C2n的组合数，即与前文C1n单列组合数循序累加之和同；C1n与C2n双列组合数循序累加之和，是C2n下
一纵列C3n的组合数，即与前文C2n单列组合数循序累加之和同；C2n与C3n双列组合数循序累加之和，是C3n下一纵列C4n的组合数，即与前文C3n单列组合数循序累加之和同……余此类推.可见，雙列组合数循序累加之和，也是一条“上加成下”的循序累加“链条”，没有穷尽. 规律6 纵列（竖列）组合数的规律之三
相邻3列以上纵列组合数循序累加的规律.
循着列数的逐增，当相邻列数增至3列、4列、5列……n列，其组合数循序累加又是什么样的规律呢？请看下面证明.
笔者研究结果表明，3列以上纵列组合数循序累加有两种不同方法.两种方法，两种规律.
循序累加方法1的证明 将相邻的第二、三、四……列的起始组合数1，与首列的第二个组合数同行位置上（即同一括号内），见图12、图13.
例证1 图12所示，是相邻3列纵列组合数循序累加规律例证表.
图 12
从图12看出，C0n，C1n，C2n 3列纵列组合数循序累加之和为后列C2n下一纵列C3n的组合数，与前文C2n单列纵列组合数循序累加之和同；C1n，C2n，C3n 3列纵列组合数循序累加之和为后列C3n下一纵列C4n的组合数，与前文C3n单列纵列组合数循序累加之和同；C2n，C3n，C4n3列纵列组合数循序累加之和为后列C4n下一纵列C5n的组合数，与前文C4n单列纵列组合数循序累加之和同.可见，相邻3列纵列组合数循序累加之和为后列下一纵列的组合数，其规律与相邻2列纵列组合数循序累加之规律同.
例证2 图13所示，是相邻4列纵列组合数循序累加规律例证表.
图 13
从图13看出，C0n，C1n，C2n ，C3n 4列纵列组合数循序累加之和为后列C3n下一纵列C4n的组合数，与前文C3n单列纵列组合数循序累加之和同；C1n，C2n，C3n，C4n 4列纵列组合数循序累加之和为后列C4n下一纵列C5n的组合数，与前文C4n单列纵列组合数循序累加之和同；C2n，C3n，C4n，C5n 4列纵列组合数循序累加之和为后列C5n下一纵列C6n的组合数，与前文C5n单列纵列组合数循序累加之和同.可见，相邻4列纵列组合数循序累加之和为后列下一纵列的组合数，其规律与相邻2列、3列纵列组合数循序累加之规律同.
纵图12、图13的证明，得出结论：循序累加方法1的累加结果表明，不论多少列纵列组合数循序累加，其累加之和为后列下一纵列的组合数，与后列单列纵列组合数循序累加之和同. 亦即其答案的组合数的组合式，是后列纵列最后一个组合式Cmn的n 2，m 1，即：Cm 1n 2.
如图12的“C0n，C1n，C2n” 3列纵列组合数循序累加，其后列纵列C2n的最后一个组合数21的组合式为C27，那么，其相对应的累加之和84的组合式为C2 17 2，即C2 17 2=C39=84.
再如图13的“C0n，C1n，C2n ，C3n” 4列纵列组合数循序累加，其后列纵列C3n的最后一个组合数252的组合式为C510，那么，其相对应的累加之和924的组合式为C5 110 2，即C5 110 2=C612=924.
又以本文开篇的数学题为例，其后列纵列C100n的最后一个组合式为
C100197，那么，该题答案的组合式为C100 1197 2，即C100 1197 2=C101199.
循序累加方法2的证明 相邻的若干列纵列组合数依照组合数表的序列（即Cmn的n相同的组合式为同一括号内）进行累加，见图14、图15.
例证1 图14所示，是相邻3列纵列组合数循序累加规律例证表.
图 14
例证2 图15所示，是相邻4列纵列组合数循序累加规律例证表.
图 15
从图14、图15看出，方法2的3列、4列纵列组合数循序累加之和均不是后列下一列縱列的组合数，也不是其他有序的组合数，其结果与方法1的结果不相同.虽然如此，但前组相邻若干列纵列组合数循序累加之和与后组相邻若干列纵列组合数循序累加之和存在着循序逐增的关系.如C0n，C1n，C2n 3列纵列组合数循序累加之和是后组C1n，C2n，C3n3列纵列组合数循序累加数（即逐增数），而C1n，C2n，C3n3列纵列组合数循序累加之和则是其后C2n，C3n，C4n 3列纵列组合数循序累加数，余此类推.同理，图15的相邻4列纵列组合数循序累加的结果也是如此，C0n，C1n，C2n ，C3n 4列纵列组合数循序累加之和是后组C1n，C2n，C3n，C4n 4列纵列组合数循序累加数（即逐增数），而C1n，C2n，C3n，C4n 4列纵列组合数循序累加之和则是其后C2n，C3n，C4n ，C5n 4列纵列组合数循序累加数，余此类推.可见，方法2的若干列纵列组合数循序累加之和与后组若干列纵列组合数循序累加之和存在着循序逐增的关系.
方法1、方法2的证明表明，方法1的组合数循序累加之和为循序逐增的组合数，其规律可以组合式表达出来，而方法2的组合数循序累加之和为有序的其他数，其规律不可以组合式表达.据此，笔者认为，在弄懂此两种方法的同时，应着重掌握方法1的组合数循序累加原理.
规律7 依照循序逐增原理，纵列的各个组合数等于斜列（左上角至右下角）的各个组合数，见图16.
图 16
从图16看出，纵列1（即C0n）的各个组合数等于斜列1（即Cnn）的各个组合数，亦即C00 k=C0 k0 k；
纵列2（即C1n）的各个组合数等于斜列2（即Cn-1n）的各个组合数，亦即C11 k=C0 k1 k；
纵列3（即C2n）的各个组合数等于斜列3（即Cn-2n）的各个组合数，亦即C22 k=C0 k2 k；
纵列4（即C3n）的各个组合数等于斜列4（即Cn-3n）的各个组合数，亦即C33 k=C0 k3 k.其余以此类推.
依照归纳法，得：Cmn k=C0 kn k（式中m = n），即Cmn=Cn-mn. 根据“纵列的各个组合数等于斜列（左上角至右下角）的各个组合数”的事实，无疑，纵列组合数存在的规律，斜列组合数也应存在相应的规律.
规律8 斜列组合数的规律之一
单列斜列组合数循序累加规律.即以C0n=1为累加起始数，n、0同时循着“ 1”逐增，并依序将各组合数累加.其定理为：
C0n C0 1n 1 C0 2n 2 C0 3n 3 C0 4n 4 … C0 kn k=Co kn k i（式中n≥0）.
例证1 见图17.
例证2 见图18.
图 17 图 18
从图17看出，“第三步”和“累加之和”与图6的“第三步”和“累加之和”同，这证明斜列1（即Cnn）循序累加之规律与纵列1（即C0n）循序累加之规律同.根据图17反映出来的斜列1（即Cnn）循序累加之规律，其定理为：
C00 C0 10 1 C0 20 2 C0 30 3 C0 40 4 … C0 k0 k=C0 k0 k 1.
从图18看出，“第三步”和“累加之和”与图7的“第三步”和“累加之和”同，这证明斜列2（即Cn-1n）循序累加之规律与纵列2（即C1n）循序累加之规律同.根据图18反映出来的斜列2（即Cn-1n）循序累加之规律，其定理为：
C01 C0 11 1 C0 21 2 C0 31 3 C0 41 4 … C0 k1 k=C0 k1 k 1.
根据图17、图18的证明结果与圖6、图7的证明结果同，又已知单列纵列组合数循序累加之规律是“上列单列纵列组合数循序累加之和为下列单列纵列组合数循序累加数”，那么，由此可推断，单列斜列组合数循序累加之规律为： 上列单列斜列组合数循序累加之和为下列单列斜列组合数循序累加数.请看图.
图 19
综图17、图18、图19的证明，依照归纳法，得单列斜列组合数循序累加规律之定理为：
C0n C0 1n 1 C0 2n 2 C0 3n 3 C0 4n 4 … C0 kn k=Co kn k i（式中n≥0）.
单列斜列组合数循序累加规律表明，各列斜列组合数均以C0n=1为累加起始数，n、0同时循着“ 1”逐增.其组合数依序累加之和，正是n、0同时循着“ 1”逐增后再“n 1”的组合数，即上列斜列组合数循序累加之和，正是下列斜列的组合数.可见，单列斜列组合数循序累加规律，与单列纵列组合数循序累加规律一样，是一条“上加成下”的循序累加“链条”.
规律9 斜列组合数的规律之二
相邻双列斜列组合数循序累加的规律.其定理为：
C0n （C0 1n 1 C0 1-1n 1） （C0 2n 2 C0 2-1n 2） （C0 3n 3 C0 3-1n 3） … （C0 kn k C0 k-1n k）=C0 kn k 2.
例证1 见图20.
图 20 图 21
根据图20的“斜列1 斜列2”循序累加之规律，其公式可表为：
C00 （C0 10 1 C0 10 1-1） （C0 20 2 C0 20 2-1） （C0 30 3 C0 30 3-1） … （C0 k0 k C0 k0 k-1）=C0 k0 k 2.
例证2 见图21.
根据图21的“斜列1 斜列2”循序累加之规律，其公式可表为：
C01 （C0 11 1 C0 11 1-1） （C0 21 2 C0 21 2-1） （C0 31 3 C0 31 3-1） … （C0 k1 k C0 k1 k-1）=C0 k1 k 2.
综例证1、例证2的证明，依照归纳法，得定理：
C0n （C0 1n 1 C0 1-1n 1） （C0 2n 2 C0 2-1n 2） （C0 3n 3 C0 3-1n 3） … （C0 kn k C0 k-1n k）=C0 kn k 2.
规律10 斜列组合数的规律之三
相邻3列以上斜列组合数循序累加的规律.
前文对单列、相邻双列斜列组合数循序累加的规律进行了证明，其结果与单列、相邻双列纵列组合数循序累加的规律同.那么，当相邻列数增至3列、4列、5列……n列，其组合数循序累加的规律是不是也与3列以上纵列组合数循序累加的规律一样呢？请看下面证明.
3列以上纵列组合数循序累加有两种方法，为精简文章篇幅，只选方法1（即将相邻的第二、三、四……列的起始组合数1，与首列的第二个组合数为同一括号内）予以证明.见图22、图23.
例证1 图22所示，是相邻3列斜列组合数循序累加规律例证表.
图 22
例证2 图23所示，是相邻4列斜列组合数循序累加规律例证表.
图 23
从图22、图23看出，相邻3列斜列组合数循序累加的规律与相邻3列纵列组合数循序累加的规律（见图14）同.相邻4列斜列组合数循序累加的规律与相邻4列纵列组合数循序累加的规律（见图15）同.可见，相邻3列以上斜列组合数循序累加的规律与相邻3列以上纵列组合数循序累加的规律同，即：不论多少列斜列组合数循序累加，其累加之和为后列下一斜列的组合数.
规律11 纵列组合数规律等同于斜列组合数规律之规律
综前面对纵列组合数规律与斜列组合数规律之证明，纵列组合数规律与斜列组合数规律之间存在若干等同规律，除前面规律10同外，还有：
等同规律1 单列纵列组合数循序累加规律等同于单列斜列组合数循序累加规律，即：
“Cmn Cmn 1 Cmn 2 Cmn 3 Cmn 4 … Cmn k=Cm 1n k 1 （式中m = n ）” 等同于“C0n C0 1n 1 C0 2n 2 C0 3n 3 C0 4n 4 …… C0 kn k=Co kn k i（式中n≥0）”.
等同规律2 双列纵列组合数循序累加规律等同于双列斜列组合数循序累加规律，即：
“Cmn （Cmn 1 Cm 1n 1） （Cmn 2 Cm 1n 2） （Cmn 3 Cm 1n 3） … （Cmn k Cm 1n k）=Cm 2n k 2 （式中m = n ）”等同于“C0n （C0 1n 1 C0 1-1n 1） （C0 2n 2 C0 2-1n 2） （C0 3n 3 C0 3-1n 3） … （C0 kn k C0 k-1n k）=C0 kn k 2”.
五、组合数表与其他数列循序逐增的规律
本文说的其他数列，主要是指以下若干数列：
在此要说明的，金字塔形数后的“其他形数”，是笔者不知其名而创之.
笔者研究结果表明，组合数表不仅反映了组合数与组合数之间的循序逐增的關系，而且也反映了组合数与自然数起始数1、自然数、平方数、金字塔形数、其他形数等数列存在循序逐增的关系及其规律.
规律1 自然数起始数1与C0n的循序逐增规律
C0n的任何一个组合数均是自然数1，即C0n=1.为此，见图24.
图 24
从图24看出，C0n的组合式从C00开始，循着“ 1”逐增，其组合数均为1.可见，自然数起始数是1，组合数起始数也是1.
规律2 自然数1，2，3，4，5，6，7，8，9 ……与C0n的组合数循序累加规律（见图25）
从图25看出，C0n的组合数循序累加之和正是循序逐增的自然数数列.
图 25 图 26
规律3 奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17，19 ……与“C0n C0n-1”的组合数循序累加规律（见图26）
从图26看出，“C0n C0n-1”的组合数循序累加之和正是循序逐增的奇数数列.
规律4 平方数1，4，9，16，25，36，49……与“C1n C1n-1” 的组合数循序累加规律（见图27）
从图27看出，“C1n C1n-1”的组合数循序累加之和正是循序逐增的平方数数列.
图 27 图 28
规律5 金字塔形数1，5，14，30，55，91，140……与“C2n C2n-1” 的组合数循序累加规律（见图28）
从图28看出，“C2n C2n-1”的组合数循序累加之和正是循序逐增的金字塔形数数列.
规律6 其他形数（a）1，6，20，50，105，196，336……与“C3n C3n-1” 的组合数循序累加规律（见图29）
从图29看出，“C3n C3n-1”的组合数循
序累加之和正是循序逐增的其他形数（a）数列.
图 29
规律7 其他形数（b）1，7，27，77，182，378，714……与“C4n C4n-1” 的组合数循序累加规律（见图29）
从图29看出，“C4n C4n-1”的组合数循序累加之和正是循序逐增的其他形数（b）数列.
规律8 其他形数 （c）1，8，35，112，294，672，1386……与“C5n C5n-1” 的组合数循序累加规律（见图29）
从图29看出，“C5n C5n-1”的组合数循序累加之和正是循序逐增的其他形数（c）数列.
从以上“Cmn Cmn-1”的组合数循序累加规律可推知，其他形数（d）数列必定是“C6n C6n-1”的组合数循序累加之和，其他形数（e）数列必定是“C7n C7n-1”的组合数循序累加之和……由此可见，“Cmn Cmn-1”的组合数循序累加规律是一条没有穷尽的循序累加“链条”.
【关键词】循序逐增规律；组合数；组合数表
本文开篇，请允许笔者提出这样一道数学题：
C22 （C22 1 C2 12 1 C2 22 2 C2 32 3 … C2 982 98） （C22 1 1 C2 12 1 1 C2 22 2 1 C2 32 3 1 … C2 982 98 1） （C22 1 2 C2 12 1 2 C2 22 2 2 C2 32 3 2 … C2 982 98 2） （C22 1 3 C2 12 1 3 C2 22 2 3 C2 32 3 3 … C2 982 98 3） … （C22 1 97 C2 12 1 97 C2 22 2 97 C2 32 3 97 … C2 982 98 97）= ？
这是一道99列纵列组合数循序累加的数学题.不知有哪一位数学老师在没有阅看本文前，能写出其答案的组合式.
笔者之所以以这道数学题开篇，目的是想告诉人们，只要了解了组合数表的奥秘以及组合数的循序逐增规律，就可轻易做到这一点.
循序逐增是数学的组合、排列共有的基本原理.这是笔者在《地图与数学的组合、排列及三角矩阵》（见《数学学习与研究》2011年第17期）一文中得出的一个结论.经深入研究，笔者发现了组合数学（确切地说组合数）更多的循序逐增规律.本文将这些发现记录下来，有请老师指教.
一、循序逐增的组合数表
组合数表是依照循序逐增原理，循着Cmn的n、 m“ 1”的逐增规律，将组合数有序记录下来而形成的一个表.如图1所示.
对该表做分析，可发现其所隐藏的奥秘和规律.
图1 组合数表
二、组合数表的奥秘
奥秘1 横看成岭侧成峰，横竖斜列规律异有同
认真细看组合数表的数字，不论是横看还是竖看、斜看，都是一串有规律的循序逐增的组合数.横看，是n不变， m依序“ 1”逐增的组合数；竖看，是m不变，n依序“ 1”逐增的组合数；斜看（左上角至右下角），是n， m同依序“ 1”逐增的组合数.此奥秘又藏着若干规律.
图2 帕斯卡三角奥秘2 从组合数表中看出，在n不变（即n相同）的条件下，最大的组合数，既不是最大的m的组合数，也不是最小的m的组合数，而是处于中间的m（即中轴线框内）的组合数，组合数与m既不存在正比关系，也不存在反比关系.
奥秘3 组合数表与杨辉三角（帕斯卡三角）完全是同曲异工.
只要将图1向右倾斜45度，就会发现图1的数字与杨辉三角（见图2，也称帕斯卡三角）完全相同.这表明，杨辉三角（帕斯卡三角）的每一个数字都是Cmn的组合数.由此可见，组合数表与杨辉三角（帕斯卡三角）完全是同曲异工.
三、杨辉三角（帕斯卡三角）已知的规律
规律1 三角形中的每一行数字表示的是二项式的整系数（a b）的特定次幂.见图3.
规律2 三角形中的每一行数字相加之和，从第二行起，是2的次幂之积.见图4.
图 3 图 4
规律3 三角形中，每条斜线所经过的数字相加之和均为斐波纳契数.见图5.
图 5
四、组合数表中反映出来的组合数循序逐增的规律
规律1 横列组合数的规律之一
Cmn Cm 1n=Cm 1n 1 （ 式中n≥m 1）.
例证1C23 C2 13=C23 C33=C34=3 1=4.
例证2C24 C2 14=C24 C34=C35=6 4=10.
例证3C25 C2 15=C25 C35=C36=10 10=20.
例证4C26 C2 16=C26 C36=C37=15 20=35.
依照归纳法，可把这一规律的定理表为：
Cmn Cm 1n=Cm 1n 1 （式中n≥m 1）.
规律2 横列组合数的规律之二
如 m1 m2= n，则Cm1n =Cm2n，亦即Cmn=Cn-mn （ 式中n≥m）.
将图1中加粗的线框内的数字作为中轴线，可清楚看到，中轴线两边相对应的组合数是等同的.即在n相同的同一行组合数中，在相对应的位置可找到两个相同的组合数，且此两个相同的组合数的Cmn等式的两个m相加之和正好等于n.
例如Cm7的组合数.
已知n=7，Cm7的组合等式有8个，组合数相同的等式有4对：
C37=C47 m1=3 m2=4 m1 m2=3 4=7C37=35C47=35 可见C37=C47.
C27=C57 m1=2 m2=5 m1 m2=2 5=7C27=21C57=21 可见C27=C57.
C17=C67 m1=1 m2=6 m1 m2=1 6=7C17=7C67=7 可见C17=C67.
C07=C77 m1=0 m2=7 m1 m2=0 7=7C07=1C77=1 可见C07=C77.
又例如Cm8的组合数.
已知n=8，Cm8的组合等式有9个，组合数相同的等式有4对：
C38=C58 m1=3 m2=5 m1 m2=3 5=8C38=56C58=56 可见C38=C58.
C28=C68 m1=2 m2=6 m1 m2=2 6=8C28=28C68=28 可见C28=C68.
C18=C78 m1=1 m2=7 m1 m2=1 7=8C18=8C78=8 可見C18=C78. C08=C88 m1=0 m2=8 m1 m2=0 8=8C08=1C88=1 可见C08=C88.
两个相同的组合数的Cmn等式还告诉我们这样一个规律：Cmn=Cn-mn.
以Cm7的组合等式为例，如C37，已知 n=7，m=3，那么，C7-37=C47.
C37=35C47=35 可见C37=C47.
又如C57，已知 n=7，m=5，那么，C7-57=C27.C27=21C57=21，可见C57=C27.
在此，应指出的，我们不能以除法的计算方法来理解“C0n=1”的问题，而以组合的对等原理来理解“C0n=1（包括C00=1）”的问题，因为证明结果表明：C0n=1.组合的计算方式只是“借用”了除法的计算方法而已.
事实证明1 循序逐增的组合数表清楚地告诉我们：C0n=1.
事实证明2Cmn=Cn-mn的定理表明：C0n=Cn-0n=Cnn，Cnn=1，所以C0n=1.
因此，C0n=1，不存在“设定C0n=1”的问题.
规律3 横列组合数的规律之三
横列组合数依序相加规律表明，Cmn的n =2n的n ，即：
C0n C1n C2n C3n … Cnn=2n（式中n≥2）
如：n=1 那么，C01 C11=1 1=2 2=21.
n=2 那么，C02 C12 C22=1 2 1=4 4=22.
n=3 那么，C03 C13 C23 C33=1 3 3 1=8 8=23.
n=4 那么，C04 C14 C24 C34 C44=1 4 6 4 1=16 16=24.
依照归纳法，得：C0n C1n C2n C3n … Cnn=2n（式中n≥2）.
此规律表明，就横列Cmn的组合数依序相加来说， n为2的组合数依序相加之和是n为1的组合数依序相加之和的2倍； n为3的组合数依序相加之和是n为2的组合数依序相加之和的2倍；n为4的组合数依序相加之和是n为3的组合数依序相加之和的2倍，余此类推.可见，横列每行组合数依序相加之和随着n“ 1”而增加1倍.
规律4 纵列（竖列）组合数的规律之一
单列纵列组合数循序累加规律.即在m不变的条件下，n循着“ 1”逐增，依序将各组合数累加.其定理为：
Cmn Cmn 1 Cmn 2 Cmn 3 Cmn 4 … Cmn k=Cm 1n k 1（式中m = n ）.
例证1 见图6. 例证2 见图7.
图 6 图 7 图 8
根据例证1的C00 k组合数循序累加之规律，可将其公式表为：
C00 C00 1 C00 2 C00 3 C00 4 … C00 k=C0 10 k 1
根据例证2的C11 k组合数循序累加之规律，可将其公式表为：
C11 C11 1 C11 2 C11 3 C11 4 … C11 k=C1 11 k 1
综例证1、例证2，依照归纳法，其定理为：
Cmn Cmn 1 Cmn 2 Cmn 3 Cmn 4 … Cmn k=Cm 1n k 1 （式中m = n ）
单列纵列组合数循序累加规律表明，在m不变的条件下，n循着“ 1”逐增，其组合数依序累加之和，正是“m 1”后不变、n循着“ 1” 逐增的组合数，即上纵列组合数循序累加之和，正是下纵列的组合数.如C组合数循序累加之和，乃是C1n的组合数；而C1n组合数循序累加之和，乃是C2n的组合数；又C2n组合数循序累加之和，则是C3n的组合数……余此类推.可见，单列纵列组合数循序累加规律是一条“上加成下”的循序累加“链条”， 没有穷尽（见图8）.
规律5 纵列（竖列）组合数的规律之二
相邻双列纵列组合数循序累加规律.其定理为：
Cmn （Cmn 1 Cm 1n 1） （Cmn 2 Cm 1n 2） （Cmn 3 Cm 1n 3） （Cmn 4 Cm 1n 4） … （Cmn k Cm 1n k）=Cm 2n k 2（式中m = n ）.
例证1 见图9.
图 9 图 10
例证2 见图10.
根据例证1的“C0n C1n”组合数循序累加之规律，可将其公式表达为：
C00 （C00 1 C0 10 1） （C00 2 C0 10 2） （C00 3 C0 10 3） … （C00 k C0 10 k）=C0 20 k 2.
根据例证2的“C1n C2n”组合数循序累加之规律，可将其公式表达为：
C11 （C11 1 C1 11 1） （C11 2 C1 11 2） （C11 3 C1 11 3） … （C11 k C1 11 k）=C1 21 k 2.
综例证1、例证2的证明，依照归纳法，其定理为：
Cmn （Cmn 1 Cm 1n 1） （Cmn 2 Cm 1n 2） （Cmn 3 Cm 1n 3） … （Cmn k Cm 1n k）=Cm 2n k 2（式中m = n ）.
图 11
图9、图10、图11的证明表明，相邻双列纵列组合数依序累加之和，正是后列下一纵列循序逐增的组合数.具体地说，C0n与C1n双列组合数循序累加之和，是C1n下一纵列C2n的组合数，即与前文C1n单列组合数循序累加之和同；C1n与C2n双列组合数循序累加之和，是C2n下
一纵列C3n的组合数，即与前文C2n单列组合数循序累加之和同；C2n与C3n双列组合数循序累加之和，是C3n下一纵列C4n的组合数，即与前文C3n单列组合数循序累加之和同……余此类推.可见，雙列组合数循序累加之和，也是一条“上加成下”的循序累加“链条”，没有穷尽. 规律6 纵列（竖列）组合数的规律之三
相邻3列以上纵列组合数循序累加的规律.
循着列数的逐增，当相邻列数增至3列、4列、5列……n列，其组合数循序累加又是什么样的规律呢？请看下面证明.
笔者研究结果表明，3列以上纵列组合数循序累加有两种不同方法.两种方法，两种规律.
循序累加方法1的证明 将相邻的第二、三、四……列的起始组合数1，与首列的第二个组合数同行位置上（即同一括号内），见图12、图13.
例证1 图12所示，是相邻3列纵列组合数循序累加规律例证表.
图 12
从图12看出，C0n，C1n，C2n 3列纵列组合数循序累加之和为后列C2n下一纵列C3n的组合数，与前文C2n单列纵列组合数循序累加之和同；C1n，C2n，C3n 3列纵列组合数循序累加之和为后列C3n下一纵列C4n的组合数，与前文C3n单列纵列组合数循序累加之和同；C2n，C3n，C4n3列纵列组合数循序累加之和为后列C4n下一纵列C5n的组合数，与前文C4n单列纵列组合数循序累加之和同.可见，相邻3列纵列组合数循序累加之和为后列下一纵列的组合数，其规律与相邻2列纵列组合数循序累加之规律同.
例证2 图13所示，是相邻4列纵列组合数循序累加规律例证表.
图 13
从图13看出，C0n，C1n，C2n ，C3n 4列纵列组合数循序累加之和为后列C3n下一纵列C4n的组合数，与前文C3n单列纵列组合数循序累加之和同；C1n，C2n，C3n，C4n 4列纵列组合数循序累加之和为后列C4n下一纵列C5n的组合数，与前文C4n单列纵列组合数循序累加之和同；C2n，C3n，C4n，C5n 4列纵列组合数循序累加之和为后列C5n下一纵列C6n的组合数，与前文C5n单列纵列组合数循序累加之和同.可见，相邻4列纵列组合数循序累加之和为后列下一纵列的组合数，其规律与相邻2列、3列纵列组合数循序累加之规律同.
纵图12、图13的证明，得出结论：循序累加方法1的累加结果表明，不论多少列纵列组合数循序累加，其累加之和为后列下一纵列的组合数，与后列单列纵列组合数循序累加之和同. 亦即其答案的组合数的组合式，是后列纵列最后一个组合式Cmn的n 2，m 1，即：Cm 1n 2.
如图12的“C0n，C1n，C2n” 3列纵列组合数循序累加，其后列纵列C2n的最后一个组合数21的组合式为C27，那么，其相对应的累加之和84的组合式为C2 17 2，即C2 17 2=C39=84.
再如图13的“C0n，C1n，C2n ，C3n” 4列纵列组合数循序累加，其后列纵列C3n的最后一个组合数252的组合式为C510，那么，其相对应的累加之和924的组合式为C5 110 2，即C5 110 2=C612=924.
又以本文开篇的数学题为例，其后列纵列C100n的最后一个组合式为
C100197，那么，该题答案的组合式为C100 1197 2，即C100 1197 2=C101199.
循序累加方法2的证明 相邻的若干列纵列组合数依照组合数表的序列（即Cmn的n相同的组合式为同一括号内）进行累加，见图14、图15.
例证1 图14所示，是相邻3列纵列组合数循序累加规律例证表.
图 14
例证2 图15所示，是相邻4列纵列组合数循序累加规律例证表.
图 15
从图14、图15看出，方法2的3列、4列纵列组合数循序累加之和均不是后列下一列縱列的组合数，也不是其他有序的组合数，其结果与方法1的结果不相同.虽然如此，但前组相邻若干列纵列组合数循序累加之和与后组相邻若干列纵列组合数循序累加之和存在着循序逐增的关系.如C0n，C1n，C2n 3列纵列组合数循序累加之和是后组C1n，C2n，C3n3列纵列组合数循序累加数（即逐增数），而C1n，C2n，C3n3列纵列组合数循序累加之和则是其后C2n，C3n，C4n 3列纵列组合数循序累加数，余此类推.同理，图15的相邻4列纵列组合数循序累加的结果也是如此，C0n，C1n，C2n ，C3n 4列纵列组合数循序累加之和是后组C1n，C2n，C3n，C4n 4列纵列组合数循序累加数（即逐增数），而C1n，C2n，C3n，C4n 4列纵列组合数循序累加之和则是其后C2n，C3n，C4n ，C5n 4列纵列组合数循序累加数，余此类推.可见，方法2的若干列纵列组合数循序累加之和与后组若干列纵列组合数循序累加之和存在着循序逐增的关系.
方法1、方法2的证明表明，方法1的组合数循序累加之和为循序逐增的组合数，其规律可以组合式表达出来，而方法2的组合数循序累加之和为有序的其他数，其规律不可以组合式表达.据此，笔者认为，在弄懂此两种方法的同时，应着重掌握方法1的组合数循序累加原理.
规律7 依照循序逐增原理，纵列的各个组合数等于斜列（左上角至右下角）的各个组合数，见图16.
图 16
从图16看出，纵列1（即C0n）的各个组合数等于斜列1（即Cnn）的各个组合数，亦即C00 k=C0 k0 k；
纵列2（即C1n）的各个组合数等于斜列2（即Cn-1n）的各个组合数，亦即C11 k=C0 k1 k；
纵列3（即C2n）的各个组合数等于斜列3（即Cn-2n）的各个组合数，亦即C22 k=C0 k2 k；
纵列4（即C3n）的各个组合数等于斜列4（即Cn-3n）的各个组合数，亦即C33 k=C0 k3 k.其余以此类推.
依照归纳法，得：Cmn k=C0 kn k（式中m = n），即Cmn=Cn-mn. 根据“纵列的各个组合数等于斜列（左上角至右下角）的各个组合数”的事实，无疑，纵列组合数存在的规律，斜列组合数也应存在相应的规律.
规律8 斜列组合数的规律之一
单列斜列组合数循序累加规律.即以C0n=1为累加起始数，n、0同时循着“ 1”逐增，并依序将各组合数累加.其定理为：
C0n C0 1n 1 C0 2n 2 C0 3n 3 C0 4n 4 … C0 kn k=Co kn k i（式中n≥0）.
例证1 见图17.
例证2 见图18.
图 17 图 18
从图17看出，“第三步”和“累加之和”与图6的“第三步”和“累加之和”同，这证明斜列1（即Cnn）循序累加之规律与纵列1（即C0n）循序累加之规律同.根据图17反映出来的斜列1（即Cnn）循序累加之规律，其定理为：
C00 C0 10 1 C0 20 2 C0 30 3 C0 40 4 … C0 k0 k=C0 k0 k 1.
从图18看出，“第三步”和“累加之和”与图7的“第三步”和“累加之和”同，这证明斜列2（即Cn-1n）循序累加之规律与纵列2（即C1n）循序累加之规律同.根据图18反映出来的斜列2（即Cn-1n）循序累加之规律，其定理为：
C01 C0 11 1 C0 21 2 C0 31 3 C0 41 4 … C0 k1 k=C0 k1 k 1.
根据图17、图18的证明结果与圖6、图7的证明结果同，又已知单列纵列组合数循序累加之规律是“上列单列纵列组合数循序累加之和为下列单列纵列组合数循序累加数”，那么，由此可推断，单列斜列组合数循序累加之规律为： 上列单列斜列组合数循序累加之和为下列单列斜列组合数循序累加数.请看图.
图 19
综图17、图18、图19的证明，依照归纳法，得单列斜列组合数循序累加规律之定理为：
C0n C0 1n 1 C0 2n 2 C0 3n 3 C0 4n 4 … C0 kn k=Co kn k i（式中n≥0）.
单列斜列组合数循序累加规律表明，各列斜列组合数均以C0n=1为累加起始数，n、0同时循着“ 1”逐增.其组合数依序累加之和，正是n、0同时循着“ 1”逐增后再“n 1”的组合数，即上列斜列组合数循序累加之和，正是下列斜列的组合数.可见，单列斜列组合数循序累加规律，与单列纵列组合数循序累加规律一样，是一条“上加成下”的循序累加“链条”.
规律9 斜列组合数的规律之二
相邻双列斜列组合数循序累加的规律.其定理为：
C0n （C0 1n 1 C0 1-1n 1） （C0 2n 2 C0 2-1n 2） （C0 3n 3 C0 3-1n 3） … （C0 kn k C0 k-1n k）=C0 kn k 2.
例证1 见图20.
图 20 图 21
根据图20的“斜列1 斜列2”循序累加之规律，其公式可表为：
C00 （C0 10 1 C0 10 1-1） （C0 20 2 C0 20 2-1） （C0 30 3 C0 30 3-1） … （C0 k0 k C0 k0 k-1）=C0 k0 k 2.
例证2 见图21.
根据图21的“斜列1 斜列2”循序累加之规律，其公式可表为：
C01 （C0 11 1 C0 11 1-1） （C0 21 2 C0 21 2-1） （C0 31 3 C0 31 3-1） … （C0 k1 k C0 k1 k-1）=C0 k1 k 2.
综例证1、例证2的证明，依照归纳法，得定理：
C0n （C0 1n 1 C0 1-1n 1） （C0 2n 2 C0 2-1n 2） （C0 3n 3 C0 3-1n 3） … （C0 kn k C0 k-1n k）=C0 kn k 2.
规律10 斜列组合数的规律之三
相邻3列以上斜列组合数循序累加的规律.
前文对单列、相邻双列斜列组合数循序累加的规律进行了证明，其结果与单列、相邻双列纵列组合数循序累加的规律同.那么，当相邻列数增至3列、4列、5列……n列，其组合数循序累加的规律是不是也与3列以上纵列组合数循序累加的规律一样呢？请看下面证明.
3列以上纵列组合数循序累加有两种方法，为精简文章篇幅，只选方法1（即将相邻的第二、三、四……列的起始组合数1，与首列的第二个组合数为同一括号内）予以证明.见图22、图23.
例证1 图22所示，是相邻3列斜列组合数循序累加规律例证表.
图 22
例证2 图23所示，是相邻4列斜列组合数循序累加规律例证表.
图 23
从图22、图23看出，相邻3列斜列组合数循序累加的规律与相邻3列纵列组合数循序累加的规律（见图14）同.相邻4列斜列组合数循序累加的规律与相邻4列纵列组合数循序累加的规律（见图15）同.可见，相邻3列以上斜列组合数循序累加的规律与相邻3列以上纵列组合数循序累加的规律同，即：不论多少列斜列组合数循序累加，其累加之和为后列下一斜列的组合数.
规律11 纵列组合数规律等同于斜列组合数规律之规律
综前面对纵列组合数规律与斜列组合数规律之证明，纵列组合数规律与斜列组合数规律之间存在若干等同规律，除前面规律10同外，还有：
等同规律1 单列纵列组合数循序累加规律等同于单列斜列组合数循序累加规律，即：
“Cmn Cmn 1 Cmn 2 Cmn 3 Cmn 4 … Cmn k=Cm 1n k 1 （式中m = n ）” 等同于“C0n C0 1n 1 C0 2n 2 C0 3n 3 C0 4n 4 …… C0 kn k=Co kn k i（式中n≥0）”.
等同规律2 双列纵列组合数循序累加规律等同于双列斜列组合数循序累加规律，即：
“Cmn （Cmn 1 Cm 1n 1） （Cmn 2 Cm 1n 2） （Cmn 3 Cm 1n 3） … （Cmn k Cm 1n k）=Cm 2n k 2 （式中m = n ）”等同于“C0n （C0 1n 1 C0 1-1n 1） （C0 2n 2 C0 2-1n 2） （C0 3n 3 C0 3-1n 3） … （C0 kn k C0 k-1n k）=C0 kn k 2”.
五、组合数表与其他数列循序逐增的规律
本文说的其他数列，主要是指以下若干数列：
在此要说明的，金字塔形数后的“其他形数”，是笔者不知其名而创之.
笔者研究结果表明，组合数表不仅反映了组合数与组合数之间的循序逐增的關系，而且也反映了组合数与自然数起始数1、自然数、平方数、金字塔形数、其他形数等数列存在循序逐增的关系及其规律.
规律1 自然数起始数1与C0n的循序逐增规律
C0n的任何一个组合数均是自然数1，即C0n=1.为此，见图24.
图 24
从图24看出，C0n的组合式从C00开始，循着“ 1”逐增，其组合数均为1.可见，自然数起始数是1，组合数起始数也是1.
规律2 自然数1，2，3，4，5，6，7，8，9 ……与C0n的组合数循序累加规律（见图25）
从图25看出，C0n的组合数循序累加之和正是循序逐增的自然数数列.
图 25 图 26
规律3 奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17，19 ……与“C0n C0n-1”的组合数循序累加规律（见图26）
从图26看出，“C0n C0n-1”的组合数循序累加之和正是循序逐增的奇数数列.
规律4 平方数1，4，9，16，25，36，49……与“C1n C1n-1” 的组合数循序累加规律（见图27）
从图27看出，“C1n C1n-1”的组合数循序累加之和正是循序逐增的平方数数列.
图 27 图 28
规律5 金字塔形数1，5，14，30，55，91，140……与“C2n C2n-1” 的组合数循序累加规律（见图28）
从图28看出，“C2n C2n-1”的组合数循序累加之和正是循序逐增的金字塔形数数列.
规律6 其他形数（a）1，6，20，50，105，196，336……与“C3n C3n-1” 的组合数循序累加规律（见图29）
从图29看出，“C3n C3n-1”的组合数循
序累加之和正是循序逐增的其他形数（a）数列.
图 29
规律7 其他形数（b）1，7，27，77，182，378，714……与“C4n C4n-1” 的组合数循序累加规律（见图29）
从图29看出，“C4n C4n-1”的组合数循序累加之和正是循序逐增的其他形数（b）数列.
规律8 其他形数 （c）1，8，35，112，294，672，1386……与“C5n C5n-1” 的组合数循序累加规律（见图29）
从图29看出，“C5n C5n-1”的组合数循序累加之和正是循序逐增的其他形数（c）数列.
从以上“Cmn Cmn-1”的组合数循序累加规律可推知，其他形数（d）数列必定是“C6n C6n-1”的组合数循序累加之和，其他形数（e）数列必定是“C7n C7n-1”的组合数循序累加之和……由此可见，“Cmn Cmn-1”的组合数循序累加规律是一条没有穷尽的循序累加“链条”.