论文部分内容阅读
一、在数学知识讲解中渗透逆向思维
逆向思维是素质教育中不容忽视的内容，也是一种创新的思维方式。初中数学教材中包含了很多渗透逆向思维的教学内容，教师可以引导学生从逆向（反面）来理解其内涵，从而培养学生的逆向思维习惯。
1.结合数学概念或定义教学，渗透逆向思维
不少初中数学概念与定义需要学生从正反两面加以思考与理解。在教学这些内容时，教师既要引导学生从正面理解，又要引导他们逆向思考，深入理解数学知识。
如在教学一元二次方程根的概念时，教师应先引导学生正向理解概念：“如果x1、x2为方程ax2 bx c=0的两根，那么ax12 bx1 c=0，ax22 bx2 c=0。”然后，教师引导学生进行反向分析：“如果ax12 bx1 c=0，ax22 bx2 c=0，且x1≠x2，那么x1、x2为方程ax2 bx c=0的两个根。”通过正向与逆向两方面的分析，学生会更透彻、更全面地把握一元二次方程根的定义，提高解题效率。
2.借助定理与推论，培养逆向思维
数学定理是学生需要掌握的基础知识之一，也是训练学生逆向思维的重要素材。在教学初中数学定理时，教师可以引导学生注意定理的可逆性和相互性，分清定理的题设与结论。虽然每个定理都有逆命题，但有些逆命题可能不妥，这是学生容易出错的地方，教师可以先正面讲解，然后再逆向提问，训练学生逆向思维的同时，又帮助他们更深地理解定理，准确运用定理解题。
3.利用数学公式，渗透逆向思维
在初中数学教学中，数学公式也是训练学生逆向思维的重要途径。教师可以合理利用数学公式引入逆向思维，让学生探索公式的互逆形式，打破学生的常规思维，熟练地掌握逆用公式，轻松解题。如多项式乘法与因式分解、乘方与开方均为互逆运算，在教学时，教师要注意启发学生的逆向思维，认识它们的互逆关系，养成逆向思维的习惯。
二、在数学解题应用中强化逆向思维训练
1.运用逆推法或反证法
在解答数学题目时，如果由正面思考步骤比较烦琐或者难以解答的题目时，学生不妨试着改变思维方式，运用逆推法或反证法，包括数学定理、公式等知识的逆向应用，另辟蹊径。
例1.已知梯形ABCD中，AB与CD平行，∠C≠∠D，证明：梯形ABCD不是等腰梯形。
教师可以引导学生运用反证法，轻松得证。假设梯形ABCD是等腰梯形，所以∠C=∠D（等腰梯形同一底上的两个内角相等），和题中所给条件∠C≠∠D相矛盾，所以假设不成立。可见，梯形ABCD不是等腰梯形。
例2.已知|a|﹤1，|b|﹤1，求证：|a b|﹤|1 ab| 。
如果按照常规思维，学生直接证明该题会有一定的困难。此时，教师可以引导学生尝试逆推法，由结论进行推倒，得到应有的不等式。将|a b|﹤|1 ab| 两边平方，可以得出a2 2ab b2﹤1 2ab a2b2，即 a2 b2-a2b2 -1﹤0。分解因式（1-b2）（a2-1）﹤0，根据已知条件推出这个不等式，再予以证明。
∵|a|﹤1，|b|﹤1
∴a2﹤1，b2﹤1，則有a2-1﹤0，
1-b2﹥0，那么（a2-1）（1-b2）﹤0
∴a2 b2-a2b2-1﹤0
∴a2 b2 2ab﹤1 a2b2 2ab
∴（a-b）2﹤（1 ab）2
∴|a b|﹤|1 ab|
2.适当地展开逆向变式训练
教师适当地展开逆向变式训练，即转化已知与求证，使之变为相似于原题的新题型，能进一步强化学生的逆向思维。
例3.如图1所示，在△ABC中，AB=AC，P、Q 分别是AC、AB边上的两点，同时∠ABP=∠ACQ，求证：AP=AQ。
当学生证明命题后，教师可引导他们转换原题中的结论与题设，形成新的命题，养成双向思维的好习惯。“逆向变式”：如图1所示，在△ABC中，AB=AC， P、Q分别是AB、AC边上的两点， AP=AQ，证明：∠ABP=∠ACQ ；“逆向变式”；在△ABC中，P、Q分别是AC、AB边上的两点，同时AP=AQ，∠ABP=∠ACQ，证明：AB=AC。通过逆向变式训练，能够促使学生构建完整而合理的新知识，更好地理解问题的本质，学会举一反三。
在初中数学学习中，逆向思维有助于学生加深对知识的理解，简化解题过程，提高学习能力。因此，数学教师要结合教学内容，有针对性地强化逆向思维训练，让学生养成逆向思维的习惯，进一步提高学生的解题能力。
逆向思维是素质教育中不容忽视的内容，也是一种创新的思维方式。初中数学教材中包含了很多渗透逆向思维的教学内容，教师可以引导学生从逆向（反面）来理解其内涵，从而培养学生的逆向思维习惯。
1.结合数学概念或定义教学，渗透逆向思维
不少初中数学概念与定义需要学生从正反两面加以思考与理解。在教学这些内容时，教师既要引导学生从正面理解，又要引导他们逆向思考，深入理解数学知识。
如在教学一元二次方程根的概念时，教师应先引导学生正向理解概念：“如果x1、x2为方程ax2 bx c=0的两根，那么ax12 bx1 c=0，ax22 bx2 c=0。”然后，教师引导学生进行反向分析：“如果ax12 bx1 c=0，ax22 bx2 c=0，且x1≠x2，那么x1、x2为方程ax2 bx c=0的两个根。”通过正向与逆向两方面的分析，学生会更透彻、更全面地把握一元二次方程根的定义，提高解题效率。
2.借助定理与推论，培养逆向思维
数学定理是学生需要掌握的基础知识之一，也是训练学生逆向思维的重要素材。在教学初中数学定理时，教师可以引导学生注意定理的可逆性和相互性，分清定理的题设与结论。虽然每个定理都有逆命题，但有些逆命题可能不妥，这是学生容易出错的地方，教师可以先正面讲解，然后再逆向提问，训练学生逆向思维的同时，又帮助他们更深地理解定理，准确运用定理解题。
3.利用数学公式，渗透逆向思维
在初中数学教学中，数学公式也是训练学生逆向思维的重要途径。教师可以合理利用数学公式引入逆向思维，让学生探索公式的互逆形式，打破学生的常规思维，熟练地掌握逆用公式，轻松解题。如多项式乘法与因式分解、乘方与开方均为互逆运算，在教学时，教师要注意启发学生的逆向思维，认识它们的互逆关系，养成逆向思维的习惯。
二、在数学解题应用中强化逆向思维训练
1.运用逆推法或反证法
在解答数学题目时，如果由正面思考步骤比较烦琐或者难以解答的题目时，学生不妨试着改变思维方式，运用逆推法或反证法，包括数学定理、公式等知识的逆向应用，另辟蹊径。
例1.已知梯形ABCD中，AB与CD平行，∠C≠∠D，证明：梯形ABCD不是等腰梯形。
教师可以引导学生运用反证法，轻松得证。假设梯形ABCD是等腰梯形，所以∠C=∠D（等腰梯形同一底上的两个内角相等），和题中所给条件∠C≠∠D相矛盾，所以假设不成立。可见，梯形ABCD不是等腰梯形。
例2.已知|a|﹤1，|b|﹤1，求证：|a b|﹤|1 ab| 。
如果按照常规思维，学生直接证明该题会有一定的困难。此时，教师可以引导学生尝试逆推法，由结论进行推倒，得到应有的不等式。将|a b|﹤|1 ab| 两边平方，可以得出a2 2ab b2﹤1 2ab a2b2，即 a2 b2-a2b2 -1﹤0。分解因式（1-b2）（a2-1）﹤0，根据已知条件推出这个不等式，再予以证明。
∵|a|﹤1，|b|﹤1
∴a2﹤1，b2﹤1，則有a2-1﹤0，
1-b2﹥0，那么（a2-1）（1-b2）﹤0
∴a2 b2-a2b2-1﹤0
∴a2 b2 2ab﹤1 a2b2 2ab
∴（a-b）2﹤（1 ab）2
∴|a b|﹤|1 ab|
2.适当地展开逆向变式训练
教师适当地展开逆向变式训练，即转化已知与求证，使之变为相似于原题的新题型，能进一步强化学生的逆向思维。
例3.如图1所示，在△ABC中，AB=AC，P、Q 分别是AC、AB边上的两点，同时∠ABP=∠ACQ，求证：AP=AQ。
当学生证明命题后，教师可引导他们转换原题中的结论与题设，形成新的命题，养成双向思维的好习惯。“逆向变式”：如图1所示，在△ABC中，AB=AC， P、Q分别是AB、AC边上的两点， AP=AQ，证明：∠ABP=∠ACQ ；“逆向变式”；在△ABC中，P、Q分别是AC、AB边上的两点，同时AP=AQ，∠ABP=∠ACQ，证明：AB=AC。通过逆向变式训练，能够促使学生构建完整而合理的新知识，更好地理解问题的本质，学会举一反三。
在初中数学学习中，逆向思维有助于学生加深对知识的理解，简化解题过程，提高学习能力。因此，数学教师要结合教学内容，有针对性地强化逆向思维训练，让学生养成逆向思维的习惯，进一步提高学生的解题能力。