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数学中的美无处不在，优美且和谐的黄金分割、神奇且神秘的函数、美丽且诱人的几何图形，数学处处蕴含着丰富而又纯净的美.古往今来，“对称”一直是人们所追求的，而这种美在数学中也表现的淋漓尽致.下面我们就通过2017年江苏高考数学解析几何题的对称解法去感受这种美.感受之余层层推进，揭开这种美的本质根源.
1 直观对称，数学之美
图1例题 （2017年江苏17）如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1、F2，离心率为12，两准线之间的距离为8，点P在椭圆E上，且位于第一象限.过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.
（1） 求椭圆E的方程；
（2） 若直线l1、l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.
对于命题组提供的答案此处不作具体介绍.下面笔者利用图形的对称性给出如下分析：
第（1）问易得椭圆E：x24 y23=1（过程略）.
对于第（2）问，因为PF2⊥QF2，由圆的性质可知：点F1，F2在以PQ为直径的圆上.结合圆和椭圆的对称性可知，P，Q只可能出现以下两种情况：
图2第①种情形：P，Q在x轴的上方（如图2所示）.
由圆和椭圆的对称性可知，P，Q应该关于y轴对称，因此可设P（x，y），则Q（-x，y）.因为PF2⊥QF2，所以yx-1·y-x-1=-1，化简得：y2=x2-1.又点P在椭圆上，所以x24 y23=1，联立解得x=477，
y=377. 所以此时点P坐标为（477，377）.
第②种情形：P，Q在x轴的异侧（如图3所示） .
图3由圆和椭圆的对称性可知，P，Q应该关于原点对称，因此可设P（x，y），则Q（-x，-y），因为PF2⊥QF2，所以yx-1·-y-x-1=-1，化简得：y2=1-x2.又点P在椭圆上，所以x24 y23=1，所以x24 1-x23=1，化简得：x2=-8，方程无解.
综合①②可知满足题意的点P有且只有（477，377）一个，如果去掉象限限制，由对称性可知有四个点满足.
2 反思探究，层层推进
反思1 对于第②种P，Q在x轴的异侧的情形，是否所有的椭圆都不存在这样的点P满足题意呢？
探究1 一般化不妨设椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>b>0，c=a2-b2），
设P（x，y），则Q（-x，-y）.因为PF2⊥QF2，所以yx-c·-y-x-c=-1，化简得：y2=c2-x2.又点P在椭圆上，所以满足x2a2 y2b2=1，所以x2a2 c2-x2b2=1，
化简得：x2=a2（c2-b2）c2……（※）
如不考虑象限限制，显然有以下结果：
当c=b时，（※）式有一解，满足题意的点有两个；
当c>b时，（※）式有两解，满足题意的点有四個；
当c 而江苏的这道考题中c=1 反思2 对于第①种情形，化简之后点P满足y2=x2-1，即x2-y2=1，我们发现这是以椭圆的焦点为顶点的等轴双曲线的方程，从而点P即为此等轴双曲线与椭圆的交点.那么不禁联想：对于一般的椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>b>0，c=a2-b2）与以其焦点为顶点的等轴双曲线F：x2-y2=c2的交点是否都能够满足题意？
图4探究2 设P（x0，y0）为两曲线的交点，要证明点P满足题意，即证PF2⊥QF2（其中点Q为双曲线与椭圆的另一交点，且与点P关于y轴对称），故只需证明：y0x0-c·y0-x0-c=-1，化简后只需证明x20-y20=c2.又因为点P在双曲线F：x2-y2=c2上，所以x20-y20=c2显然成立，从而一般化的结果也成立.
3 揭开面纱，回归本源
在探究2的证明过程中，不难发现，只要点P在等轴双曲线F：x2-y2=c2上，点P就会满足PF2⊥QF2，于是我们有了如下漂亮的结论：
结论 点P，Q是等轴双曲线F：x2-y2=c2上关于y轴对称的两点（异于顶点），则以PQ为直径的圆必过双曲线的顶点A，B.
此结论的证明与探究2的证明类似，此处不再重复.
进一步，由双曲线的对称性可知kAP=-kBQ，结合之前的证明可知kBP·kBQ=-1，所以kBP·kAP=1，看到这一结果，我们很快联想到双曲线一个耳熟能详的结论.
图5本源 双曲线F：x2a2-y2b2=1上异于顶点A，B的点P满足：kBP·kAP=b2a2.
而此前的等轴双曲线的结论只不过是其特例罢了.
至此我们利用对称，层层推进，揭开了此道高考题的神秘面纱，回归本源.
4 总结回顾，反思提高
通过这道2017年江苏高考题的对称解法的欣赏以及其本源的探究，笔者认为我们在平时的教学过程中应该注重以下几点：
4.1 注重基本方法、基本能力的培养
事实上，对于本题命题组给出的参考答案以及笔者所教学生反馈的方法基本都是联立直线和椭圆方程，解到交点之后再代入椭圆方程，有一定的运算量.但这是最朴实的方法，也是绝大多数学生对这道题的第一反应.我们应该尊重自己的第一反应，因此教学时必须重视基本方法（通解通法）、基本能力（如运算能力）的培养.
4.2 注重分析能力，探究能力的培养
对于本文的例题，圆锥曲线对称性的利用，以及此题转化为要证明以PQ为直径的圆必过椭圆的焦点的发现，层层推进，揭示问题本质根源的过程，都需要我们在平时的教学过程中注意培养学生分析问题解决问题的能力，培养学生类比联想，转化化归的能力.我们应该鼓励学生拥有一颗质疑探究的心，激励学生拥有永不止步的勇气.长此以往，学生的综合数学素养必定会得到很大的提高.
正所谓：夯实基础，便可行遍天下路；插上思维的翅膀，我们定能展翅翱翔.
1 直观对称，数学之美
图1例题 （2017年江苏17）如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1、F2，离心率为12，两准线之间的距离为8，点P在椭圆E上，且位于第一象限.过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.
（1） 求椭圆E的方程；
（2） 若直线l1、l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.
对于命题组提供的答案此处不作具体介绍.下面笔者利用图形的对称性给出如下分析：
第（1）问易得椭圆E：x24 y23=1（过程略）.
对于第（2）问，因为PF2⊥QF2，由圆的性质可知：点F1，F2在以PQ为直径的圆上.结合圆和椭圆的对称性可知，P，Q只可能出现以下两种情况：
图2第①种情形：P，Q在x轴的上方（如图2所示）.
由圆和椭圆的对称性可知，P，Q应该关于y轴对称，因此可设P（x，y），则Q（-x，y）.因为PF2⊥QF2，所以yx-1·y-x-1=-1，化简得：y2=x2-1.又点P在椭圆上，所以x24 y23=1，联立解得x=477，
y=377. 所以此时点P坐标为（477，377）.
第②种情形：P，Q在x轴的异侧（如图3所示） .
图3由圆和椭圆的对称性可知，P，Q应该关于原点对称，因此可设P（x，y），则Q（-x，-y），因为PF2⊥QF2，所以yx-1·-y-x-1=-1，化简得：y2=1-x2.又点P在椭圆上，所以x24 y23=1，所以x24 1-x23=1，化简得：x2=-8，方程无解.
综合①②可知满足题意的点P有且只有（477，377）一个，如果去掉象限限制，由对称性可知有四个点满足.
2 反思探究，层层推进
反思1 对于第②种P，Q在x轴的异侧的情形，是否所有的椭圆都不存在这样的点P满足题意呢？
探究1 一般化不妨设椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>b>0，c=a2-b2），
设P（x，y），则Q（-x，-y）.因为PF2⊥QF2，所以yx-c·-y-x-c=-1，化简得：y2=c2-x2.又点P在椭圆上，所以满足x2a2 y2b2=1，所以x2a2 c2-x2b2=1，
化简得：x2=a2（c2-b2）c2……（※）
如不考虑象限限制，显然有以下结果：
当c=b时，（※）式有一解，满足题意的点有两个；
当c>b时，（※）式有两解，满足题意的点有四個；
当c 而江苏的这道考题中c=1 反思2 对于第①种情形，化简之后点P满足y2=x2-1，即x2-y2=1，我们发现这是以椭圆的焦点为顶点的等轴双曲线的方程，从而点P即为此等轴双曲线与椭圆的交点.那么不禁联想：对于一般的椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>b>0，c=a2-b2）与以其焦点为顶点的等轴双曲线F：x2-y2=c2的交点是否都能够满足题意？
图4探究2 设P（x0，y0）为两曲线的交点，要证明点P满足题意，即证PF2⊥QF2（其中点Q为双曲线与椭圆的另一交点，且与点P关于y轴对称），故只需证明：y0x0-c·y0-x0-c=-1，化简后只需证明x20-y20=c2.又因为点P在双曲线F：x2-y2=c2上，所以x20-y20=c2显然成立，从而一般化的结果也成立.
3 揭开面纱，回归本源
在探究2的证明过程中，不难发现，只要点P在等轴双曲线F：x2-y2=c2上，点P就会满足PF2⊥QF2，于是我们有了如下漂亮的结论：
结论 点P，Q是等轴双曲线F：x2-y2=c2上关于y轴对称的两点（异于顶点），则以PQ为直径的圆必过双曲线的顶点A，B.
此结论的证明与探究2的证明类似，此处不再重复.
进一步，由双曲线的对称性可知kAP=-kBQ，结合之前的证明可知kBP·kBQ=-1，所以kBP·kAP=1，看到这一结果，我们很快联想到双曲线一个耳熟能详的结论.
图5本源 双曲线F：x2a2-y2b2=1上异于顶点A，B的点P满足：kBP·kAP=b2a2.
而此前的等轴双曲线的结论只不过是其特例罢了.
至此我们利用对称，层层推进，揭开了此道高考题的神秘面纱，回归本源.
4 总结回顾，反思提高
通过这道2017年江苏高考题的对称解法的欣赏以及其本源的探究，笔者认为我们在平时的教学过程中应该注重以下几点：
4.1 注重基本方法、基本能力的培养
事实上，对于本题命题组给出的参考答案以及笔者所教学生反馈的方法基本都是联立直线和椭圆方程，解到交点之后再代入椭圆方程，有一定的运算量.但这是最朴实的方法，也是绝大多数学生对这道题的第一反应.我们应该尊重自己的第一反应，因此教学时必须重视基本方法（通解通法）、基本能力（如运算能力）的培养.
4.2 注重分析能力，探究能力的培养
对于本文的例题，圆锥曲线对称性的利用，以及此题转化为要证明以PQ为直径的圆必过椭圆的焦点的发现，层层推进，揭示问题本质根源的过程，都需要我们在平时的教学过程中注意培养学生分析问题解决问题的能力，培养学生类比联想，转化化归的能力.我们应该鼓励学生拥有一颗质疑探究的心，激励学生拥有永不止步的勇气.长此以往，学生的综合数学素养必定会得到很大的提高.
正所谓：夯实基础，便可行遍天下路；插上思维的翅膀，我们定能展翅翱翔.