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摘要：低小慢目标的有效检测和跟踪是雷达领域目前的热点问题。本文是基于RFT和AMF融合聚焦的雷达弱小目标检测的续篇，重点研究脉冲多普勒（Pulse Doppler，PD）雷达对典型无人机的跟踪问题。跟踪算法的实现步骤主要包括三步：首先进行点迹凝聚和帧间加速度估计的预处理;其次利用标记多伯努利（Labeled Multi-Bernoulli，LMB）平滑器实现多目标跟踪;最后在轨迹连续性判断和有效轨迹提取后输出目标的最终轨迹。LMB平滑器可以得到目标平滑后的轨迹，提高距离和速度的估计精度。轨迹连续性判断和有效轨迹提取，可以有效克服速度抖动引起的断裂轨迹和速度模糊引起的虚假轨迹问题。应用本文算法处理多个测试数据的综合得分率为96.67%，从而验证了算法的有效性和稳健性。
关键词： 脉冲多普勒雷达;轨迹连续性判断;标记多伯努利;滤波平滑;目标跟踪
中图分类号：TJ765.4; TN957.51 文献标识码： A 文章编号： 1673-5048（2021）02-0080-06
0 引 言
随着无人机、空飘气球等低小慢目标的不断增加，使现有雷达对目标的检测难度越来越大[1] ，因此对防空预警构成严重威胁。这类目标对雷达发射电磁波的后向散射较弱，导致雷达获取信号的信噪比大大降低，雷达的探测性能也随之大幅下降，多个飞行器的同时出动也考验着雷达的多目标跟踪能力。本文应用第二届“空天杯”雷达弱小目标检测跟踪问题，测试数据中存在弱小目标和强目标，将弱小目标称为小目标，强目标称为大目标。
文中多个目标为非合作目标，目标个数未知且可能存在个数的变化，获取的观测可能存在漏检或者虚警，研究难点在于如何有效实现这种复杂环境下的多目标跟踪[2]。
对于复杂场景中的多目标跟踪问题，主要的多目标跟踪方法有联合概率数据关联（Joint Probabilistic Data Association，JPDA）方法[3]、多假设跟踪（Multiple Hypothesis Tracking，MHT）方法[4]和基于随机有限集（Random Finite Set，RFS）的跟踪方法[2]三大类。JPDA方法和MHT方法容易因为关联错误而导致跟踪性能下降。基于RFS的方法把目标的状态和量测建模成随机有限集，随机有限集可表示目标的新生、存活和消亡等状态信息，也可以表示检测、虚警和漏检等量测信息，因此一经提出便成为研究热点。基于RFS的跟踪方法有概率假设密度（Probability Hypothesis Density，PHD）滤波器[5]、势PHD（Cardinalized PHD，CPHD）滤波器[6]、势均衡多伯努利（Cardinality-Balanced Multi-Bernoulli，CBMeMBer）滤波器[7]、通用标记多伯努利（Generalized Labeled Multi-Bernoulli，GLMB）滤波器[8]和LMB滤波器[9]等。LMB滤波器可以高效输出目标的连续轨迹，因此具有较大的应用价值。
本文在LMB滤波器的基础上，增加后向平滑[10-11]，该方法可以有效剔除滤波后的异常点，输出平滑的估计轨迹，从而进一步提高跟踪精度。LMB平滑滤波之前，需要作预处理，通过帧内点迹凝聚减少散焦及目标扩展的影响和帧间加速度估计提高跟踪滤波的精度和收敛速度。另外，由于小目标的信噪比较低，检测可能不稳定，在LMB平滑滤波后，容易出现轨迹断裂和虚假轨迹的问题，因此需要作后处理。可以先进行轨迹的连续性判断，连接目标对应的多段断裂轨迹，然后进行有效轨迹提取，剔除虚假轨迹，得到最终的输出轨迹。
1 基于LMB平滑器的目标轨迹提取算法
前期检测存在的问题有：数据中小目标的信噪比较低，使得检测结果存在漏检和虚警;目标的加速度有时较大，目标速度估计不稳定，使得检测结果的波动范围比较大;雷达的波门开启时间存在跳变，使得检测结果有可能出现奇异值。目标的速度、距离估计精度要求较高，仅利用滤波器无法获取较好的跟踪性能。本节利用LMB平滑器[10-11]来实现对已检测目标的跟踪。LMB平滑器或者LMB滤波器[9]适合于目标数目未知可变、量测存在漏检与虚警、数据关联不确定等复杂多目标跟踪问题。LMB平滑器相较于LMB滤波器更适合这种复杂场景，其可以输出平滑轨迹、跟踪精度更高。具体跟踪流程如图1所示。
1.1 点迹凝聚（帧内处理）
点迹凝聚是指将一帧数据中距离和速度值靠近的点凝聚成一个量测点。点迹凝聚的原因如下：一方面，目标为固定翼的无人机，雷达与无人机的距离不够远，目标在距离多普勒图像上的距离维和多普勒维都存在一定的扩散;另一方面，小目标加速度比较大，检测时可能存在跨多普勒单元的散焦。因此，单个目标经过CFAR检测后一般存在多个量测值。在应用中，不需要知道目标的形状，来自同一个目标的量测值在距离和速度上都比较接近，因此可以将这些靠近的量测值按信噪比加权为一个量测值。该处理可以有效减少量测的数目，提高跟踪的效率。
1.2 帧间加速度估计
帧间加速度指的是利用多帧数据估计出粗略的加速度作为跟踪的加速度初值。应用时，场景中存在大目标和小目标，对于小目标的检测和跟踪有一定的难度：一方面，小目标能量较弱，采用常规方法检测效果不理想，采用本文提出的方法可较好估计出距离和速度信息，可进一步在检测阶段估计出目标的加速度信息，然而由于小目标的信噪比较低，估计效果不理想;另一方面，小目标的加速度有时较大，假设只利用距离和速度信息，不估计加速度，則在跟踪起始时的加速度，要么设置为一定范围内的均匀分布，这时跟踪所需粒子的数目急剧上升，跟踪的速度下降;要么设置为0，这时需要设置较大的过程噪声才能保证跟踪过程不产生发散，且过程噪声太大会引起速度估计的准确度降低。 若能估计出加速度作为跟踪起始的初值，可有效提高速度和距离的估计精度。为解决这一问题，利用算法先检测后跟踪的优势，在跟踪的预处理阶段，采用检测后的多帧数据进行加速度的粗略估计。
算法原理如下：先在多帧数据间寻找有效的连续轨迹（寻找连续轨迹得以实现的前提是虚警概率不高），利用最小二乘法[12]估计出该轨迹的加速度，然后将加速度加到量测信息上，以用作目标新生时的初始值。
假设从k时刻起，寻找的一条轨迹为Z=[r（k）v（k），r（t1）v（t1），…，r（tN）v（tN）]Τ，则距离、速度和加速度满足如下：
因此，可以估计出a^（k）=θ^（3）。σ2r和σ2v分别为距离和速度的方差。对k时刻的所有量测进行遍历，若寻得的轨迹为有效轨迹，则估计加速度（有效轨迹的判定原则是其轨迹长度高于设定的门限值）;若被认为是无效轨迹，则加速度设置为0。
1.3 LMB平滑滤波
标记多目标状态可表示为X={x1，…，xi，…，x|X|}，xi=（xi，li）为标记单目标状态，li为目标xi的标记，|X|表示多目标状态的势（或者目标个数），X X×L，X和L分别为状态空间和标记空间。
若X服从LMB分布[9]，则其密度函数可表示为
π（X）=Δ（X）ω（L（X））pX（4）
其中，映射L： X × L→ L使得L（x，l）=l，L（X）{l：（x，l）∈X}，Δ（X）=δ|X|（|L（X）|）定义为不同标记的指示函数，当X中的标记都不同时，Δ（X）=1;若X≠，则pX=∏x∈Xp（x，l），p（x，l）为目标x的概率密度函数，若X=，则pX=1。 假设权值ω（L（X））可表示为
ω（L（X））=∏l∈L（1-rl）∏l∈L（X）1L（l）rl1-rl （5）
1L（l）为包含函数，当l∈L时，1L（l）=1，否则，等于0。rl表示标记为l的目标x的存在概率，l∈L。LMB分布密度函数的等效参数形式可表示为
π={（rl，pl）}l∈L （6）
LMB平滑器由前向滤波和后向平滑组成。前向滤波是标准的LMB滤波器[9]，包含预测和更新过程，在此不再赘述。下面主要介绍后向平滑过程。
1.3.1 后向平滑
假设前向滤波到t时刻，从t时刻到k时刻（k<t）的后向平滑密度为πk/t（Y），从t时刻到k-1时刻后向平滑密度为πk-1/t（X）。由LMB前向滤波知，πk-1/k-1（X）和πk/k-1（Y）服从LMB分布。若πk/t（Y）服从LMB分布，则πk-1/t（X）仍然服从LMB分布，πk-1/t（X）可表示为[10-11]
πk-1/t={（rlk-1/t，pk-1/t（x，l））}l∈L （7）
其中，
rlk-1/t=1-（1-rlk-1/k-1）（1-rlk/t）（1-rlk/k-1）（8）
pk-1/t（x，l）=pk-1/k-1（x，l）αs，k/t（x，l）+∫βs，k/t（x，l）fk/k-1（y|x，l）pk/t（y，l）pk/k-1（y，l） dy∫pk-1/k-1（x，l）αs，k/t（x，l）+∫βs，k/t（x，l）fk/k-1（y|x，l）pk/t（y，l）pk/k-1（y，l） dydx （9）
式中：αs，k/t（x，l）和βs，k/t（x，l）定義为
αs，k/t（x，l）（1-rlk/t）（1-ps，k/k-1（x，l））（1-rlk/k-1） （10）
βs，k/t（x，l）rlk/tps，k/k-1（x，l）rlk/k-1（11）
1.3.2 LMB平滑器的实现
采用序贯蒙特卡洛（SMC）即粒子滤波的实现方式来实现LMB平滑器。
状态转移方程：由于小目标有比较大的加速度，考虑离散的加速度模型作为状态转移方程，单个目标的状态变量xt=（xt，lt），其中，xt=[pt，p·t，p¨t]T表示目标的距离、径向速度和径向加速度。状态转移方程为
xt=Fxt-1+Gwt-1（12）
其中，wt-1为xt的状态噪声，wt-1～N（w; 0，σ2w），状态转移矩阵F、噪声变换矩阵G分别为
F=1TT2201T001 （13）
G=T22T1Τ （14）
采样周期T由脉冲积累时间决定，当脉冲积累时间为800个脉冲时，T=0.025 s;当脉冲积累时间为1 600个脉冲时，T=0.05 s。当T=0.025 s，通过对数据的测试，每个时间步的过程噪声标准差可设置为σw=0.5，目标的存活概率可设置为ps=0.99。
量测为含噪声的距离和速度，量测方程为
zk=[rk，vk]T+εk（15）
量测噪声为εk～N（·; 0，Pε），Pε=diag（σ2r，σ2v） ，统计距离和速度大致的方差，可知σr≈1.875 m，σv≈0.23 m/s，目标的检测概率大致为pD=0.9。观测场景的距离范围为1.875×319≈598 m，速度不超过120 m/s，考虑波门开启时间的波动并保留一定冗余，观测区域设置为 [r1-50，r2+650] m×[-120，120] m/s，其中，r1和r2为波门开启时间对应的距离上限和下限。每次前向滤波对应的后向平滑步数为5步。 量测驱动新生：应用中跟踪的目标是非合作目标，没有目标出生位置的先验信息，量测由目标或者杂波产生，目标在量测的附近，可以由量测反演出目标出生的信息，即所谓的量测驱动新生（或称自适应新生）。
本文采用量测驱动新生，假设目标新生分布服从LMB分布，该LMB分布的每个分量服从高斯分布。参照文献[9]，t时刻的LMB新生分布决定于t-1时刻的量测Zt-1，每个分量对应t-1时刻的一个量测值，新生分布可以写为
πB，t={（rlB，t（z），plB，t（x|z））}l∈B （16）
其中，rlB，t（z）表示量测z（z∈Zt-1）对应的新生目标l的新生概率，plB，t（x|z）表示相应的概率密度，|B|=|Zt-1| 表示假设分量的个数。对于量测驱动的新生，一方面，一个量测如果已经和很多假设关联，即其已被存活的目标所关联，很可能不会再驱动新生，因为一个量测最多对应一个目标;另一方面，一个量测如果没有包含在任何假设中，其更可能驱动一个目标新生。因此，量测z与假设的关联概率rU，t-1（z）越大，则该量测驱动目标新生的概率越小。量测z的关联概率为
rU，t-1（z）=∑（I，θ）∈F（L）×θI1θ（z）ω（I，θ）t-1/t-1 （17）
其中，1θ（z）判断一个假设权值是否与量测z关联。若关联，则把该权值加入关联概率;若量测z没有与任何假设关联，则rU，t-1（z）=0。量测z对应分量的新生概率可以定义为
rlB，t（z）minrB，max，（1-rU，t-1（z））λB，t∑ξ∈Zt-11-rU，t-1（ξ） （18）
其中，rB，max为设置的新生概率的最大值;λB，t为t时刻期望的目标出生数目。根据给定的测试数据，可设置rB，max=0.01，λB，t=0.02。plB，t（x|z）服从高斯分布，均值为z，方差可由量测噪声和过程噪声确定。
1.4 有效轨迹提取
由于在给定目标速度范围内，目标的速度会存在一次模糊，这导致检测后的量测在模糊速度对应的位置存在虚假轨迹（“鬼影”）。跟踪时，虚假轨迹的距离、速度不匹配，不能形成连续的轨迹。不过，由于虚假轨迹的分布并不符合一般的假设分布，即虚警数目符合泊松分布，空间分布符合均匀分布，滤波后仍会形成很多条短的虚假轨迹，因此需要进行有效轨迹的提取。
采用LMB滤波平滑时，每条轨迹都带有标记，可以从估计值中提取出每个标记对应的轨迹，若输出轨迹的长度大于一定门限，认为是有效轨迹，短小轨迹被剔除。另外，设置了最大的轨迹数，滤波估计的轨迹数目大于最大轨迹数时，较短的轨迹将被剔除。
在有效轨迹提取时也有可能将真实轨迹给剔除。因为大目标的速度估计抖动较大（如从40 m/s抖动到42 m/s），使得估计的轨迹容易断裂，从而产生类似虚假轨迹一样的短轨迹，使得在有效轨迹提取时，将真实目标的短轨迹也一并剔除。因此在有效轨迹提取之前，需要进行轨迹连续性判断（或者称为小轨迹关联[13]），将断裂的轨迹先连接起来，然后再进行有效轨迹提取。
轨迹连续性判断依据的是距离、速度及时间的匹配关系。如图2（a），轨迹1存在于第1～5个时刻，轨迹2存在于第2～7个时刻，轨迹3存在于第2～3个时刻，轨迹4存在于第8～20个时刻，轨迹5存在于第8～20个时刻。从时间上看，轨迹1、轨迹2和轨迹3有可能与轨迹4或者轨迹5来源于同一个目标，然后通过距离、速度和加速度的关系判断，轨迹1和轨迹4来源于同一個目标，轨迹2和轨迹5来源于同一个目标，轨迹3是虚假轨迹被剔除。轨迹连续性判断后，可以得到图2（b）。
2 数据处理结果
2.1 跟踪结果
以测试数据1为例，数据长度为2 s，25 ms的相干积累时长，数据被分为80个时间点。图3给出了量测和LMB平滑器的估计值结果，“×”表示量测值，不同颜色
的点表示不同的轨迹。量测是CFAR检测值经过点迹凝
聚后得到的;估计值是LMB平滑器的滤波输出值。大目标和小目标模糊速度对应的位置有较多虚警，由于速度和距离失配，形成了很多短轨迹。
图4给出了输出轨迹和真值的结果。输出轨迹是在轨迹连续性判断和有效轨迹提取后的最终输出结果，在输出时作了抽取（从25 ms输出一次变为50 ms输出一次）。从图3到图4进行了轨迹连续性判断操作，将断裂的大目标轨迹给连接起来，并且进行了有效轨迹的提取，把模糊速度产生的短轨迹给剔除，从而形成了最终的输出轨迹。
图5为大目标量测和估计值的放大图，两个虚线矩形框中分别表示大目标的断裂轨迹和虚警轨迹。图6为大目标输出轨迹和真值的放大图。比较图5和图6，可更加清晰地看出断裂的大目标轨迹被轨迹连续性判断操作连接了起来，并且通过有效轨迹的提取将短轨迹进行了剔除。
LMB平滑器输出轨迹的距离、速度、加速度随时间变化的关系如图7。真值距离和速度随时间变化的关系如图8。输出轨迹和真值的距离、速度误差随时间变化关系如图9。由图9可知，数据1中两个目标的距离、速度误差大部分落在给定的精度范围之内，其中，大目标起始时存在3个漏检，这主要是由于大目标的速度抖动引起的;小目标的距离、速度误差都在给定的精度要求内。
对于数据2～6，分析过程类似，这里仅给出LMB平滑器输出轨迹与真值的距离、速度误差图，如图10所示。
2.2 得分情况
输出结果的误差统计见表1，其中，情况1为正确检测且精度满足要求（±5 m×±0.12 m/s之内），得1分;情况2为正确检测但估计精度不满足要求（±5 m×±0.12 m/s之外，±10 m×±0.5 m/s之内），得0分;情况3为漏检（±10 m×±0.5 m/s之内没有检出目标），得-1分;情况4为虚警（±10 m×±0.5 m/s之外检出有目标），得-2分。 从输出结果的误差统计表中，可以得到所有测试数据的总得分为465分，总分为480分，因此可计算出得分率为465/480=96.67%。对于大目标，虽然目标速度整体比较平稳，但是存在速度突然抖动的问题，导致实际的检测概率降低（抖動后的值可以看作虚警），轨迹容易断裂，从而出现漏检和速度不满足要求的情况。对于小目标，虽然目标加速度比较大，但是其轨迹整体比较平稳，本文算法可以有效对其进行检测跟踪，可以稳定地输出两个目标的轨迹。
3 结 论
针对雷达弱小目标的跟踪问题，本文设计了一套完整的跟踪算法。其优势在于：第一，应用的LMB平滑器可以输出目标平滑后的轨迹，提高了距离和速度估计的精度。第二，轨迹连续性判断和有效轨迹提取，可以有效克服速度抖动和速度模糊引起的轨迹断裂和虚假轨迹的问题。本文算法对测试数据的得分可达到总分的96.67%。
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Zhu Youqing. Research on Tracking Techniques of Multiple Radar Emitter Targets Based on PHD Filter[D]. Changsha： National University of Defense Technology，2015. （in Chinese） Radar Weak Target Tracking Based on LMB Smoothing
Liang Pu，Liu Rang*，Chen Xing，Shang Zheran，Yi Tianzhu，Lu Dawei
（College of Electronic Science，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）
Abstract： The effective detection and tracking of low，small and slow targets is a current hot issue in the radar field. The paper is a sequel to radar weak target detection based on RFT and AMF fusion focus，and concentrates on the tracking of typical UAVs by pulse Doppler radar. The implementations of tracking algorithm mainly include： first，the preprocessing of the plots centroid processing and the multi-frame acceleration estimation has been applied. Then the labeled multi-Bernoulli （LMB） smoother is used for the multi-target tracking. Finally，
the final trajectories of targets are output after trajectory continuity judgment and effective trajectory extraction. The LMB smoother can output the smoothed trajectories of targets，therefore，improving the estimation accuracy of distance and velocity. Trajectory continuity judgment and effective track extraction can effectively overcome the problems of breaking trajectory caused by velocity jitter and false trajectory caused by velocity ambiguity. The comprehensive score rate to process multiple test data is 96.67%，which verifies the effectiveness and robustness of the proposed tracking algorithm.
Key words： pulse Doppler radar; trajectory continuity judgment; LMB; filtering smooth; target tracking
收稿日期：2019-10-14
作者簡介：梁璞（1996-），男，山东聊城人，硕士研究生，研究方向为自动目标识别。
通讯作者： 刘让（1990-），男，湖南耒阳人，博士研究生，研究方向为随机集与贝叶斯估计，雷达目标跟踪。
关键词： 脉冲多普勒雷达;轨迹连续性判断;标记多伯努利;滤波平滑;目标跟踪
中图分类号：TJ765.4; TN957.51 文献标识码： A 文章编号： 1673-5048（2021）02-0080-06
0 引 言
随着无人机、空飘气球等低小慢目标的不断增加，使现有雷达对目标的检测难度越来越大[1] ，因此对防空预警构成严重威胁。这类目标对雷达发射电磁波的后向散射较弱，导致雷达获取信号的信噪比大大降低，雷达的探测性能也随之大幅下降，多个飞行器的同时出动也考验着雷达的多目标跟踪能力。本文应用第二届“空天杯”雷达弱小目标检测跟踪问题，测试数据中存在弱小目标和强目标，将弱小目标称为小目标，强目标称为大目标。
文中多个目标为非合作目标，目标个数未知且可能存在个数的变化，获取的观测可能存在漏检或者虚警，研究难点在于如何有效实现这种复杂环境下的多目标跟踪[2]。
对于复杂场景中的多目标跟踪问题，主要的多目标跟踪方法有联合概率数据关联（Joint Probabilistic Data Association，JPDA）方法[3]、多假设跟踪（Multiple Hypothesis Tracking，MHT）方法[4]和基于随机有限集（Random Finite Set，RFS）的跟踪方法[2]三大类。JPDA方法和MHT方法容易因为关联错误而导致跟踪性能下降。基于RFS的方法把目标的状态和量测建模成随机有限集，随机有限集可表示目标的新生、存活和消亡等状态信息，也可以表示检测、虚警和漏检等量测信息，因此一经提出便成为研究热点。基于RFS的跟踪方法有概率假设密度（Probability Hypothesis Density，PHD）滤波器[5]、势PHD（Cardinalized PHD，CPHD）滤波器[6]、势均衡多伯努利（Cardinality-Balanced Multi-Bernoulli，CBMeMBer）滤波器[7]、通用标记多伯努利（Generalized Labeled Multi-Bernoulli，GLMB）滤波器[8]和LMB滤波器[9]等。LMB滤波器可以高效输出目标的连续轨迹，因此具有较大的应用价值。
本文在LMB滤波器的基础上，增加后向平滑[10-11]，该方法可以有效剔除滤波后的异常点，输出平滑的估计轨迹，从而进一步提高跟踪精度。LMB平滑滤波之前，需要作预处理，通过帧内点迹凝聚减少散焦及目标扩展的影响和帧间加速度估计提高跟踪滤波的精度和收敛速度。另外，由于小目标的信噪比较低，检测可能不稳定，在LMB平滑滤波后，容易出现轨迹断裂和虚假轨迹的问题，因此需要作后处理。可以先进行轨迹的连续性判断，连接目标对应的多段断裂轨迹，然后进行有效轨迹提取，剔除虚假轨迹，得到最终的输出轨迹。
1 基于LMB平滑器的目标轨迹提取算法
前期检测存在的问题有：数据中小目标的信噪比较低，使得检测结果存在漏检和虚警;目标的加速度有时较大，目标速度估计不稳定，使得检测结果的波动范围比较大;雷达的波门开启时间存在跳变，使得检测结果有可能出现奇异值。目标的速度、距离估计精度要求较高，仅利用滤波器无法获取较好的跟踪性能。本节利用LMB平滑器[10-11]来实现对已检测目标的跟踪。LMB平滑器或者LMB滤波器[9]适合于目标数目未知可变、量测存在漏检与虚警、数据关联不确定等复杂多目标跟踪问题。LMB平滑器相较于LMB滤波器更适合这种复杂场景，其可以输出平滑轨迹、跟踪精度更高。具体跟踪流程如图1所示。
1.1 点迹凝聚（帧内处理）
点迹凝聚是指将一帧数据中距离和速度值靠近的点凝聚成一个量测点。点迹凝聚的原因如下：一方面，目标为固定翼的无人机，雷达与无人机的距离不够远，目标在距离多普勒图像上的距离维和多普勒维都存在一定的扩散;另一方面，小目标加速度比较大，检测时可能存在跨多普勒单元的散焦。因此，单个目标经过CFAR检测后一般存在多个量测值。在应用中，不需要知道目标的形状，来自同一个目标的量测值在距离和速度上都比较接近，因此可以将这些靠近的量测值按信噪比加权为一个量测值。该处理可以有效减少量测的数目，提高跟踪的效率。
1.2 帧间加速度估计
帧间加速度指的是利用多帧数据估计出粗略的加速度作为跟踪的加速度初值。应用时，场景中存在大目标和小目标，对于小目标的检测和跟踪有一定的难度：一方面，小目标能量较弱，采用常规方法检测效果不理想，采用本文提出的方法可较好估计出距离和速度信息，可进一步在检测阶段估计出目标的加速度信息，然而由于小目标的信噪比较低，估计效果不理想;另一方面，小目标的加速度有时较大，假设只利用距离和速度信息，不估计加速度，則在跟踪起始时的加速度，要么设置为一定范围内的均匀分布，这时跟踪所需粒子的数目急剧上升，跟踪的速度下降;要么设置为0，这时需要设置较大的过程噪声才能保证跟踪过程不产生发散，且过程噪声太大会引起速度估计的准确度降低。 若能估计出加速度作为跟踪起始的初值，可有效提高速度和距离的估计精度。为解决这一问题，利用算法先检测后跟踪的优势，在跟踪的预处理阶段，采用检测后的多帧数据进行加速度的粗略估计。
算法原理如下：先在多帧数据间寻找有效的连续轨迹（寻找连续轨迹得以实现的前提是虚警概率不高），利用最小二乘法[12]估计出该轨迹的加速度，然后将加速度加到量测信息上，以用作目标新生时的初始值。
假设从k时刻起，寻找的一条轨迹为Z=[r（k）v（k），r（t1）v（t1），…，r（tN）v（tN）]Τ，则距离、速度和加速度满足如下：
因此，可以估计出a^（k）=θ^（3）。σ2r和σ2v分别为距离和速度的方差。对k时刻的所有量测进行遍历，若寻得的轨迹为有效轨迹，则估计加速度（有效轨迹的判定原则是其轨迹长度高于设定的门限值）;若被认为是无效轨迹，则加速度设置为0。
1.3 LMB平滑滤波
标记多目标状态可表示为X={x1，…，xi，…，x|X|}，xi=（xi，li）为标记单目标状态，li为目标xi的标记，|X|表示多目标状态的势（或者目标个数），X X×L，X和L分别为状态空间和标记空间。
若X服从LMB分布[9]，则其密度函数可表示为
π（X）=Δ（X）ω（L（X））pX（4）
其中，映射L： X × L→ L使得L（x，l）=l，L（X）{l：（x，l）∈X}，Δ（X）=δ|X|（|L（X）|）定义为不同标记的指示函数，当X中的标记都不同时，Δ（X）=1;若X≠，则pX=∏x∈Xp（x，l），p（x，l）为目标x的概率密度函数，若X=，则pX=1。 假设权值ω（L（X））可表示为
ω（L（X））=∏l∈L（1-rl）∏l∈L（X）1L（l）rl1-rl （5）
1L（l）为包含函数，当l∈L时，1L（l）=1，否则，等于0。rl表示标记为l的目标x的存在概率，l∈L。LMB分布密度函数的等效参数形式可表示为
π={（rl，pl）}l∈L （6）
LMB平滑器由前向滤波和后向平滑组成。前向滤波是标准的LMB滤波器[9]，包含预测和更新过程，在此不再赘述。下面主要介绍后向平滑过程。
1.3.1 后向平滑
假设前向滤波到t时刻，从t时刻到k时刻（k<t）的后向平滑密度为πk/t（Y），从t时刻到k-1时刻后向平滑密度为πk-1/t（X）。由LMB前向滤波知，πk-1/k-1（X）和πk/k-1（Y）服从LMB分布。若πk/t（Y）服从LMB分布，则πk-1/t（X）仍然服从LMB分布，πk-1/t（X）可表示为[10-11]
πk-1/t={（rlk-1/t，pk-1/t（x，l））}l∈L （7）
其中，
rlk-1/t=1-（1-rlk-1/k-1）（1-rlk/t）（1-rlk/k-1）（8）
pk-1/t（x，l）=pk-1/k-1（x，l）αs，k/t（x，l）+∫βs，k/t（x，l）fk/k-1（y|x，l）pk/t（y，l）pk/k-1（y，l） dy∫pk-1/k-1（x，l）αs，k/t（x，l）+∫βs，k/t（x，l）fk/k-1（y|x，l）pk/t（y，l）pk/k-1（y，l） dydx （9）
式中：αs，k/t（x，l）和βs，k/t（x，l）定義为
αs，k/t（x，l）（1-rlk/t）（1-ps，k/k-1（x，l））（1-rlk/k-1） （10）
βs，k/t（x，l）rlk/tps，k/k-1（x，l）rlk/k-1（11）
1.3.2 LMB平滑器的实现
采用序贯蒙特卡洛（SMC）即粒子滤波的实现方式来实现LMB平滑器。
状态转移方程：由于小目标有比较大的加速度，考虑离散的加速度模型作为状态转移方程，单个目标的状态变量xt=（xt，lt），其中，xt=[pt，p·t，p¨t]T表示目标的距离、径向速度和径向加速度。状态转移方程为
xt=Fxt-1+Gwt-1（12）
其中，wt-1为xt的状态噪声，wt-1～N（w; 0，σ2w），状态转移矩阵F、噪声变换矩阵G分别为
F=1TT2201T001 （13）
G=T22T1Τ （14）
采样周期T由脉冲积累时间决定，当脉冲积累时间为800个脉冲时，T=0.025 s;当脉冲积累时间为1 600个脉冲时，T=0.05 s。当T=0.025 s，通过对数据的测试，每个时间步的过程噪声标准差可设置为σw=0.5，目标的存活概率可设置为ps=0.99。
量测为含噪声的距离和速度，量测方程为
zk=[rk，vk]T+εk（15）
量测噪声为εk～N（·; 0，Pε），Pε=diag（σ2r，σ2v） ，统计距离和速度大致的方差，可知σr≈1.875 m，σv≈0.23 m/s，目标的检测概率大致为pD=0.9。观测场景的距离范围为1.875×319≈598 m，速度不超过120 m/s，考虑波门开启时间的波动并保留一定冗余，观测区域设置为 [r1-50，r2+650] m×[-120，120] m/s，其中，r1和r2为波门开启时间对应的距离上限和下限。每次前向滤波对应的后向平滑步数为5步。 量测驱动新生：应用中跟踪的目标是非合作目标，没有目标出生位置的先验信息，量测由目标或者杂波产生，目标在量测的附近，可以由量测反演出目标出生的信息，即所谓的量测驱动新生（或称自适应新生）。
本文采用量测驱动新生，假设目标新生分布服从LMB分布，该LMB分布的每个分量服从高斯分布。参照文献[9]，t时刻的LMB新生分布决定于t-1时刻的量测Zt-1，每个分量对应t-1时刻的一个量测值，新生分布可以写为
πB，t={（rlB，t（z），plB，t（x|z））}l∈B （16）
其中，rlB，t（z）表示量测z（z∈Zt-1）对应的新生目标l的新生概率，plB，t（x|z）表示相应的概率密度，|B|=|Zt-1| 表示假设分量的个数。对于量测驱动的新生，一方面，一个量测如果已经和很多假设关联，即其已被存活的目标所关联，很可能不会再驱动新生，因为一个量测最多对应一个目标;另一方面，一个量测如果没有包含在任何假设中，其更可能驱动一个目标新生。因此，量测z与假设的关联概率rU，t-1（z）越大，则该量测驱动目标新生的概率越小。量测z的关联概率为
rU，t-1（z）=∑（I，θ）∈F（L）×θI1θ（z）ω（I，θ）t-1/t-1 （17）
其中，1θ（z）判断一个假设权值是否与量测z关联。若关联，则把该权值加入关联概率;若量测z没有与任何假设关联，则rU，t-1（z）=0。量测z对应分量的新生概率可以定义为
rlB，t（z）minrB，max，（1-rU，t-1（z））λB，t∑ξ∈Zt-11-rU，t-1（ξ） （18）
其中，rB，max为设置的新生概率的最大值;λB，t为t时刻期望的目标出生数目。根据给定的测试数据，可设置rB，max=0.01，λB，t=0.02。plB，t（x|z）服从高斯分布，均值为z，方差可由量测噪声和过程噪声确定。
1.4 有效轨迹提取
由于在给定目标速度范围内，目标的速度会存在一次模糊，这导致检测后的量测在模糊速度对应的位置存在虚假轨迹（“鬼影”）。跟踪时，虚假轨迹的距离、速度不匹配，不能形成连续的轨迹。不过，由于虚假轨迹的分布并不符合一般的假设分布，即虚警数目符合泊松分布，空间分布符合均匀分布，滤波后仍会形成很多条短的虚假轨迹，因此需要进行有效轨迹的提取。
采用LMB滤波平滑时，每条轨迹都带有标记，可以从估计值中提取出每个标记对应的轨迹，若输出轨迹的长度大于一定门限，认为是有效轨迹，短小轨迹被剔除。另外，设置了最大的轨迹数，滤波估计的轨迹数目大于最大轨迹数时，较短的轨迹将被剔除。
在有效轨迹提取时也有可能将真实轨迹给剔除。因为大目标的速度估计抖动较大（如从40 m/s抖动到42 m/s），使得估计的轨迹容易断裂，从而产生类似虚假轨迹一样的短轨迹，使得在有效轨迹提取时，将真实目标的短轨迹也一并剔除。因此在有效轨迹提取之前，需要进行轨迹连续性判断（或者称为小轨迹关联[13]），将断裂的轨迹先连接起来，然后再进行有效轨迹提取。
轨迹连续性判断依据的是距离、速度及时间的匹配关系。如图2（a），轨迹1存在于第1～5个时刻，轨迹2存在于第2～7个时刻，轨迹3存在于第2～3个时刻，轨迹4存在于第8～20个时刻，轨迹5存在于第8～20个时刻。从时间上看，轨迹1、轨迹2和轨迹3有可能与轨迹4或者轨迹5来源于同一个目标，然后通过距离、速度和加速度的关系判断，轨迹1和轨迹4来源于同一個目标，轨迹2和轨迹5来源于同一个目标，轨迹3是虚假轨迹被剔除。轨迹连续性判断后，可以得到图2（b）。
2 数据处理结果
2.1 跟踪结果
以测试数据1为例，数据长度为2 s，25 ms的相干积累时长，数据被分为80个时间点。图3给出了量测和LMB平滑器的估计值结果，“×”表示量测值，不同颜色
的点表示不同的轨迹。量测是CFAR检测值经过点迹凝
聚后得到的;估计值是LMB平滑器的滤波输出值。大目标和小目标模糊速度对应的位置有较多虚警，由于速度和距离失配，形成了很多短轨迹。
图4给出了输出轨迹和真值的结果。输出轨迹是在轨迹连续性判断和有效轨迹提取后的最终输出结果，在输出时作了抽取（从25 ms输出一次变为50 ms输出一次）。从图3到图4进行了轨迹连续性判断操作，将断裂的大目标轨迹给连接起来，并且进行了有效轨迹的提取，把模糊速度产生的短轨迹给剔除，从而形成了最终的输出轨迹。
图5为大目标量测和估计值的放大图，两个虚线矩形框中分别表示大目标的断裂轨迹和虚警轨迹。图6为大目标输出轨迹和真值的放大图。比较图5和图6，可更加清晰地看出断裂的大目标轨迹被轨迹连续性判断操作连接了起来，并且通过有效轨迹的提取将短轨迹进行了剔除。
LMB平滑器输出轨迹的距离、速度、加速度随时间变化的关系如图7。真值距离和速度随时间变化的关系如图8。输出轨迹和真值的距离、速度误差随时间变化关系如图9。由图9可知，数据1中两个目标的距离、速度误差大部分落在给定的精度范围之内，其中，大目标起始时存在3个漏检，这主要是由于大目标的速度抖动引起的;小目标的距离、速度误差都在给定的精度要求内。
对于数据2～6，分析过程类似，这里仅给出LMB平滑器输出轨迹与真值的距离、速度误差图，如图10所示。
2.2 得分情况
输出结果的误差统计见表1，其中，情况1为正确检测且精度满足要求（±5 m×±0.12 m/s之内），得1分;情况2为正确检测但估计精度不满足要求（±5 m×±0.12 m/s之外，±10 m×±0.5 m/s之内），得0分;情况3为漏检（±10 m×±0.5 m/s之内没有检出目标），得-1分;情况4为虚警（±10 m×±0.5 m/s之外检出有目标），得-2分。 从输出结果的误差统计表中，可以得到所有测试数据的总得分为465分，总分为480分，因此可计算出得分率为465/480=96.67%。对于大目标，虽然目标速度整体比较平稳，但是存在速度突然抖动的问题，导致实际的检测概率降低（抖動后的值可以看作虚警），轨迹容易断裂，从而出现漏检和速度不满足要求的情况。对于小目标，虽然目标加速度比较大，但是其轨迹整体比较平稳，本文算法可以有效对其进行检测跟踪，可以稳定地输出两个目标的轨迹。
3 结 论
针对雷达弱小目标的跟踪问题，本文设计了一套完整的跟踪算法。其优势在于：第一，应用的LMB平滑器可以输出目标平滑后的轨迹，提高了距离和速度估计的精度。第二，轨迹连续性判断和有效轨迹提取，可以有效克服速度抖动和速度模糊引起的轨迹断裂和虚假轨迹的问题。本文算法对测试数据的得分可达到总分的96.67%。
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Liang Pu，Liu Rang*，Chen Xing，Shang Zheran，Yi Tianzhu，Lu Dawei
（College of Electronic Science，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）
Abstract： The effective detection and tracking of low，small and slow targets is a current hot issue in the radar field. The paper is a sequel to radar weak target detection based on RFT and AMF fusion focus，and concentrates on the tracking of typical UAVs by pulse Doppler radar. The implementations of tracking algorithm mainly include： first，the preprocessing of the plots centroid processing and the multi-frame acceleration estimation has been applied. Then the labeled multi-Bernoulli （LMB） smoother is used for the multi-target tracking. Finally，
the final trajectories of targets are output after trajectory continuity judgment and effective trajectory extraction. The LMB smoother can output the smoothed trajectories of targets，therefore，improving the estimation accuracy of distance and velocity. Trajectory continuity judgment and effective track extraction can effectively overcome the problems of breaking trajectory caused by velocity jitter and false trajectory caused by velocity ambiguity. The comprehensive score rate to process multiple test data is 96.67%，which verifies the effectiveness and robustness of the proposed tracking algorithm.
Key words： pulse Doppler radar; trajectory continuity judgment; LMB; filtering smooth; target tracking
收稿日期：2019-10-14
作者簡介：梁璞（1996-），男，山东聊城人，硕士研究生，研究方向为自动目标识别。
通讯作者： 刘让（1990-），男，湖南耒阳人，博士研究生，研究方向为随机集与贝叶斯估计，雷达目标跟踪。