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教材的编写有两条线,一条是知识脉络,按知识结构螺线上升,另外有一条暗线,就是数学思想方法,所以思想方法的学习贯穿于数学学习的始终.同时数学思想方法是知识的升华,规律的总结. 集合内容的学习中应注意理解和掌握如下的思想方法.
“由数思形,化数为形,以形求数”是数形结合思想的一种体现,且能问题形象化,具体化,便于解决.
C.{x|x<2} D.{x|1≤x<2}
由图可知,A∪B={x|-1≤x<2}.
故选A.
例2:(2009年上海高考题)已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},A∪B=R,则实数a的取值范围是_______.
解:∵A={x|x≤1},B={x|x≥a},如图,
故当a≤1时,A∪B=R成立,
所以答案为a≤1.
2.用Venn图
例3:某班学生举行数、理、化三科竞赛,每人至少参加一科,已知参加数学竞赛的有27人,参加物理竞赛的有25人,参加化学竞赛的有27人,其中参加数学、物理两科竞赛的有10人,参加物理、化学竞赛两科的有7人,参加数学、化学两科的有11人,而参加数、理、化三科的共有4人,求全班人数.
解:设参加数学、物理、化学竞赛的人构成的集合分别为A,B,C,由Venn图可得全班人数为各数之和10+12+13+7+3+6+4=55人.
点评:由于参加数、理、化三科竞赛人数相互交叉,不易理清参加三科竞赛各科人数,利用此图可以比较容易的分清他们的关系.
解:∵U={2,3,5,7,11,13,17,19}.
∴剩下的元素11,13必在A∩B内.
∴A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.
是有限个非连续的集合时,用Venn图解决可将问题形象化,关系明确化.
1.集合中条件一致性的转化.
A. A=B B. A?奂B
因为2k+1表示所有奇数,k表示所有整数,所以A?奂B选B.
点评:对于分式结构的无限集,可以转化为同分母的分式,分母相同了,则主要看分子的关系,从而找出集合间的关系,这是从条件的一致性出发思考的.
2. 对集合关系或运算的转化
例6:(2004年全国高考题)设集合M={(x,y)|x2+y2=1,x,y∈R },N={(x,y)| x2-y=0,x,y∈R },则集合M∩N中的元素的个数为( )
A. 1 B. 2C. 3D. 4
解:如图,在同一坐标系中,做出x2+y2=1和抛物钱y=x2的图形,由图可知图形有两个交点,所以集合M∩N中有两个元素,选B.
点评:本题中集合M是圆 x2+y2=1上所有点,N是抛物线y=x2上所有点,那么M∩N可转化为M与N的公共点,从而使问题转化为两个图形的交点个数问题.
解:B={ x|x2-5x+6=0 }={2,3}.
由A∪B=B,得A?哿B.
因为A≠B,所以A?奂B.
所以A={ 2 }或A={ 3 }.
当A={ 2 }时,x=2带入x2-ax+a2-19=0,
得a2-2a-10=0.
解得a=-3时,或a=5.
当a =-3时,A={2,-5},这与A={ 2 }矛盾.
当a =5时,A={2,3},这与A={ 2 }矛盾.
所以a≠-3,5.
当A={ 3 }时,x=3带入x2-ax+a2-19=0,
得a2-3a-10=0.
解得a=5时,或a=-2.
当a=-2时,A={ 3,-5 },这与A={3}矛盾.
所以a≠-2.
综上可知,不存在满足题意的实数a.
点评:解题时,当集合的一种表达形式不好入手,解题有困难时,可将其转化另一种形式.
分类讨论是中学数学的重要思想方法,分类时要有条不紊,既不重复,又不遗漏.
1.由集合中元素引起的讨论
例8:(2008年山东高考题)满足M?哿{ a1,a2,a3,a4 }且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
分析:由子集的概念和交集的概念知,一定有a1,a2∈M,而且a3一定不在集合M中,只需看a4在不在M中即可.
解:∵M∩{a1,a2,a3}={a1,a2},
∴a1,a2∈M,且a3?埸M.
又M?哿{a1,a2,a3,a4},
∴a4可能在M中,也可能不在.
∴M可能为{a1,a2}也可能为{a1,a2,a4}所以选B.
点评:确定集合就是要确定集合中的元素,一个确定的集合,其元素是确定的,如果元素不确定,那么集合也不确定.
A. 1B. -1C. 2D. -2
综上得,a=-1,b=1,所以b-a=2.
选C.
点评:解分类讨论问题的实质是将整体化为部分来解决.对于含参数的分划问题,常需要对参数分类讨论,在分类时要注意“不漏不重复”.
2.由集合关系引起的讨论
解:A={1,3,4},
∵A∪B=A?圳B?哿A
当B={1}时,a=1;
点评:因为空集是任何集合的子集,所以集合问题中如果涉及子集的问题一定不要忽视空集的特殊情况.
学习集合内容时,要不断总结在数学知识发生,发展和应用的过程中的思想方法,同时不断在解决问题中使用,体会数学思想方法的价值,提升分析问题解决问题的能力.
“由数思形,化数为形,以形求数”是数形结合思想的一种体现,且能问题形象化,具体化,便于解决.
C.{x|x<2} D.{x|1≤x<2}
由图可知,A∪B={x|-1≤x<2}.
故选A.
例2:(2009年上海高考题)已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},A∪B=R,则实数a的取值范围是_______.
解:∵A={x|x≤1},B={x|x≥a},如图,
故当a≤1时,A∪B=R成立,
所以答案为a≤1.
2.用Venn图
例3:某班学生举行数、理、化三科竞赛,每人至少参加一科,已知参加数学竞赛的有27人,参加物理竞赛的有25人,参加化学竞赛的有27人,其中参加数学、物理两科竞赛的有10人,参加物理、化学竞赛两科的有7人,参加数学、化学两科的有11人,而参加数、理、化三科的共有4人,求全班人数.
解:设参加数学、物理、化学竞赛的人构成的集合分别为A,B,C,由Venn图可得全班人数为各数之和10+12+13+7+3+6+4=55人.
点评:由于参加数、理、化三科竞赛人数相互交叉,不易理清参加三科竞赛各科人数,利用此图可以比较容易的分清他们的关系.
解:∵U={2,3,5,7,11,13,17,19}.
∴剩下的元素11,13必在A∩B内.
∴A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.
是有限个非连续的集合时,用Venn图解决可将问题形象化,关系明确化.
1.集合中条件一致性的转化.
A. A=B B. A?奂B
因为2k+1表示所有奇数,k表示所有整数,所以A?奂B选B.
点评:对于分式结构的无限集,可以转化为同分母的分式,分母相同了,则主要看分子的关系,从而找出集合间的关系,这是从条件的一致性出发思考的.
2. 对集合关系或运算的转化
例6:(2004年全国高考题)设集合M={(x,y)|x2+y2=1,x,y∈R },N={(x,y)| x2-y=0,x,y∈R },则集合M∩N中的元素的个数为( )
A. 1 B. 2C. 3D. 4
解:如图,在同一坐标系中,做出x2+y2=1和抛物钱y=x2的图形,由图可知图形有两个交点,所以集合M∩N中有两个元素,选B.
点评:本题中集合M是圆 x2+y2=1上所有点,N是抛物线y=x2上所有点,那么M∩N可转化为M与N的公共点,从而使问题转化为两个图形的交点个数问题.
解:B={ x|x2-5x+6=0 }={2,3}.
由A∪B=B,得A?哿B.
因为A≠B,所以A?奂B.
所以A={ 2 }或A={ 3 }.
当A={ 2 }时,x=2带入x2-ax+a2-19=0,
得a2-2a-10=0.
解得a=-3时,或a=5.
当a =-3时,A={2,-5},这与A={ 2 }矛盾.
当a =5时,A={2,3},这与A={ 2 }矛盾.
所以a≠-3,5.
当A={ 3 }时,x=3带入x2-ax+a2-19=0,
得a2-3a-10=0.
解得a=5时,或a=-2.
当a=-2时,A={ 3,-5 },这与A={3}矛盾.
所以a≠-2.
综上可知,不存在满足题意的实数a.
点评:解题时,当集合的一种表达形式不好入手,解题有困难时,可将其转化另一种形式.
分类讨论是中学数学的重要思想方法,分类时要有条不紊,既不重复,又不遗漏.
1.由集合中元素引起的讨论
例8:(2008年山东高考题)满足M?哿{ a1,a2,a3,a4 }且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
分析:由子集的概念和交集的概念知,一定有a1,a2∈M,而且a3一定不在集合M中,只需看a4在不在M中即可.
解:∵M∩{a1,a2,a3}={a1,a2},
∴a1,a2∈M,且a3?埸M.
又M?哿{a1,a2,a3,a4},
∴a4可能在M中,也可能不在.
∴M可能为{a1,a2}也可能为{a1,a2,a4}所以选B.
点评:确定集合就是要确定集合中的元素,一个确定的集合,其元素是确定的,如果元素不确定,那么集合也不确定.
A. 1B. -1C. 2D. -2
综上得,a=-1,b=1,所以b-a=2.
选C.
点评:解分类讨论问题的实质是将整体化为部分来解决.对于含参数的分划问题,常需要对参数分类讨论,在分类时要注意“不漏不重复”.
2.由集合关系引起的讨论
解:A={1,3,4},
∵A∪B=A?圳B?哿A
当B={1}时,a=1;
点评:因为空集是任何集合的子集,所以集合问题中如果涉及子集的问题一定不要忽视空集的特殊情况.
学习集合内容时,要不断总结在数学知识发生,发展和应用的过程中的思想方法,同时不断在解决问题中使用,体会数学思想方法的价值,提升分析问题解决问题的能力.