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摘要：三维激光扫描数据预处理中三维数据转换到同一坐标系是非常重要的一环，坐标转换的精度对后续的数据处理有非常大的影响。三维激光扫描采集的点云存在坐标量测误差，经典最小二乘平差（LS）求取转换参数时仅仅考虑了目标坐标系下的坐标量测值误差，整体最小二乘法（TLS）与混合最小二乘（LS-TLS）平差时同时考虑了两套坐标系下的坐标量测误差更加符合实际情况。算例结果表明：三维激光扫描数据坐标转换中，整体最小二乘相比较与经典的最小二乘，建立的模型更加合理，精度更高。
关键词：三维激光扫描，整体最小二乘，混合最小二乘，G-M模型，EIV模型
1.引言
三维激光扫描数据采集之后，在点云数据预处理过程中需将点云数据转换到统一的坐标系下用于后处理。将点云数据转换到统一的坐标系本质上是公共点的三维坐标转换求取转换参数的问题。三维坐标转换参数包含3个平移参数、3个旋转参数和1个尺度参数等7个独立量。在旋转角较小的情况下，通常采用的是线性的布尔沙七参数转换模型。采用最小二乘平差方法求解转换参数时，建立的是经典高斯马尔科夫模型（Gauss Markov模型）。高斯马尔科夫模型仅考虑了观测值误差，即只考虑了目标观测系坐标误差。但实际情况是两套坐标系下坐标均存在误差，仅仅考虑观测值误差而忽略系数矩阵误差是不合理的。
考虑到Gauss Markov模型的不足之处，众多学者采用ElY（Errors-In-Variabals）
模型的整体最小二乘对其改进。EIV（Errors-In Variabals）模型在Gauss-Markov模型仅考虑观测值误差的基础上，还考虑了系数矩阵误差。用整体最小二乘原理求解转换参数，与两套坐标系下坐标均存在误差的实际情况符合。同时考虑到系数矩阵有些列是常数并不需要全部改正时，只改正系数矩阵特定的列，列元素是常数的不作处理，可以利用混合最小二乘法解算转换参数。
综合来讲，整体最小二乘法考虑系数矩阵误差，混合最小二乘改正系数矩阵的部分列。算例的结果也表明了整体最小二乘法和混合最小二乘法建立的EIV模型更合理，解算的坐标转换参数精度更高。
2.最小二乘法
本文中只考虑旋转角是小角度的情况，可以采用公式（1）中的布尔沙模型解算三维坐标转换参数，旋转角度是大角度时需要采用其他的计算模型。
在求解未知坐标转换参数时，公式（1）中包含有观测误差和多余观测量，最小二乘法测量平差问题本质上是求解线性方程组最优解问题，这是典型的高斯马尔科夫模型（GM模型）。
在解算未知坐标参数时，最小二乘法遵循公式（3）的原则：
3.整体最小二乘法
3.1EIV模型
在经典的误差方程组L=Ax中，最小二乘平差法是在观测值残差平方和最小的原则下求解未知参数，在这种情况下实际上只考虑了观测值误差，而未考虑系数矩阵的误差。考虑到观测值误差和系数矩阵误差，组成的误差方程组可以表示为公式（5）：
3.2整体最小二乘基本解法
奇异值分解法是整体最小二乘的最基本解法，将误差方程L=Ax改写为公式（7）：
对于经典的线性方程组L=Ax，整体最小二乘法解算未知参数遵循公式（10）中的基本原则：
整体最小二乘改正数满足公式（11）的要求：
由增广矩阵c右奇异向量V的第n+1列计算出未知参数的整体最小二乘解：
未知参数的整体最小二乘解及其精度分别为公式（15）和公式（16）：
上列的奇异值分解计算过程是整体最小二乘的最基本解法（svd法），在其他的解算方法中，整體最小二乘解也可以表示为公式（17）：
4.混合最小二乘模型及其解法
整体最小二乘与最小二乘两种解算方法本质上在于前者同时考虑了观测值误差和系数矩阵误差。但在多数的工程实际情况中，系数矩阵的某些列是常数，平差时不需要对其改正，因此需要对系数矩阵不同列区别对待。相应的参数可分别采用最小二乘法和整体最小二乘法求解，称为混合最小二乘。在求解坐标转换参数的线性布尔沙模型中系数矩阵的前三列是常数，采用混合最小二乘法更加合理。
可以将线性方程组L=Ax表示为：
在公式（18）中4是常数矩阵，求解混合最小二乘解需满足公式（19）：
5.计算实例
采用某隧道工程采集的三维激光扫描数据，5个公共控制点在两套坐标系下采集的坐标如表1所示：
分别采用最小二乘法（Ls）、整体最小二乘法（TLS）与混合最小二乘法（LS TLS）共三种方法进行解算，得到的7个转换参数结果
如表2所示：
6.结论
1）、求解转换参数时基于EIV模型的整体最小二乘法和混合最小二乘法综合考虑了两套坐标系下的坐标值均存在误差情况，更符合实际工程。和最小二乘法采用的高斯马尔科夫模型（G-M模型）只考虑观测值误差对比，构建的EIV模型同时改正了观测值和系数矩阵的误差，更加合理。
2）、整体最小二乘法与混合最小二乘法求解转换参数时，计算的结果比最小二乘法精度更高。
3）、在实际的工程应用中，如两套坐标系下的三维激光扫描数据均存在误差时，采用整体最小二乘法和混合最小二乘法求解转换参数更合理。
关键词：三维激光扫描，整体最小二乘，混合最小二乘，G-M模型，EIV模型
1.引言
三维激光扫描数据采集之后，在点云数据预处理过程中需将点云数据转换到统一的坐标系下用于后处理。将点云数据转换到统一的坐标系本质上是公共点的三维坐标转换求取转换参数的问题。三维坐标转换参数包含3个平移参数、3个旋转参数和1个尺度参数等7个独立量。在旋转角较小的情况下，通常采用的是线性的布尔沙七参数转换模型。采用最小二乘平差方法求解转换参数时，建立的是经典高斯马尔科夫模型（Gauss Markov模型）。高斯马尔科夫模型仅考虑了观测值误差，即只考虑了目标观测系坐标误差。但实际情况是两套坐标系下坐标均存在误差，仅仅考虑观测值误差而忽略系数矩阵误差是不合理的。
考虑到Gauss Markov模型的不足之处，众多学者采用ElY（Errors-In-Variabals）
模型的整体最小二乘对其改进。EIV（Errors-In Variabals）模型在Gauss-Markov模型仅考虑观测值误差的基础上，还考虑了系数矩阵误差。用整体最小二乘原理求解转换参数，与两套坐标系下坐标均存在误差的实际情况符合。同时考虑到系数矩阵有些列是常数并不需要全部改正时，只改正系数矩阵特定的列，列元素是常数的不作处理，可以利用混合最小二乘法解算转换参数。
综合来讲，整体最小二乘法考虑系数矩阵误差，混合最小二乘改正系数矩阵的部分列。算例的结果也表明了整体最小二乘法和混合最小二乘法建立的EIV模型更合理，解算的坐标转换参数精度更高。
2.最小二乘法
本文中只考虑旋转角是小角度的情况，可以采用公式（1）中的布尔沙模型解算三维坐标转换参数，旋转角度是大角度时需要采用其他的计算模型。
在求解未知坐标转换参数时，公式（1）中包含有观测误差和多余观测量，最小二乘法测量平差问题本质上是求解线性方程组最优解问题，这是典型的高斯马尔科夫模型（GM模型）。
在解算未知坐标参数时，最小二乘法遵循公式（3）的原则：
3.整体最小二乘法
3.1EIV模型
在经典的误差方程组L=Ax中，最小二乘平差法是在观测值残差平方和最小的原则下求解未知参数，在这种情况下实际上只考虑了观测值误差，而未考虑系数矩阵的误差。考虑到观测值误差和系数矩阵误差，组成的误差方程组可以表示为公式（5）：
3.2整体最小二乘基本解法
奇异值分解法是整体最小二乘的最基本解法，将误差方程L=Ax改写为公式（7）：
对于经典的线性方程组L=Ax，整体最小二乘法解算未知参数遵循公式（10）中的基本原则：
整体最小二乘改正数满足公式（11）的要求：
由增广矩阵c右奇异向量V的第n+1列计算出未知参数的整体最小二乘解：
未知参数的整体最小二乘解及其精度分别为公式（15）和公式（16）：
上列的奇异值分解计算过程是整体最小二乘的最基本解法（svd法），在其他的解算方法中，整體最小二乘解也可以表示为公式（17）：
4.混合最小二乘模型及其解法
整体最小二乘与最小二乘两种解算方法本质上在于前者同时考虑了观测值误差和系数矩阵误差。但在多数的工程实际情况中，系数矩阵的某些列是常数，平差时不需要对其改正，因此需要对系数矩阵不同列区别对待。相应的参数可分别采用最小二乘法和整体最小二乘法求解，称为混合最小二乘。在求解坐标转换参数的线性布尔沙模型中系数矩阵的前三列是常数，采用混合最小二乘法更加合理。
可以将线性方程组L=Ax表示为：
在公式（18）中4是常数矩阵，求解混合最小二乘解需满足公式（19）：
5.计算实例
采用某隧道工程采集的三维激光扫描数据，5个公共控制点在两套坐标系下采集的坐标如表1所示：
分别采用最小二乘法（Ls）、整体最小二乘法（TLS）与混合最小二乘法（LS TLS）共三种方法进行解算，得到的7个转换参数结果
如表2所示：
6.结论
1）、求解转换参数时基于EIV模型的整体最小二乘法和混合最小二乘法综合考虑了两套坐标系下的坐标值均存在误差情况，更符合实际工程。和最小二乘法采用的高斯马尔科夫模型（G-M模型）只考虑观测值误差对比，构建的EIV模型同时改正了观测值和系数矩阵的误差，更加合理。
2）、整体最小二乘法与混合最小二乘法求解转换参数时，计算的结果比最小二乘法精度更高。
3）、在实际的工程应用中，如两套坐标系下的三维激光扫描数据均存在误差时，采用整体最小二乘法和混合最小二乘法求解转换参数更合理。