数学思想方法是数学学习和研究的“核心”和“灵魂”,它并不是完全抽象的东西,而是以数学知识为载体的实实在在的内容,同时又是万千实例的提炼和总结,具有本质性、概括性和指导性因此,复习数列就应该着眼于数学思想
　　 T5+1mmC0931TIG-245mm-+1mm1.函数的思想
　　数列 an}可以看成是一列特殊的函数值,数列的通项公式an=f n就是函数的解析式,定义域为N(或它的有限子集 1,2,…,n})它的图象上的点 n,an是一群孤立的点对于一个数列 an},n与n也能够建立函数关系如等差数列的前n项和可以表示成n=f n=an2+bn,当a≠0时,n与n存在二次函数关系,点(n,n)是二次函数y=ax2+bx的图象上的一些孤立点
　　
　　例在等差数列 an}中,a1=12,3=0,求n的最大值
　　T2TI;2,
　　解:由n=na1+n n-12•d及得3=0,
　　3•12+3• 3-12•d=10•12+10• 10-12•d,∴d=-2
　　n=12n+n n-12• -2=-n2+13N=- n-1322+1694
　　考察二次函数y=f x=- x-1322+1694当x=132时,函数有最大值
　　又f 6=- 6-1322+1694=42=f 7∴当n=6或7时,n有最大值42
　　评注:利用函数图象求解数列最值,快捷又有效
　　 T5+1mmC0931TIG-245mm-+1mm2.转化的思想
　　将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想称之为化归转化思想它一般表现为将有待解决的问题进行转化,使之逐步成为熟悉的、或已经解决过的问题模式数列问题中蕴含着丰富的化归转化的题材
　　例 2设数列 an}前n的项和为 n,且 3-mn+2man=m+3 n∈N其中m为常数m≠-3且m≠0,
　　(1)求证: an}是等比数列;
　　(2)若数列 an}的公比满足q=f m且b1=a1,bn=32f b n-1 n∈N2,n≥2求证 1bn}为等差数列,并求bn.
　　解 (1)由 3-mn+2man=m+3,得 3-m n+1+2ma n+1=m+3,
　　两式相减,得 3+ma n+1=2man, m≠-3
　　∴a n+1an=2mm+3∴ an}是等比数列.
　　(2)由b1=a1=1,q=f m=2mm+3,n∈N且n≥2时bn=32f b n-1=32•2b n-1b n-1+3,得bnb n-1+3bn=3b n-11bn-1b n-1=13
　　∴ 1bn}是以1为首项、13为公差的等差数列∴1bn=1+n-13=n+23,故有bn=3n+2
　　评注:为了求数列 bn}的通项,用取"倒数"的技巧,得出数列 1bn}的递推公式,从而将其转化为等差数列的问题.
　　 T5+1mmC0931TIG-245mm-+1mm3.整体的思想
　　解数学问题时,通常把它分成若干个简单的问题,逐个击破,分而治之有时研究问题有意识地放大考察问题的视角,将需要解决的问题看成一个整体,研究其整体形式、整体结构,分析已知条件与未知的结论在这整体中的地位与作用,使整体加以调节和转化,使问题获解数列问题中我们常常“遭遇”整体思想
　　例 3等差数列 an}中,已知前n项之和为80,前2n项之和为100,求前3n项之和
　　解:设公差为d,则 na1+n n-12d=802na1+2n 2n-12d=100
　　两式相减得:na1+n 3n-12d=20,于是3n=3na1+3n 3n-12d=3na1+n 3n-12d=60
　　评注:上述解法中不是直接求a1、d, 而是将na1+n 3n-12d作为整体代入所求式子,这种整体代入往往有“柳暗花明”之效
　　
　　 T5+1mmC0931ATIG-305mm-+1mm4.分类讨论的思想
　　当研究对象不宜用同一种方法处理或同一种形式叙述时,常常需要进行分类讨论
　　例 4设a1,a2,……an是各项均不为零的等差数列(n≥4),且公差d≠0,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:①当n=4时,求a1d的数值;②求n的所有可能值;
　　解:①当n=4时,a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出3d=0若删去a2,则a23=a1•a4,即 a1+2d2=a1•(a1+3d)化简得a1+4d=0,得a1d=-4;若删去a3,则a22=a1•a4,即 a1+d2=a1• a1+3d化简得a1-d=0,得a1d=1
　　综上,得a1d==4或a1d=1
　　②当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5中同样不可能删去a1,a2,a3,a4,a5,否则出现连续三项
　　若删去a3,则a1•a5=a2•a4,即a1 a1+4d= a1+d• a1+3d化简得3d2=0,因为d≠0,所以a3不能删去;
　　当n≥6时,不存在这样的等差数列事实上,在数列a1,a2,a3,…,a n-2,a n-1,an中,由于不能删去首项或末项,若删去a2,则必有a1•an=a3•a n-2,这与d≠0矛盾;同样若删去a n-1也有a1•an=a3•a n-2,这与d≠0矛盾;若删去a3,…,a n-2中任意一个,则必有a1•an=a2•a n-1,这与d≠0矛盾 或者说:当n≥6时,无论删去哪一项,剩余的项中必有连续的三项
　　综上所述,n=4
　　评注:本题是2008年高考江苏卷的压轴题,初看似乎有点难,但想到分类讨论,解题思路就非常明晰了
　　
　　学数学,归根到底是学习数学思想因此复习数列,把握数列中的数学思想理应是数列复习中的重中之重
　　(作者:王佩其,江苏省太仓高级中学)