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摘要：存贮路径问题针对当前供应链条件下库存控制与运输调度问题分别研究的现状，将二者整合系统加以分析；在分析现有问题求解方法的基础上，针对多周期随机需求IRP问题提出了基于遗传算法的求解思路，利用二进制编码处理零售商的库存策略。正交试验验证了算法的有效性，得到客户需求、运输车辆等相关因素不同程度的影响最优补货策略,从而有效求解多周期IRP问题。
关键词：存贮路径问题；遗传算法；多周期；随机需求
中图分类号：F224．9 文献标识码：A
Study on the IRP with Multi-period and Stochastic Demand Based on Genetic Algorithms
SUN Bin-feng, LV Xi-ong-wei, LI Jun
(School of Economics and Management, Southewest Jiaotong University, ChengDu, 610031, China)
Abstract:
The inventory routing problem refersto the inventoryand transportation control in uniform system under the traditional supply chain management. This paper focuses on the inventory routing problem with stochastics demand and multi-period time, and designs GA arithmetic to set up the mathematics model. It shows its reasonable results by anglicizing the orthogonal test.It also finds in the test thatcustomer demands, delivery vehicles and lead time affect the decision of the optimal delivery policies.
Key words:inventory routing problem; genetic algorithms; multi-period; stochastic demand
一、引言
库存控制与运输调度是运筹学研究的经典问题，目前的文献大多将二者作为单独的问题分别进行研究。存贮路径问题(Inventory Routing Problem, IRP)则将库存与运输两个相互影响的因素集成在一个问题中系统地加以分析，考虑由一个配送中心和若干个零售商组成的二阶配销系统，在给定的补货周期内确定零售商的库存策略及车辆的配送方案，实现系统总运行成本(库存保管费用，缺货损失成本，运输变动成本等)极小。在供应链管理思想普遍地为人们接受的今天，尤其是供应商管理库存(Vendor Managed Inventory, VMI)方法在各行各业的广泛应用[2-5; 7; 10; 11; 13]，IRP问题的研究更显示出它的应用价值，不仅能在监控客户库存水平的基础上制定具有实际价值的作业计划，更能实现供需双方双赢(Win-Win)的局面。
二、文献回顾及问题描述
（一）文献回顾
IRP问题最优策略的制定需要将系统内零售商的补货时间、补货数量与车辆配送路线联合考虑，是典型的NP难题[8]，涉及到经济学、运筹学、组合优化、运输管理与物流科学等众多学科。两阶段算法[6; 11]是处理该类问题常见的启发式方法，即将原问题分解成库存分配问题和路径问题加以求解，在取得初始可行解的基础上进行路线间的零售商交换，实现目标值的改进。Anily和Federgruen[1]采用固定分区准则(Fixed Partitiion Policies, FPP)首先将零售商按照地理位置或需求特性进行分组，然后在组内求解一个履行商问题(Travel Salesman Problem, TSP)。Roundy[9]提出power-of-two客户补货策略，以某客户补货时间间隔为基准，假定其它客户的补货周期为该基准间隔的2的幂倍，设计启发式算法进行求解。
现有IRP问题的求解方法在处理零售商库存的时候多采用“零库存”思想。考虑到车辆配送成本的影响，零售商的库存策略需要从系统整体上进行考虑，因此本文在分析多周期随机需求IRP问题的基础上，提出基于遗传算法[16](Genetic Algorithms, GA)的求解思路，利用二进制编码处理零售商的库存策略，并设计正交试验，分析需求、库存和运输等相关因素对最优补货策略的影响。
（二）问题描述
考虑由1个配送中心和N个零售商组成的二阶配销系统。配送中心负责零售商的库存管理，但不考虑配送中心库存相关成本。零售商库存容积Ci,客户需求概率密度为fi(x)，均值方差已知；允许缺货，但要付出一定的缺货损失；在周期t内，Ii(t)表示期初库存；配送中心给该零售商的补货量为Ri(t)，零售商实际需求为Di(t)。配送中心拥有K辆车，载重能力为Q，车辆固定出车成本为gk，负责零售商的产品配送。试确定计划期T内零售商的库存策略及配送中心运输方案。
假设：（1）零售商采用（ti,Ri）[14]库存策略；（2）零售商之间需求相互独立；（3）系统外部供应商供给能力无限；（4）零售商初始库存Ii(0)=Ri;（5）订货提前期LTi固定。
三、系统分析与模型建立
（一）零售商库存成本模型
通过对系统进行分析，不难发现在不考虑配送中心库存相关成本的条件下，系统库存成本是由所有零售商在计划期内产品的保管与缺货造成的损失构成的。
零售商i周期t的库存成本可以表示为：
（二）配送车辆运输模型
当确定了零售商i周期t内补货量Ri(t)之后，配送车辆运输模型可以用VRP问题[12]进行求解。为构造数学模型方便，将配送中心编号为0。定义变量如下：
其中，约束错误！未找到引用源。使得车辆承载的补货量不大于其容积；约束错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。确保每个客户在周期内最多只能被访问一次；约束错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。保证每辆车的配送路线不出现回路。
（三）系统成本模型
约束错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。可得整个IRP问题研究的二阶配销系统总成本表达式：
约束条件为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。
四、基于GA的算法设计
在配送中心监控系统内各零售商库存水平的基础上，零售商的库存策略主要确定补货时间和数量。针对研究问题周期特性，笔者在遗传算法(Genetic Algorithms, GA)的基础上进行算法设计。
（一）算法流程
步骤1：初始化。按照设定的零售商库存策略编码规则(见3．2)生成初始种群。
步骤2：从种群中选择某一零售商策略集作为当前研究对象。
步骤3：在计划期[1，T]内，根据库存策略，在客户需求变动的影响下，顺序生成多个补货任务，包括时间、数目及对应零售商三大属性值。
步骤4：对于时间属性值相同的补货任务，由车辆负责完成补货任务的分配，并执行。
步骤5：计算在该策略集下计划期T内的库存与运输费用总和，将其作为适应函数值赋予当前策略集。
步骤6：重复步骤Step2-Step5，直至当前种群内所有策略集都被试运行为止。
步骤7：利用遗传算法，在保有一定数量优秀补货策略的基础上产生新的种群，重复步骤Step2-Step6直至到达最大迭代次数；输出当前最优补货策略。
（二）编码规则
遗传算法进化过程是建立在编码规则基础上的，编码的优劣直接影响到算法的性能。笔者采用二进制方法对零售商库存策略进行编码，利用二进制编码快速的搜索能力寻找最优解。为了能让零售商的库存策略在进货过程中尽可能多的产生种群，将系统内零售商库存策略（t,R）同时编入一条染色体中，具体操作如下：
1.首先格式化补货周期，设定LenL个数字表示染色体中的补货周期，它满足以下要求:2LenL≤T≤2LenL+1,显然零售商在补货周期T至少完成一次补货。
2.最大补货量R可以用LenR个数字表述，其中2LenR≤C≤2LenR+1，C为零售商库存容积。
3.因此，系统零售商库存策略集合可以表示一条由N组上述编码数列组成的染色体。
假设系统内包括3家零售商，库存策略为(4,11)、（2,3）、(3,10)，则对应一条染色体：100 1011 10 11 11 1010。当然在具体算法实现时，中间是没有空格的。
（三）运输调度
笔者侧重点在于对零售商库存策略的确定，对于配送车辆运输调度计划可以采用Clarke-Wright提出的节约启发式算法进行处理。在文献[12]的提出的节约启发式算法基础上进行了修改，增加了车辆运载能力 的约束。
五、试验仿真设计与分析
（一）试验参数设计
考虑到一个由1个配送中心和10个零售商组成的二阶配送系统，各节点间距如表1所示；各零售商的年需求服从指数分布，运输费用为1元/公里，车辆固定费用为1000元/次。在实验设计中，笔者设计了4类不同控制参数以分析其对最终补货策略的影响，其中每类参数分别设置3个不同水平。如果各种不同的水平搭配，需要生成81种组合试验环境。为选出具有代表性试验环境作测试，选择正交表L9(34)[15]，共计9种组合试验环境。每种组合执行1年(1天为1个补货周期)，利用前文阐述方法计算得到补货策略和对应的库存与运输成本。为获得每一组试验稳定的目标值，共运行100次，取其平均值为该组合对应的实验观察值。具体控制参数设计见表2。
(二)仿真结果分析
表3给出了零售商在不同组合试验环境下的补货策略、成本及服务水平，其中服务水平不同于教材中的定义，它是客户需求的产品总量与补货量之间的比值。通过对该表的分析，可以得到下面重要的研究结论：[LM]
1.运输车辆的规格能降低系统总成本。由组(E1、E4、E7)，(E2、E5、E8)和(E3、E6、E9)可以发现车辆容积的增加能调整零售商的补货策略，有效利用运能进行联合配送，以降低整个系统的成本。
2.客户需求是影响系统成本的关键因素。从表3可以知道，随着客户需求变异系数的增大，零售商库存策略中的库存最大值R也逐渐增大，以消除变动需求带来的影响，增加了系统库存成本。
同时，也能从实验结果中看出客户需求变异率也影响着零售商的服务水平。
3.订货提前期影响着零售商的服务水平。从这9种组合试验环境中可以发现，提前期为2天的(E2、E6、E7)和提前期为3天的(E3、E4、E8)的客户服务水平是相对提前期为1天的组合要低一些。通过察看提前期为3天的组合，它又明显低于提前期为2天的组合，所以服务水平的高低与订货提前期的长短有绝对的关系。
4.单位保管费用与缺货损失比值越低，零售商的库存成本越会增加。从表3中可以发现，缺货损失成本越大，零售商存放足够的库存就能满足客户的需求，从而降低系统的总成本。
5.库存与运输的集成能极大的降低系统总成本。IRP问题研究的是在库存与运输的整合条件下的最优补货策略，从实验结果中可以得到：如果将库存与运输分别考虑，单独为每一个零售商进行配送，显然产生的运输成本高于集成后的运输成本。
六、小结与展望
笔者利用二进制编码处理零售商的补货策略，设计了基于遗传算法的多周期、随机需求IRP问题的求解步骤。正交试验结果表明，该方法能够得到零售商最优补货策略，从而有效求解多周期IRP问题。同时从设计的多种试验组合中得到客户需求变异率、采购提前期、运输容积等因素对补货策略的选择有着十分重要的影响。
笔者在设计与选择编码时，尽管能满足Balakrishman等提出的完全性、紧致性和可扩展性等要求[16]，但存在产生无效染色体的可能性，如在较差、变异时导致基因对应的补货策略t或R为0的情况。对于这种情况，笔者采取的是将其抛弃处理，因而存在着改进编码的空间。
参考文献：
[1] Anily, Shoshana, Federgruen, Awi. One Warehouse Multiple Retailer Systems with Vehicle Routing Costs[J]. Management Science. 1990,36(1):92-114.
[2] Baita, Flavio, Ukovich, Walter, Pesenti, Raffaele等. Dynamic Routing-and-Inventory Problems: A Review[J]. Transportation Science. 1998,32(8):585-598.
[3] Daganzo, C. F., F., Newell G. Physical Distribution from a Warehouse: Vehicle Coverage and Inventory Levels[J]. Transportation Research: Part B. 1985,19:397-407.
[4] Dror, Moshe, Ball, Michael, Golden, Burce L. A Computational Comparison of Algorithms for the Inventory Routing Problem[J]. Annals of Operations Research. 19854:3-23.
[5] Federgruen, Awi, Zipkin, Paul H. Allocation Policies and Cost Approximations for Multilocation Inventory Systems[J]. Naval Research Logistics. 1984,(31):97-129.
[6] Federgruen, Awi, Zipkin, Paul H. A Combined Vehicle Routing and Inventory Allocation Problem. Operation Research[J]. 1984,32(5):1019-1037.
[7] Herer, Yale, Levy, Roberto. The Metered Inventory Routing Problem, an Integrative Heuristic Algorithm[J]. International Journal of Production Economics. 1997,51:69-81.
[8] Reiman, Martin I., Rubio, Rodrigo, Wein, Lawrence M. Heavy Traffic Analysis of the Dynamic Stochastic Inventory-Routing Problem[J]. Transportation Science. 1999,33(4):361-380.
[9] Roundy, Robin. 98%-Effective Integer-Ratio Lot-Sizing for One-Warehouse Multi-Retailer System[J]. Management Science. 1985,31(11):1416-1429.
[10] Viswanathan, S., Mathur, Kamlesh. Integrating Routing and Inventroy Decisions in One-Warehouse Multiretailer Multiproduct Distribution Systems[J]. Management Science. 1997,43(3):294-312.
[11] Wendy, W. Qu, Bookbinder, James H., Iyogun, Paul. An Integrated Inventory-Transportation System with Modified Periodic Policy for Multiple Products[J]. European Journal of Operational Research. 1999,11(5):254-269.
[12] 李军, 郭耀煌. 物流配送车辆优化调度理论与方法[M].北京：中国物资出版社, 2001.
[13] 刘奕青. 自动贩卖机存货途程问题之研究[D]. 私立元智大学工业工程与管理研究所. 2003.
[14] 马士华, 林勇, 陈志祥. 供应链管理[M].北京：机械工业出版社, 2000.
[15] 唐焕文, 贺明峰. 数学模型引论[M]. .北京：高等教育出版社, 2001.
[16] 王小平, 曹立明. 遗传算法——理论、应用与软件实现[M].西安：西安交通大学出版社, 2002.
（责任编辑：吕洪英）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词：存贮路径问题；遗传算法；多周期；随机需求
中图分类号：F224．9 文献标识码：A
Study on the IRP with Multi-period and Stochastic Demand Based on Genetic Algorithms
SUN Bin-feng, LV Xi-ong-wei, LI Jun
(School of Economics and Management, Southewest Jiaotong University, ChengDu, 610031, China)
Abstract:
The inventory routing problem refersto the inventoryand transportation control in uniform system under the traditional supply chain management. This paper focuses on the inventory routing problem with stochastics demand and multi-period time, and designs GA arithmetic to set up the mathematics model. It shows its reasonable results by anglicizing the orthogonal test.It also finds in the test thatcustomer demands, delivery vehicles and lead time affect the decision of the optimal delivery policies.
Key words:inventory routing problem; genetic algorithms; multi-period; stochastic demand
一、引言
库存控制与运输调度是运筹学研究的经典问题，目前的文献大多将二者作为单独的问题分别进行研究。存贮路径问题(Inventory Routing Problem, IRP)则将库存与运输两个相互影响的因素集成在一个问题中系统地加以分析，考虑由一个配送中心和若干个零售商组成的二阶配销系统，在给定的补货周期内确定零售商的库存策略及车辆的配送方案，实现系统总运行成本(库存保管费用，缺货损失成本，运输变动成本等)极小。在供应链管理思想普遍地为人们接受的今天，尤其是供应商管理库存(Vendor Managed Inventory, VMI)方法在各行各业的广泛应用[2-5; 7; 10; 11; 13]，IRP问题的研究更显示出它的应用价值，不仅能在监控客户库存水平的基础上制定具有实际价值的作业计划，更能实现供需双方双赢(Win-Win)的局面。
二、文献回顾及问题描述
（一）文献回顾
IRP问题最优策略的制定需要将系统内零售商的补货时间、补货数量与车辆配送路线联合考虑，是典型的NP难题[8]，涉及到经济学、运筹学、组合优化、运输管理与物流科学等众多学科。两阶段算法[6; 11]是处理该类问题常见的启发式方法，即将原问题分解成库存分配问题和路径问题加以求解，在取得初始可行解的基础上进行路线间的零售商交换，实现目标值的改进。Anily和Federgruen[1]采用固定分区准则(Fixed Partitiion Policies, FPP)首先将零售商按照地理位置或需求特性进行分组，然后在组内求解一个履行商问题(Travel Salesman Problem, TSP)。Roundy[9]提出power-of-two客户补货策略，以某客户补货时间间隔为基准，假定其它客户的补货周期为该基准间隔的2的幂倍，设计启发式算法进行求解。
现有IRP问题的求解方法在处理零售商库存的时候多采用“零库存”思想。考虑到车辆配送成本的影响，零售商的库存策略需要从系统整体上进行考虑，因此本文在分析多周期随机需求IRP问题的基础上，提出基于遗传算法[16](Genetic Algorithms, GA)的求解思路，利用二进制编码处理零售商的库存策略，并设计正交试验，分析需求、库存和运输等相关因素对最优补货策略的影响。
（二）问题描述
考虑由1个配送中心和N个零售商组成的二阶配销系统。配送中心负责零售商的库存管理，但不考虑配送中心库存相关成本。零售商库存容积Ci,客户需求概率密度为fi(x)，均值方差已知；允许缺货，但要付出一定的缺货损失；在周期t内，Ii(t)表示期初库存；配送中心给该零售商的补货量为Ri(t)，零售商实际需求为Di(t)。配送中心拥有K辆车，载重能力为Q，车辆固定出车成本为gk，负责零售商的产品配送。试确定计划期T内零售商的库存策略及配送中心运输方案。
假设：（1）零售商采用（ti,Ri）[14]库存策略；（2）零售商之间需求相互独立；（3）系统外部供应商供给能力无限；（4）零售商初始库存Ii(0)=Ri;（5）订货提前期LTi固定。
三、系统分析与模型建立
（一）零售商库存成本模型
通过对系统进行分析，不难发现在不考虑配送中心库存相关成本的条件下，系统库存成本是由所有零售商在计划期内产品的保管与缺货造成的损失构成的。
零售商i周期t的库存成本可以表示为：
（二）配送车辆运输模型
当确定了零售商i周期t内补货量Ri(t)之后，配送车辆运输模型可以用VRP问题[12]进行求解。为构造数学模型方便，将配送中心编号为0。定义变量如下：
其中，约束错误！未找到引用源。使得车辆承载的补货量不大于其容积；约束错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。确保每个客户在周期内最多只能被访问一次；约束错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。保证每辆车的配送路线不出现回路。
（三）系统成本模型
约束错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。可得整个IRP问题研究的二阶配销系统总成本表达式：
约束条件为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。
四、基于GA的算法设计
在配送中心监控系统内各零售商库存水平的基础上，零售商的库存策略主要确定补货时间和数量。针对研究问题周期特性，笔者在遗传算法(Genetic Algorithms, GA)的基础上进行算法设计。
（一）算法流程
步骤1：初始化。按照设定的零售商库存策略编码规则(见3．2)生成初始种群。
步骤2：从种群中选择某一零售商策略集作为当前研究对象。
步骤3：在计划期[1，T]内，根据库存策略，在客户需求变动的影响下，顺序生成多个补货任务，包括时间、数目及对应零售商三大属性值。
步骤4：对于时间属性值相同的补货任务，由车辆负责完成补货任务的分配，并执行。
步骤5：计算在该策略集下计划期T内的库存与运输费用总和，将其作为适应函数值赋予当前策略集。
步骤6：重复步骤Step2-Step5，直至当前种群内所有策略集都被试运行为止。
步骤7：利用遗传算法，在保有一定数量优秀补货策略的基础上产生新的种群，重复步骤Step2-Step6直至到达最大迭代次数；输出当前最优补货策略。
（二）编码规则
遗传算法进化过程是建立在编码规则基础上的，编码的优劣直接影响到算法的性能。笔者采用二进制方法对零售商库存策略进行编码，利用二进制编码快速的搜索能力寻找最优解。为了能让零售商的库存策略在进货过程中尽可能多的产生种群，将系统内零售商库存策略（t,R）同时编入一条染色体中，具体操作如下：
1.首先格式化补货周期，设定LenL个数字表示染色体中的补货周期，它满足以下要求:2LenL≤T≤2LenL+1,显然零售商在补货周期T至少完成一次补货。
2.最大补货量R可以用LenR个数字表述，其中2LenR≤C≤2LenR+1，C为零售商库存容积。
3.因此，系统零售商库存策略集合可以表示一条由N组上述编码数列组成的染色体。
假设系统内包括3家零售商，库存策略为(4,11)、（2,3）、(3,10)，则对应一条染色体：100 1011 10 11 11 1010。当然在具体算法实现时，中间是没有空格的。
（三）运输调度
笔者侧重点在于对零售商库存策略的确定，对于配送车辆运输调度计划可以采用Clarke-Wright提出的节约启发式算法进行处理。在文献[12]的提出的节约启发式算法基础上进行了修改，增加了车辆运载能力 的约束。
五、试验仿真设计与分析
（一）试验参数设计
考虑到一个由1个配送中心和10个零售商组成的二阶配送系统，各节点间距如表1所示；各零售商的年需求服从指数分布，运输费用为1元/公里，车辆固定费用为1000元/次。在实验设计中，笔者设计了4类不同控制参数以分析其对最终补货策略的影响，其中每类参数分别设置3个不同水平。如果各种不同的水平搭配，需要生成81种组合试验环境。为选出具有代表性试验环境作测试，选择正交表L9(34)[15]，共计9种组合试验环境。每种组合执行1年(1天为1个补货周期)，利用前文阐述方法计算得到补货策略和对应的库存与运输成本。为获得每一组试验稳定的目标值，共运行100次，取其平均值为该组合对应的实验观察值。具体控制参数设计见表2。
(二)仿真结果分析
表3给出了零售商在不同组合试验环境下的补货策略、成本及服务水平，其中服务水平不同于教材中的定义，它是客户需求的产品总量与补货量之间的比值。通过对该表的分析，可以得到下面重要的研究结论：[LM]
1.运输车辆的规格能降低系统总成本。由组(E1、E4、E7)，(E2、E5、E8)和(E3、E6、E9)可以发现车辆容积的增加能调整零售商的补货策略，有效利用运能进行联合配送，以降低整个系统的成本。
2.客户需求是影响系统成本的关键因素。从表3可以知道，随着客户需求变异系数的增大，零售商库存策略中的库存最大值R也逐渐增大，以消除变动需求带来的影响，增加了系统库存成本。
同时，也能从实验结果中看出客户需求变异率也影响着零售商的服务水平。
3.订货提前期影响着零售商的服务水平。从这9种组合试验环境中可以发现，提前期为2天的(E2、E6、E7)和提前期为3天的(E3、E4、E8)的客户服务水平是相对提前期为1天的组合要低一些。通过察看提前期为3天的组合，它又明显低于提前期为2天的组合，所以服务水平的高低与订货提前期的长短有绝对的关系。
4.单位保管费用与缺货损失比值越低，零售商的库存成本越会增加。从表3中可以发现，缺货损失成本越大，零售商存放足够的库存就能满足客户的需求，从而降低系统的总成本。
5.库存与运输的集成能极大的降低系统总成本。IRP问题研究的是在库存与运输的整合条件下的最优补货策略，从实验结果中可以得到：如果将库存与运输分别考虑，单独为每一个零售商进行配送，显然产生的运输成本高于集成后的运输成本。
六、小结与展望
笔者利用二进制编码处理零售商的补货策略，设计了基于遗传算法的多周期、随机需求IRP问题的求解步骤。正交试验结果表明，该方法能够得到零售商最优补货策略，从而有效求解多周期IRP问题。同时从设计的多种试验组合中得到客户需求变异率、采购提前期、运输容积等因素对补货策略的选择有着十分重要的影响。
笔者在设计与选择编码时，尽管能满足Balakrishman等提出的完全性、紧致性和可扩展性等要求[16]，但存在产生无效染色体的可能性，如在较差、变异时导致基因对应的补货策略t或R为0的情况。对于这种情况，笔者采取的是将其抛弃处理，因而存在着改进编码的空间。
参考文献：
[1] Anily, Shoshana, Federgruen, Awi. One Warehouse Multiple Retailer Systems with Vehicle Routing Costs[J]. Management Science. 1990,36(1):92-114.
[2] Baita, Flavio, Ukovich, Walter, Pesenti, Raffaele等. Dynamic Routing-and-Inventory Problems: A Review[J]. Transportation Science. 1998,32(8):585-598.
[3] Daganzo, C. F., F., Newell G. Physical Distribution from a Warehouse: Vehicle Coverage and Inventory Levels[J]. Transportation Research: Part B. 1985,19:397-407.
[4] Dror, Moshe, Ball, Michael, Golden, Burce L. A Computational Comparison of Algorithms for the Inventory Routing Problem[J]. Annals of Operations Research. 19854:3-23.
[5] Federgruen, Awi, Zipkin, Paul H. Allocation Policies and Cost Approximations for Multilocation Inventory Systems[J]. Naval Research Logistics. 1984,(31):97-129.
[6] Federgruen, Awi, Zipkin, Paul H. A Combined Vehicle Routing and Inventory Allocation Problem. Operation Research[J]. 1984,32(5):1019-1037.
[7] Herer, Yale, Levy, Roberto. The Metered Inventory Routing Problem, an Integrative Heuristic Algorithm[J]. International Journal of Production Economics. 1997,51:69-81.
[8] Reiman, Martin I., Rubio, Rodrigo, Wein, Lawrence M. Heavy Traffic Analysis of the Dynamic Stochastic Inventory-Routing Problem[J]. Transportation Science. 1999,33(4):361-380.
[9] Roundy, Robin. 98%-Effective Integer-Ratio Lot-Sizing for One-Warehouse Multi-Retailer System[J]. Management Science. 1985,31(11):1416-1429.
[10] Viswanathan, S., Mathur, Kamlesh. Integrating Routing and Inventroy Decisions in One-Warehouse Multiretailer Multiproduct Distribution Systems[J]. Management Science. 1997,43(3):294-312.
[11] Wendy, W. Qu, Bookbinder, James H., Iyogun, Paul. An Integrated Inventory-Transportation System with Modified Periodic Policy for Multiple Products[J]. European Journal of Operational Research. 1999,11(5):254-269.
[12] 李军, 郭耀煌. 物流配送车辆优化调度理论与方法[M].北京：中国物资出版社, 2001.
[13] 刘奕青. 自动贩卖机存货途程问题之研究[D]. 私立元智大学工业工程与管理研究所. 2003.
[14] 马士华, 林勇, 陈志祥. 供应链管理[M].北京：机械工业出版社, 2000.
[15] 唐焕文, 贺明峰. 数学模型引论[M]. .北京：高等教育出版社, 2001.
[16] 王小平, 曹立明. 遗传算法——理论、应用与软件实现[M].西安：西安交通大学出版社, 2002.
（责任编辑：吕洪英）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”