〔关键词〕 三角函数;换元公式;方程;不等式;参变量
　　〔中图分类号〕 G633.64 〔文献标识码〕 C
　　〔文章编号〕 1004—0463(2010)06(A)—0044—01
　　
　　三角函数的题目内容广泛、复杂,包括求值、化简、证明恒等式、求最值、求值域、解方程、解不等式以及求参变量的范围等.但一部分复杂题目应用下面的三角和积换元、三角差积换元公式,可以将三角式化为代数式,可达到三角和代数的转化沟通,优化解题过程的目的.
　　公式一:三角和积换元公式
　　sinα+cosα=t,sinα·cosα=■(t2-1)(t≤■).
　　公式二:三角差积换元公式
　　sinα-cosα=t,sinα·cosα=■(t2-1)(t≤■).
　　巧解含三角的方程
　　在解三角方程时,要善于进行结构式探究,从题目结构特点观察,采用类比方法,尽可能将三角问题转化为一元二次方程去解决,从而培养学生巧妙用三角代换进行代数转化的思维.
　　例1:解方程1g[4sinxcosx-(2+■)(sinx+cosx)+(3+■)]=0.
　　解:应用公式一,去底化简得:
　　2t2-(2+■)t+■=0,∴ t=1或t=■.
　　即sinx+cosx=1①或sinx+cosx=■②.
　　由①得:x=kπ±■-■(k∈Z),
　　由②得:x=kπ±■-■(k∈Z).
　　所以原方程的解集为:{x|x= kπ±■-■或x=kπ±■-■,k∈Z}.
　　巧解三角不等式
　　在解复杂的一些三角不等式时,要善于进行发现式探究,发现模型并寻求合理的三角代换,尽量将其转化为一元二次不等式,分步讨论去解决.
　　例2:对一切实数x不等式1g[■-■-sinθ+2]>0恒成立,试求θ的取值范围.
　　解:∵x2-x+1>0,∴原不等式可化为:
　　(cosθ- sinθ+1)x2-(cosθ- sinθ-4)x+(cosθ- sinθ+4)>0.
　　由公式二可得:(t-1)x2-(t+4)x+(t-4) <0,
　　①当t=1时,x>-■与x是一切实数相矛盾;
　　②当t≠1时,由t-1<0,△=(t+4)2-4(t-1)(t-4)<0|t|≤■,,
　　得:-■≤t<0,即:-■≤sinθ- cosθ<0.
　　所以,2kπ-■<θ<2kπ+■.
　　巧求参变量范围
　　在求解一些难度较大的含参变量题目时,应发掘学生的简化意识,把握问题转化的契机,及时进行代换化简,减少计算量,加快解题速度,从而提高学生的解题能力.
　　例3:若函数y=■对一切实数x恒成立 ,求实数k的取值范围.
　　解:由公式得:
　　■=■,
　　依题意只需满足f(t) = t2-(k-4)t+k-1≥0在[-■,■]上恒成立.现讨论如下:
　　①若△=(k-4)2-4(k-1)≤0,得:2≤k≤10;
　　②若△>0 ,■≤-■, f(-■) ≥0 , 得:无解;
　　
　　③若△>0, ■≥-■, f(■) ≥0,得:10　　综上所述得:2≤k≤9+5■.
　　结论:本文中仅举了解三角函数的方程、解不等式、求参变量范围等难度大、综合性强的题目,实际上还有一部分求值、化简、证明恒等式、求最值、求值域的题目,都可通过三角和积、差积换元公式,转化成特定区间[-■,■]上的代数问题,如:一元二次函数的方程,一元二次函数的值域问题,再利用分类讨论,使问题简捷、明快、易解.