生活中的反比例函数

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  函数是刻画事物变化规律最有效、最有力的工具,函数思想贯穿于生活的每一方面.构建函数模型,是解决日常生活中实际问题最常用的手段.初中阶段的反比例函数便是其中一个典型的模型.
  财主和帽子
  古时候,有一个贪婪的财主,拿了一块上好的布料准备做一顶帽子.到了裁缝店,这位财主觉得这么好的布料做一顶帽子似乎浪费了,于是问裁缝:“这块布可以做两顶帽子吗?”裁缝看了财主一眼,说:“可以.”财主见他回答得那么爽快,心想,这裁缝肯定从中占了些便宜,于是又问:“那做3顶帽子呢?”裁缝依然很爽快地说:“行!”这时,财主更加疑惑了,嘀咕着:“多好的一块布啊!那我做4顶可以吗?”“行!”裁缝仍然很快地回答.经过一番较量后,财主最后问:“那我想做10顶帽子可以吗?”裁缝迟疑了一会儿,然后打量着财主,慢慢地说:“可以的.” 这时,财主才放心,他心想,这块布料如果只做一顶帽子,那就便宜裁缝了,瞧,我说到10顶了吧,我还真聪明!嘿嘿……过了几天,财主到了裁缝店取帽子,结果一看,顿时傻了眼:10顶帽子小得只能戴在手指头上了!
  每顶帽子的用布量×帽子数=布匹的总量,因为这块布不变,所以如果帽子数多了,裁缝同样可以去裁剪,只是每頂帽子相对就小了.通过这个故事,我们对反比例的概念就不难理解了.
  商品买卖
  某中学组织学生到商场参加社会实践活动:参与某种品牌运动鞋的销售工作.已知该运动鞋每双进价为120元,商场为寻求合适的销售价格进行了4天试销,试销情况如下所示:
  [ 第1天 第2天 第3天 第4天 售价x(元/双) 150 200 250 300 销售量y(双) 40 30 24 20 ]
  观察表中数据,x,y满足什么函数关系?如果商场计划每天的销售利润为3000元,则运动鞋单价应定为多少元?
  我们由表中数据可以得出xy=6000,所以y=[6000x],即y是x的反比例函数.如果商场计划每天的销售利润为3000元,即(x-120)y=3000,把y=[6000x]代入,得x=240,经检验,x=240是所列方程的根,所以运动鞋单价应定为240元.
  工业生产与反比例函数
  环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改,并且在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中,该企业所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图1所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.那么,整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式是什么?该企业在15天以内是否能整改合格?
  这里我们要分情况讨论了.当0≤x≤3时,设线段AB对应的函数表达式为y=kx b,把A(0,10),B(3,4)代入,便可得到y=-2x 10;当x>3时,设y=[mx],把B(3,4)代入,得y=[12x].若该企业所排污水中硫化物的浓度在15天以内正好达到最高允许的1.0mg/L,则可令y=[12x=1],得出x=12<15,故该企业能在15天以内整改合格.
  利用反比例函数模型解决实际问题能够锻炼我们的“应用意识”,同时对我们分析问题和解决问题能力的培养也大有帮助.
  (作者单位:江苏省常州市武进区潘家初级中学)
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