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摘要：教育学家波利亚说得好：“学习任何知识的最佳途径即是由自己去发现，因为这种发现，理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.” 在教学时，尽力把学习主动权交给学生，让学生在自主探索中学到知识，掌握方法，提高能力. 同时引导学生在生活中寻找数学，用数学知识解决生活中的实际问题，体会数学的发现和创造过程，加深对数学本质的理解，激发学习数学的兴趣.
关键词：解决问题；引导；巩固
教材内容的分析
1． 教材内容
本节课是人教版高中数学（实验修订本•必修）第二册（上册）第八章“圆锥曲线方程”第一节“椭圆及其标准方程”的第一课时.其主要内容是研究椭圆的定义、标准方程及其初步应用.
2. 教材的地位及作用
“椭圆及其标准方程”是在学生已学过集合与对应、函数的图象与性质、曲线与方程、坐标平面上的直线、圆等基础上，对“由已知条件求曲线的方程，再从所得方程来研究曲线的几何性质”的解析法的进一步深化，同时是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下.
第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用. 前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法.
第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想. 而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习.
第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础.
3. 教学的重、难点
重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
因为椭圆的定义和标准方程是解决与椭圆有关问题的重要依据，也是研究双曲线和抛物线的基础. 解决办法是用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调，对椭圆的标准方程单独列出加以比较．
难点：椭圆的标准方程的推导．
因为学生推理归纳能力较低，在推导椭圆的标准方程时涉及根式的两次平方，并且运算也较繁. 解决办法是对题目进行推导，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．
疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．
解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．
教材目标的确定
1. 教情、学情分析
高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用. 而高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，乐于探索、敢于探究，但逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待训练.
2. 教学目标
根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要，特将教学目标分为知识目标、能力目标和情感目标.
知识目标：掌握椭圆定义和椭圆标准方程的概念，能根据椭圆标准方程求焦距和焦点，初步掌握求椭圆标准方程的方法.
能力目标：培养学生灵活应用知识的能力；培养学生全面分析问题和解决问题的能力；培养学生快速准确的运算能力.
情感目标：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想.
教法与学法
1. 教法
为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动而愉快地学习，更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用教师引导学生自主探究的教学方法，按照“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学.
2. 学法指导
在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间. 让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识.
教学过程的设计
1. 创设情境，复习引入
以“嫦娥奔月”引入
2007年10月24日中国“嫦娥”一号卫星成功实现第一次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度约210 千米，远月点高度约8 600 千米，且以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道. 已知月球半径约3 475 千米，你能求出“嫦娥”一号卫星运行的轨迹方程吗？
图1
设计意图是以人造地球卫星的运行轨道引入，让学生先对椭圆有一个直观地了解，使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习爱好. 再通过对圆的形成过程和圆方程的建立过程的回忆，以类比的方法探索平面上有规律的动点运动轨迹.
2. 动手实验，归纳概念
教师可事先预备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆. 在此基础上，引导学生概括椭圆的定义. （板书）
学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数，教师在演示中要从两个方面加以强调.
（1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件“在平面内”．
（2）这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意，若常数=F1F2，则是线段F1F2；若常数＜F1F2，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件“此常数大于F1F2”．
设计意图是以活动为载体，让学生通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验. 让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.
3. 启发引导，推导方程
由于学生已经具备了求曲线方程的经验，所以在教学中引导学生运用类比思想，探求椭圆标准方程. 主要分以下几个步骤.
（1）?摇建立直角坐标系，设出动点的坐标
引导学生根据建立坐标系的一般原则，使点的坐标、几何量的表达式简单化，并使得到的方程具有“对称美”“简洁美”的特点，选择适当的直角坐标系. 并设出动点M的坐标及相关常数.
（2）写出动点M满足的集合
根据动点的运动规律，写出动点运动所满足的方程，得到椭圆标准方程的雏形+=2a.
（3）化简
带根式的方程的化简，学生会感到困难，这也是教学的一个难点. 特别是由点适合的条件列出的方程为两个二次根式的和等于一个非零常数的形式，化简时要进行两次平方，且方程中字母多，次数高，初中代数中没有做过这样的题目，教学时，要注意说明这类方程的化简方法.
（4）归纳小结
这样用坐标法推导出了椭圆的标准方程，也是求曲线方程的一般方法，总结步骤为：建系设点，写出动点满足的集合，列式，化简.
设计意图：在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想，并感受椭圆方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！
拓展引申，对比分析
引导学生经过观察思考发现，只要交换坐标轴就可以得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程. 再通过表格的形式，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解.
设计意图是通过对比总结，不仅使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解，有助于教学目标的实现，而且使学生体会和学习类比的思想方法，为后边双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础.
运用拓展、提高能力
例题研究及学生练习是进一步理解基础知识，提高解题技能的重要途径；也是应用和拓展知识进一步提高能力的最关键性环节. 根据学生已有的知识经验和认知水平，本节课选择和设计以下例题与练习.
例1判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距.
（1）+=1；
（2）+=1；
（3）3x2+4y2=1；
（4）x2+=1.
例1是根据教学需要增设的一道题，目的是加深学生对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时掌握焦点坐标、焦距等基本量的运算技能.教学时采用教师引导下学生自主完成的方法.
例2求适合下列条件的椭圆标准方程.
（1）两个焦点的坐标分别为（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
（2）已知椭圆的焦距是6，椭圆上的一点到两焦点距离的和等于10.
例2（1）小题是教材上的例题，设计目的是进一步理解椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系，并掌握运用待定系数法求椭圆标准方程的方法. （2）小题是（1）的变式题，其目的是对学生进行分类讨论数学思想的渗透,达到拓展知识、提高能力的目的. 其中（1）小题在师生共同分析的基础上，教师详细板书，给学生一个解题的规范示例.
课堂练习
（1）课本练习，课本第95~96页中的第2、3题；
（2）已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F的直线交椭圆于M、N两点，则△MNF2的周长为；
（3）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是?摇.
回顾反思，提升经验
总结是把数学知识与技能以“同化”或“顺应”的形式纳入认知结构的重要步骤,也是提高学生归纳、总结以及语言组织与表达等方面能力的重要途径.引导学生注意以下几点.
（1）椭圆有互相垂直的两条对称轴（由直观性看出）；其焦点总是在较长的对称轴上；
（2）若椭圆的对称轴是坐标轴，则其方程为椭圆的标准方程. 反之，椭圆的标准方程表示的椭圆其对称轴是坐标轴；
（3）椭圆的两种标准方程中，总是a>b，即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上；反之，焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大；
（4）始终满足c2=a2-b2，如果焦点在x轴上，焦点坐标是（-c，0），（c，0）；如果焦点在y轴上，焦点坐标是（0，-c），（0，c）.
说课总结
这节课使用计算机网络技术，展现知识的发生过程，是学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣. 注重数学科学研究方法的掌握，是研究性教学的一次有益尝试. 有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于学生的实践能力和创新意识的培养.
关键词：解决问题；引导；巩固
教材内容的分析
1． 教材内容
本节课是人教版高中数学（实验修订本•必修）第二册（上册）第八章“圆锥曲线方程”第一节“椭圆及其标准方程”的第一课时.其主要内容是研究椭圆的定义、标准方程及其初步应用.
2. 教材的地位及作用
“椭圆及其标准方程”是在学生已学过集合与对应、函数的图象与性质、曲线与方程、坐标平面上的直线、圆等基础上，对“由已知条件求曲线的方程，再从所得方程来研究曲线的几何性质”的解析法的进一步深化，同时是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下.
第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用. 前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法.
第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想. 而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习.
第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础.
3. 教学的重、难点
重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
因为椭圆的定义和标准方程是解决与椭圆有关问题的重要依据，也是研究双曲线和抛物线的基础. 解决办法是用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调，对椭圆的标准方程单独列出加以比较．
难点：椭圆的标准方程的推导．
因为学生推理归纳能力较低，在推导椭圆的标准方程时涉及根式的两次平方，并且运算也较繁. 解决办法是对题目进行推导，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．
疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．
解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．
教材目标的确定
1. 教情、学情分析
高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用. 而高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，乐于探索、敢于探究，但逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待训练.
2. 教学目标
根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要，特将教学目标分为知识目标、能力目标和情感目标.
知识目标：掌握椭圆定义和椭圆标准方程的概念，能根据椭圆标准方程求焦距和焦点，初步掌握求椭圆标准方程的方法.
能力目标：培养学生灵活应用知识的能力；培养学生全面分析问题和解决问题的能力；培养学生快速准确的运算能力.
情感目标：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想.
教法与学法
1. 教法
为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动而愉快地学习，更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用教师引导学生自主探究的教学方法，按照“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学.
2. 学法指导
在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间. 让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识.
教学过程的设计
1. 创设情境，复习引入
以“嫦娥奔月”引入
2007年10月24日中国“嫦娥”一号卫星成功实现第一次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度约210 千米，远月点高度约8 600 千米，且以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道. 已知月球半径约3 475 千米，你能求出“嫦娥”一号卫星运行的轨迹方程吗？
图1
设计意图是以人造地球卫星的运行轨道引入，让学生先对椭圆有一个直观地了解，使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习爱好. 再通过对圆的形成过程和圆方程的建立过程的回忆，以类比的方法探索平面上有规律的动点运动轨迹.
2. 动手实验，归纳概念
教师可事先预备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆. 在此基础上，引导学生概括椭圆的定义. （板书）
学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数，教师在演示中要从两个方面加以强调.
（1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件“在平面内”．
（2）这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意，若常数=F1F2，则是线段F1F2；若常数＜F1F2，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件“此常数大于F1F2”．
设计意图是以活动为载体，让学生通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验. 让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.
3. 启发引导，推导方程
由于学生已经具备了求曲线方程的经验，所以在教学中引导学生运用类比思想，探求椭圆标准方程. 主要分以下几个步骤.
（1）?摇建立直角坐标系，设出动点的坐标
引导学生根据建立坐标系的一般原则，使点的坐标、几何量的表达式简单化，并使得到的方程具有“对称美”“简洁美”的特点，选择适当的直角坐标系. 并设出动点M的坐标及相关常数.
（2）写出动点M满足的集合
根据动点的运动规律，写出动点运动所满足的方程，得到椭圆标准方程的雏形+=2a.
（3）化简
带根式的方程的化简，学生会感到困难，这也是教学的一个难点. 特别是由点适合的条件列出的方程为两个二次根式的和等于一个非零常数的形式，化简时要进行两次平方，且方程中字母多，次数高，初中代数中没有做过这样的题目，教学时，要注意说明这类方程的化简方法.
（4）归纳小结
这样用坐标法推导出了椭圆的标准方程，也是求曲线方程的一般方法，总结步骤为：建系设点，写出动点满足的集合，列式，化简.
设计意图：在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想，并感受椭圆方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！
拓展引申，对比分析
引导学生经过观察思考发现，只要交换坐标轴就可以得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程. 再通过表格的形式，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解.
设计意图是通过对比总结，不仅使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解，有助于教学目标的实现，而且使学生体会和学习类比的思想方法，为后边双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础.
运用拓展、提高能力
例题研究及学生练习是进一步理解基础知识，提高解题技能的重要途径；也是应用和拓展知识进一步提高能力的最关键性环节. 根据学生已有的知识经验和认知水平，本节课选择和设计以下例题与练习.
例1判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距.
（1）+=1；
（2）+=1；
（3）3x2+4y2=1；
（4）x2+=1.
例1是根据教学需要增设的一道题，目的是加深学生对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时掌握焦点坐标、焦距等基本量的运算技能.教学时采用教师引导下学生自主完成的方法.
例2求适合下列条件的椭圆标准方程.
（1）两个焦点的坐标分别为（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
（2）已知椭圆的焦距是6，椭圆上的一点到两焦点距离的和等于10.
例2（1）小题是教材上的例题，设计目的是进一步理解椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系，并掌握运用待定系数法求椭圆标准方程的方法. （2）小题是（1）的变式题，其目的是对学生进行分类讨论数学思想的渗透,达到拓展知识、提高能力的目的. 其中（1）小题在师生共同分析的基础上，教师详细板书，给学生一个解题的规范示例.
课堂练习
（1）课本练习，课本第95~96页中的第2、3题；
（2）已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F的直线交椭圆于M、N两点，则△MNF2的周长为；
（3）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是?摇.
回顾反思，提升经验
总结是把数学知识与技能以“同化”或“顺应”的形式纳入认知结构的重要步骤,也是提高学生归纳、总结以及语言组织与表达等方面能力的重要途径.引导学生注意以下几点.
（1）椭圆有互相垂直的两条对称轴（由直观性看出）；其焦点总是在较长的对称轴上；
（2）若椭圆的对称轴是坐标轴，则其方程为椭圆的标准方程. 反之，椭圆的标准方程表示的椭圆其对称轴是坐标轴；
（3）椭圆的两种标准方程中，总是a>b，即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上；反之，焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大；
（4）始终满足c2=a2-b2，如果焦点在x轴上，焦点坐标是（-c，0），（c，0）；如果焦点在y轴上，焦点坐标是（0，-c），（0，c）.
说课总结
这节课使用计算机网络技术，展现知识的发生过程，是学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣. 注重数学科学研究方法的掌握，是研究性教学的一次有益尝试. 有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于学生的实践能力和创新意识的培养.