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1数学研究性学习的内涵
研究性学习是一种重要的数学学习方式.其广义是指学生对数学问题进行主动探究的课程或活动.狭义是指在数学教师的指导下，学生根据自己的兴趣爱好，结合自己的学习和生活，自主选择数学研究课题，以主动探究的姿态和类似科学研究的方式，探究得出自己的结论.数学研究性学习作为在数学学科背景下开展的研究性学习方式，它能为学生的数学学习和研究提供自由的探索和创造氛围，也为数学的应用提供有效的实践途径.
2数学模型化思维的内涵及应用背景
数学模型化思维是高中数学教学中的一种重要的思维方法，是形成数学建模过程与方法的基础，这种思维最突出的特点是要求学生具有较强的模型识别和转化能力，注重从现象到本质，从直观到抽象，把实际问题进行提炼，加工，转换成数学问题.再用数学知识和经验将数学问题解出，然后用数学问题的答案说明和解释实际问题.
普通高中数学课程标准重视用模型化思维去培养学生的数学建模能力，数学建模（Mathematical Modeling）即建立数学模型的过程，它是一种数学的思维方法，一种以数学为工具，用数学解决实际问题的方法，包括对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型、求解数学模型、验证数学模型解的求解全过程[1].当下，随着数学建模竞赛非常流行和受关注，数学模型化思维已深深地渗透和蕴涵在高中数学教学和对学生的思维能力培养之中.加之近几年高考数学题中数学应用问题、数学开放题越来越受到人们的关注，教师更应该自觉地、主动地培养学生的数学模型化思维.3高中数学模型化思维在研究性学习中应用的理性分析
3.1数学模型化是数学建模的思维形式，而数学建模本身也是一种研究性学习
一方面，数学建模是让数学与现实生活之间基于数学语言和数学模型的转化建立通向问题解决之路的大道.而数学模型化是数学建模的思维形式，研究性学习所关注的实际问题无法直接用数学方法解决，因为实际问题需要先被抽象为可以解决的数学问题，数学模型化思维的作用正是如此.另一方面，数学建模本身也是一种研究性学习，因为它强调学生对问题自主探究，学生通过分析和理解实际问题或预先设计的问题情境，把握问题中的核心内涵并建立数学模型，这个过程伴随着学生对数学知识的运用和学生问题意识的培养，这也正是研究性学习所提倡的.
3.2数学模型化思维具有开放性与发展性，促使研究性学习在实践中得到拓展
数学模型化思维与研究性学习的结合让学生突破了以教室、教师、教材为中心的传统教学观念.由于研究性学习让学生走出课堂，面对现实社会，学习环境是开放、多元的，而数学模型化思维的开放性和发展性正是让开放的现实生活与数学建立联系.运用数学模型化思维的目的是让学生学会利用自己的数学知识和数学经验去解决现实生活中的实际问题.整个过程培养了学生的问题意识，分析问题、解决问题的能力，更重要的是培养了创新能力[2].
3.3数学模型化思维应用于研究性学习，可以形成研究数学问题的一种新模式
将数学模型化思维应用于研究性学习，可以表征为：抽象—符号—应用的基本模式.学生在探索、获得数学模型的过程中，不仅应用了所学的数学知识，也同时获得了构建数学模型、解决实际问题的思想、程序与方法，这对于学生的思维发展来说，其意义远大于仅仅获得数学知识本身.通过这种研究数学问题的模式的训练，可以培养学生的提出问题、分析问题以及运算求解和验证推广能力，让学生体会数学家的研究过程、创造的激情，有助于培养学生敢于质疑、勤于反思的思想和习惯，发展学生的创新意识和实践能力，养成严谨的科学态度和不畏艰难的科学精神[3].4高中数学模型化思维在研究性学习的应用的一般程序
4.1知识背景准备阶段
首先让学生明确进行研究性学习的目标、操作步骤和方法，以及本次学习活动的意义.教师开始对整个研究性学习过程做全程监控.
4.2选题阶段
学生根据自己的兴趣爱好，社会热点等从现实生活中自由选题，或者教师根据教材所学内容为学生提供与所学知识联系紧密的实际问题.
4.3制定计划，分工合作
将研究性学习各时期任务合理分配给小组成员，可根据个人意愿、兴趣自由分配.
4.4搜集分析资料，丰富研究背景
学生根据研究课题搜集资料，做调查研究，明确此次研究所用到的数学知识并整理做好研究准备.
4.5运用数学模型化思维实施研究性学习
（1）跟据生活经验，将现实问题通过自己的理解改造为现实模型.
（2）依据数学知识，将现实模型抽象概括为数学模型.
（3）运用数学思想和运算求解方法将数学模型的解解出.
（4）将数学模型的解还原为现实模型的答案，并就其转换关系做合理解释.
（5）依据现实模型的解为原现实问题做答，并检验判断是否符合实际，以作进一步修改[4].
4.6处理结果，书写研究课题报告
在教师的指导下将研究成果做规范化整理并形成书面报告.
4.7自我评价与同学互评，形成资源共享
对研究成果分别进行自我评价和同学互评，找出优点与不足之处，相互吸取借鉴经验，整个过程使得每位同学的研究性学习成果形成资源共享.
4.8教师点评并作研究总结
教师对研究成果进行点评，更要对学生在整个研究性学习过程中表现出的亮点及不足点出，从而促进学生进步，使其认识到研究性学习的价值.5案例分析
在学习数列这一章的时候，教师布置了一个研究性学习任务，让同学们在生活中找出与数列有关的事物，抽象成问题，并用数学建模的方法将问题解出.
有一个小组的同学根据教师的要求，细心观察生活，发现生活中的养老金问题可以抽象为数列问题.然后小组成员分工合作，搜集关于养老金问题的资料，得到一个问题素材： 某位青年已经工作了几年，从开始工作就参加了养老保险.他每年年末存入等差额年金p元，第一年末存入了p元，第2年末存入了2p元，……，第n年末需要存入np元，年利率为r，则第n 1年初他可以一次性获得养老金本利合计多少元？
案例分析在数学教学中由浅入深、由易到繁地运用模型法思想，不仅可以强化学生对数学基础知识的学习，还可以培养数学应用意识，提高学生的实践能力.本例中的这一组同学通过分析认为这个问题可以抽象为“数列模型”，运用数列的解题方法将其解出.从简单问题入手，引导学生学会运用转化思想建立数学模型，使实际问题具体化、数学化，然后运用数学方法求出了数学模型的解，从而使问题得到解决.以下是解题过程：
这人各年存款数本利合计为
p（1 r）n-1，2p（1 r）n-2，…，n-1p1 r，np
所以第n 1年初他有本利合计为
n=p（1 r）n-1 2p（1 r）n-2 … n-1p1 r np①
11 r×①，得
11 rn=p1 rn-2 2p1 rn-3 … n-1p np1 r②
①-②，得
r1 rn=p（1 r）n-1 p（1 r）n-2 … p-np1 r，
即
r1 rn=p[（1 r）n-1]r-np1 r，
所以
n=p[（1 r）n 1-n 1r-1]r2.
所以，第n 1年初他可以一次性获得养老金本利合计n=p[（1 r）n 1-n 1r-1]r2元.
这组同学在数学课上将自己的研究过程展示给全班同学，其他同学了解了他们的学习情况后，对有关问题进行评价和提问，这组同学为其解答，最后教师对整个过程做出评价，指出这组同学此次研究性学习的优点与不足之处，也为其他同学提供了一次学习的机会[5].
在解决本题的过程中，学生们真正感受到了数学模型化思维方法的魅力，数学的应用价值；感受到了数学模型法使许多数学问题不再神秘莫测，能够顺利求解.数学模型法促使学生学会观察、分析、综合、概括、归纳、类比、判断，学会怎样应用数学、怎样学习数学.6值得注意的几个问题
6.1注重培养学生的元认知能力
“元认知”即“对认知的认知”，是学生学习的自我意识和自我监控能力.在运用数学模型化思维于研究性学习之中时，教师应放手让学生去独立进行，研究性学习是学生根据自己的学习能力，学习任务的具体要求，积极主动地调整自己的学习策略，对自己的整个学习过程起到有效的监控与调节.并在学习的最后，让学生进行自我审视，自我评价.
6.2数学教师面临更高的要求
数学模型化思维应用于研究性学习，克服了传统教学方法的弊端，同时它也给数学教师提出了更高的要求.在建模研究的过程中，数学教师要比学生更加扩大知识面，收集更多有用的信息和学生可能用到的数学工具，在开放的情境中把握方向，引领学生.面对不同的学习活动、不同的学生，实施灵活并且积极的教学评价，让学生在学习实战中增强自信心.
6.3重视引导反思，内化新知
数学模型化思维应用于研究性学习，既要重视过程中学生的思维的发散性、开放性，又要重视后期阶段的反思、提炼和思维的聚合性.因此，教师应善于捕捉思维的恰当时机，引导学生做到收发有度，聚焦本质，促进研究性学习目标的有效达成.同时，教师要充分发挥问题驱动的作用，有意识地引导学生对自己、对别人的研究性学习过程和结果进行反思概括，这样才能达到内化新知，新旧知识建立联结，促进同化与顺应过程的实现.参考文献[1]夏师.关于在数学建模教学中开展研究性学习的思考＼[J＼].教育与职业，2010，（12）：96-97.
[2]刘鲁文，黄娟.数学建模研究型学习理论架构与实践模式探讨＼[J＼].长江大学学报，2010，7（3）：688-690.
[3]白兴波.数学建模与中学生研究性学习能力的培养＼[J＼].江西金融职工大学学报，2006，19：305-306.
[4]张硕，石俊娟.关于数学建模与数学研究性学习的研究＼[A＼].全国高师会数学教育研究会2006年学术年会论文集＼[C＼].2006.
[5]兰永胜.数学思想方法与建模技巧＼[M＼].青岛：青岛海洋大学出版社，2000：226-229.
作者简介傅海伦，男，1970年生，山东曹县人，山东师范大学数学科学学院课程与教学论（数学）博士生导师，教授.王浩，男，1991年生，全日制教育硕士研究生.晁冉冉，女，1990年生，课程与教学论（数学）硕士研究生.
研究性学习是一种重要的数学学习方式.其广义是指学生对数学问题进行主动探究的课程或活动.狭义是指在数学教师的指导下，学生根据自己的兴趣爱好，结合自己的学习和生活，自主选择数学研究课题，以主动探究的姿态和类似科学研究的方式，探究得出自己的结论.数学研究性学习作为在数学学科背景下开展的研究性学习方式，它能为学生的数学学习和研究提供自由的探索和创造氛围，也为数学的应用提供有效的实践途径.
2数学模型化思维的内涵及应用背景
数学模型化思维是高中数学教学中的一种重要的思维方法，是形成数学建模过程与方法的基础，这种思维最突出的特点是要求学生具有较强的模型识别和转化能力，注重从现象到本质，从直观到抽象，把实际问题进行提炼，加工，转换成数学问题.再用数学知识和经验将数学问题解出，然后用数学问题的答案说明和解释实际问题.
普通高中数学课程标准重视用模型化思维去培养学生的数学建模能力，数学建模（Mathematical Modeling）即建立数学模型的过程，它是一种数学的思维方法，一种以数学为工具，用数学解决实际问题的方法，包括对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型、求解数学模型、验证数学模型解的求解全过程[1].当下，随着数学建模竞赛非常流行和受关注，数学模型化思维已深深地渗透和蕴涵在高中数学教学和对学生的思维能力培养之中.加之近几年高考数学题中数学应用问题、数学开放题越来越受到人们的关注，教师更应该自觉地、主动地培养学生的数学模型化思维.3高中数学模型化思维在研究性学习中应用的理性分析
3.1数学模型化是数学建模的思维形式，而数学建模本身也是一种研究性学习
一方面，数学建模是让数学与现实生活之间基于数学语言和数学模型的转化建立通向问题解决之路的大道.而数学模型化是数学建模的思维形式，研究性学习所关注的实际问题无法直接用数学方法解决，因为实际问题需要先被抽象为可以解决的数学问题，数学模型化思维的作用正是如此.另一方面，数学建模本身也是一种研究性学习，因为它强调学生对问题自主探究，学生通过分析和理解实际问题或预先设计的问题情境，把握问题中的核心内涵并建立数学模型，这个过程伴随着学生对数学知识的运用和学生问题意识的培养，这也正是研究性学习所提倡的.
3.2数学模型化思维具有开放性与发展性，促使研究性学习在实践中得到拓展
数学模型化思维与研究性学习的结合让学生突破了以教室、教师、教材为中心的传统教学观念.由于研究性学习让学生走出课堂，面对现实社会，学习环境是开放、多元的，而数学模型化思维的开放性和发展性正是让开放的现实生活与数学建立联系.运用数学模型化思维的目的是让学生学会利用自己的数学知识和数学经验去解决现实生活中的实际问题.整个过程培养了学生的问题意识，分析问题、解决问题的能力，更重要的是培养了创新能力[2].
3.3数学模型化思维应用于研究性学习，可以形成研究数学问题的一种新模式
将数学模型化思维应用于研究性学习，可以表征为：抽象—符号—应用的基本模式.学生在探索、获得数学模型的过程中，不仅应用了所学的数学知识，也同时获得了构建数学模型、解决实际问题的思想、程序与方法，这对于学生的思维发展来说，其意义远大于仅仅获得数学知识本身.通过这种研究数学问题的模式的训练，可以培养学生的提出问题、分析问题以及运算求解和验证推广能力，让学生体会数学家的研究过程、创造的激情，有助于培养学生敢于质疑、勤于反思的思想和习惯，发展学生的创新意识和实践能力，养成严谨的科学态度和不畏艰难的科学精神[3].4高中数学模型化思维在研究性学习的应用的一般程序
4.1知识背景准备阶段
首先让学生明确进行研究性学习的目标、操作步骤和方法，以及本次学习活动的意义.教师开始对整个研究性学习过程做全程监控.
4.2选题阶段
学生根据自己的兴趣爱好，社会热点等从现实生活中自由选题，或者教师根据教材所学内容为学生提供与所学知识联系紧密的实际问题.
4.3制定计划，分工合作
将研究性学习各时期任务合理分配给小组成员，可根据个人意愿、兴趣自由分配.
4.4搜集分析资料，丰富研究背景
学生根据研究课题搜集资料，做调查研究，明确此次研究所用到的数学知识并整理做好研究准备.
4.5运用数学模型化思维实施研究性学习
（1）跟据生活经验，将现实问题通过自己的理解改造为现实模型.
（2）依据数学知识，将现实模型抽象概括为数学模型.
（3）运用数学思想和运算求解方法将数学模型的解解出.
（4）将数学模型的解还原为现实模型的答案，并就其转换关系做合理解释.
（5）依据现实模型的解为原现实问题做答，并检验判断是否符合实际，以作进一步修改[4].
4.6处理结果，书写研究课题报告
在教师的指导下将研究成果做规范化整理并形成书面报告.
4.7自我评价与同学互评，形成资源共享
对研究成果分别进行自我评价和同学互评，找出优点与不足之处，相互吸取借鉴经验，整个过程使得每位同学的研究性学习成果形成资源共享.
4.8教师点评并作研究总结
教师对研究成果进行点评，更要对学生在整个研究性学习过程中表现出的亮点及不足点出，从而促进学生进步，使其认识到研究性学习的价值.5案例分析
在学习数列这一章的时候，教师布置了一个研究性学习任务，让同学们在生活中找出与数列有关的事物，抽象成问题，并用数学建模的方法将问题解出.
有一个小组的同学根据教师的要求，细心观察生活，发现生活中的养老金问题可以抽象为数列问题.然后小组成员分工合作，搜集关于养老金问题的资料，得到一个问题素材： 某位青年已经工作了几年，从开始工作就参加了养老保险.他每年年末存入等差额年金p元，第一年末存入了p元，第2年末存入了2p元，……，第n年末需要存入np元，年利率为r，则第n 1年初他可以一次性获得养老金本利合计多少元？
案例分析在数学教学中由浅入深、由易到繁地运用模型法思想，不仅可以强化学生对数学基础知识的学习，还可以培养数学应用意识，提高学生的实践能力.本例中的这一组同学通过分析认为这个问题可以抽象为“数列模型”，运用数列的解题方法将其解出.从简单问题入手，引导学生学会运用转化思想建立数学模型，使实际问题具体化、数学化，然后运用数学方法求出了数学模型的解，从而使问题得到解决.以下是解题过程：
这人各年存款数本利合计为
p（1 r）n-1，2p（1 r）n-2，…，n-1p1 r，np
所以第n 1年初他有本利合计为
n=p（1 r）n-1 2p（1 r）n-2 … n-1p1 r np①
11 r×①，得
11 rn=p1 rn-2 2p1 rn-3 … n-1p np1 r②
①-②，得
r1 rn=p（1 r）n-1 p（1 r）n-2 … p-np1 r，
即
r1 rn=p[（1 r）n-1]r-np1 r，
所以
n=p[（1 r）n 1-n 1r-1]r2.
所以，第n 1年初他可以一次性获得养老金本利合计n=p[（1 r）n 1-n 1r-1]r2元.
这组同学在数学课上将自己的研究过程展示给全班同学，其他同学了解了他们的学习情况后，对有关问题进行评价和提问，这组同学为其解答，最后教师对整个过程做出评价，指出这组同学此次研究性学习的优点与不足之处，也为其他同学提供了一次学习的机会[5].
在解决本题的过程中，学生们真正感受到了数学模型化思维方法的魅力，数学的应用价值；感受到了数学模型法使许多数学问题不再神秘莫测，能够顺利求解.数学模型法促使学生学会观察、分析、综合、概括、归纳、类比、判断，学会怎样应用数学、怎样学习数学.6值得注意的几个问题
6.1注重培养学生的元认知能力
“元认知”即“对认知的认知”，是学生学习的自我意识和自我监控能力.在运用数学模型化思维于研究性学习之中时，教师应放手让学生去独立进行，研究性学习是学生根据自己的学习能力，学习任务的具体要求，积极主动地调整自己的学习策略，对自己的整个学习过程起到有效的监控与调节.并在学习的最后，让学生进行自我审视，自我评价.
6.2数学教师面临更高的要求
数学模型化思维应用于研究性学习，克服了传统教学方法的弊端，同时它也给数学教师提出了更高的要求.在建模研究的过程中，数学教师要比学生更加扩大知识面，收集更多有用的信息和学生可能用到的数学工具，在开放的情境中把握方向，引领学生.面对不同的学习活动、不同的学生，实施灵活并且积极的教学评价，让学生在学习实战中增强自信心.
6.3重视引导反思，内化新知
数学模型化思维应用于研究性学习，既要重视过程中学生的思维的发散性、开放性，又要重视后期阶段的反思、提炼和思维的聚合性.因此，教师应善于捕捉思维的恰当时机，引导学生做到收发有度，聚焦本质，促进研究性学习目标的有效达成.同时，教师要充分发挥问题驱动的作用，有意识地引导学生对自己、对别人的研究性学习过程和结果进行反思概括，这样才能达到内化新知，新旧知识建立联结，促进同化与顺应过程的实现.参考文献[1]夏师.关于在数学建模教学中开展研究性学习的思考＼[J＼].教育与职业，2010，（12）：96-97.
[2]刘鲁文，黄娟.数学建模研究型学习理论架构与实践模式探讨＼[J＼].长江大学学报，2010，7（3）：688-690.
[3]白兴波.数学建模与中学生研究性学习能力的培养＼[J＼].江西金融职工大学学报，2006，19：305-306.
[4]张硕，石俊娟.关于数学建模与数学研究性学习的研究＼[A＼].全国高师会数学教育研究会2006年学术年会论文集＼[C＼].2006.
[5]兰永胜.数学思想方法与建模技巧＼[M＼].青岛：青岛海洋大学出版社，2000：226-229.
作者简介傅海伦，男，1970年生，山东曹县人，山东师范大学数学科学学院课程与教学论（数学）博士生导师，教授.王浩，男，1991年生，全日制教育硕士研究生.晁冉冉，女，1990年生，课程与教学论（数学）硕士研究生.