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【摘要】本文通过阐述极限思想的起源和发展，分析极限思想的思维本质和哲学意义；又通过阐述极限思想和微积分学产生和发展的联系，以及极限思想在微积分学及其他学科分支中的应用，得出极限理论是高等数学的重要内容之一，是构成微积分学的基础。所以极限理论的教学在微积分学中是至关重要的，我们系统地向学生介绍极限思想的产生，发展，以及和微积分学的紧密联系是十分必要的。
【关键词】极限思想；微积分；微元法
极限思想是微积分学解决问题的主要思想，极限的方法又是微积分研究函数的主要方法，因此学好微积分学的关键是建立极限的思想和会使用极限的方法。本文就自己对极限的认识阐述一下如何进行极限的教学。
1向学生介绍极限思想的产生和发展
极限的思想是由某些实际问题的精确解而产生的，极限是研究变量变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念都是建立在极限的基础上的，因此没有极限的思想和研究问题的方法就没有微积分学，也没有现在的高科技理论，更谈不上人类社会的进步，因此极限在人类文明史上起着举足轻重的作用。最初微积分由牛顿和莱布尼兹发现时并没有严格的定义，后来法国数学家柯西严格定义极限概念之后才使微积分学有了严格的数学定义。极限思想反映的是一个变量随另一个变量变化的无限逼近的思想，数学史上微积分学产生的过程是人类对极限思想认识的逐步加深、逐步明确的过程，因此极限思想是微积分学中的基本的数学思想。
我国古代数学家刘徽（公园3世纪）利用圆内接多边形求圆的面积——割圆术，就是极限思想在几何上的应用。又如春秋战国时期的哲学家庄子（公园前4世纪）有一句名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，公元5世纪祖冲之计算圆周率等问题中，都蕴含了最原始的朴素的极限思想。无穷分割下的极限思想是微积分学起源的关键， 最能引起关于对无穷思索的是求曲边图形的面积。1615年开普勒发表《测量酒桶体积的科学》，大胆巧妙地将无穷小求和思想用于求圆面积公式的推导.由此得到：若已知圆周长为2πr，现将圆面无限分割，则圆面积可被看作是由无限多个顶点在圆心，高等于半径、底边是圆周一部分的小三角形组成，所以，所以12r（A1A2+A2A3+……+An+A1）12r.2∏r=∏r2。同理还可以在已知球表面面积公式的前提下推导球体积公式。同样的思想，把球看作是由无限多个顶点在球心、底在球面上的无限小锥体，于是球体积为13r（4∏r2）=43∏r3.这些都深刻地隐含了极限的思想，是极限思想的萌芽。
极限思想的进一步发展与微积分的建立紧密相连。极限概念在数学中首次被英国数学家华利斯在《无穷量算术》（1655年）提出，当以无穷小为理论基础的微积分受到质疑的时候，牛顿意识到极限概念的重要性，并提出了极限的直观性定义：“如果当n无限增大时，（x）无限地接近于常数A，那么就说（x）以A为极限。”但这种直观的定性解释并没有解决当时的数学危机，在此基础上，许多数学家对极限的概念进行了完善。主要由柯西精确定义，维尔斯特拉斯用符号精确表达了极限的数学定义，该定义的提出，解决了微积分面临强大逻辑质疑的窘状，给微积分提供了严格的理论基础。由此，数学由常量数学正式进入变量数学的时代，极限的数学定义，沿用至今，成了微积分发展的重要里程碑。
2向学生介绍极限思想在微积分学中的应用
2.1建立概念的极限思想
因为极限的思想贯穿于高等数学始终，可以说高等数学中几乎所有的概念都离不开极限。利用极限的思想和方法给出了连续函数、导数、，多元函数的偏导数，定积分、广义积分的敛散性、重积分、曲线积分和曲面积分、级数的敛散性的概念等等。因此极限思想是微积分学的基本思想，微积分学可以看作是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。因此在教学中我们应采取边讲边复习边总结的方法，将各个概念联系起来。这样可以使学生理解地更透彻，并能将知识融会贯通。
例如我们用它来定义导数和偏导数的概念。
又如我们用它来定义定积分、二重积分、三重积分、对弧长的平面和空间曲线积分，曲面积分。
这些积分的定义有相同的数学结构，故我们可以引入统一记号∫GF（X）d G，G为积分域，d G为积分元素。微积分学的发展史和微积分理论表明“ 极限思想” 是微积分学从产生以至发展的最基本的数学思想。假如将微积分的每一概念或定理作为一颗颗大小不一的珍珠的话， 那么“ 极限思想” 就如一条横穿珍珠的线绳， 将之有规则地连结了起来。
2.2解决问题的极限思想
采用极限的思想方法我们可以解决许多初等数学无法解决的问题，用极限思想解决问题的方法就是通过对近似值取极限而得精确值，例如求变速直线运动的瞬时速度，由此还得出导数的定义。其次我们还将和式取极限得精确值，即将总量进行“分割，取近似，求和，取极限”，这也是微积分解决问题的主要方法——微元法，总量任意分割成若干个部分量后，当分割很细时，这个部分量可以做近似计算，也就是说我们可以以常量代变量。由此我们给出了定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的定义，并且还成功地解决了求曲边形面积、曲线弧长、空间曲面的面积和空间一些立体的体积等等。同时它在物理学中也有着广泛的应用，我们可以用它来解决变力做功，水压力，非均匀细杆所受的引力，物体的重心及转动惯量等等。微积分极限的思想解决问题的主要方法是微元法，这里也深刻地蕴藏了辩证唯物主义从量变到质变的思想。这一思想在经济学、建筑学、化学等领域也有着广泛的应用，它为我们解决问题提供了新的思路和新的方法。
2.3极限的计算是微积分解决问题的基本运算
既然微积分的许多概念是由极限定义的，那么极限的计算也就尤为重要了，我们通过极限的计算可以来判断函数的连续性、可导、可微可积等等，那么如何进行极限的计算呢？在教学中我们应该教给学生边学边总结，大概有以下几种方法。这里重点介绍一元函数的极限，首先我们考虑的是根据连续性和四则运算法则，其次考虑有夹逼准则、单调有界准则、两个重要极限、无穷小等价替换原理、洛必塔法则、变量替换、消零因子法等等。总结出这些方法并且知道各个方法的使用条件和特点后，在求极限的过程中选择尝试适当的方法，直到求出最后的结果。
因此极限运算的学习也需要学生在掌握方法的基础上，通过多练习积累经验，才能掌握。极限的运算和微分、积分的运算一样重要，他们都是微积分学的基本运算。不会计算微积分学就没有任何生存价值了。因此初学者必须重视这部分知识的学习，为后面的学习打下良好的基础。
总之，极限思想揭示了变量和常量、无限与有限、近似与精确、量变与质变的对立统一关系。借助于极限，人们可以从有限认识无限，从近似认识精确。从而把曲线问题转化为直线（以直代曲），把曲面问题转化为平面，把运动转化为静止，把变化的问题转化为不变，把不规则的转化为规则。极限的思想和微积分学的产生和发展都是紧密相连的。它们同生死共患难共同创建了微积分学这门独立而完整的学科，为人类社会的发展做了不朽的贡献。因此我们在教学中可以按以上分类进行教学，让学生很清晰地认识极限的发展和应用，建立极限的思想和解决问题的方法，才能确保学好高等数学这们课，并且能够更好地解决实际问题。
参考文献
[1]《高等数学》同济大学应用数学系主编 第五版 高等教育出版设
[2]李文婧 微积分学中的极限思想及其应用 陕西教育言教版2011年第10期
【关键词】极限思想；微积分；微元法
极限思想是微积分学解决问题的主要思想，极限的方法又是微积分研究函数的主要方法，因此学好微积分学的关键是建立极限的思想和会使用极限的方法。本文就自己对极限的认识阐述一下如何进行极限的教学。
1向学生介绍极限思想的产生和发展
极限的思想是由某些实际问题的精确解而产生的，极限是研究变量变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念都是建立在极限的基础上的，因此没有极限的思想和研究问题的方法就没有微积分学，也没有现在的高科技理论，更谈不上人类社会的进步，因此极限在人类文明史上起着举足轻重的作用。最初微积分由牛顿和莱布尼兹发现时并没有严格的定义，后来法国数学家柯西严格定义极限概念之后才使微积分学有了严格的数学定义。极限思想反映的是一个变量随另一个变量变化的无限逼近的思想，数学史上微积分学产生的过程是人类对极限思想认识的逐步加深、逐步明确的过程，因此极限思想是微积分学中的基本的数学思想。
我国古代数学家刘徽（公园3世纪）利用圆内接多边形求圆的面积——割圆术，就是极限思想在几何上的应用。又如春秋战国时期的哲学家庄子（公园前4世纪）有一句名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，公元5世纪祖冲之计算圆周率等问题中，都蕴含了最原始的朴素的极限思想。无穷分割下的极限思想是微积分学起源的关键， 最能引起关于对无穷思索的是求曲边图形的面积。1615年开普勒发表《测量酒桶体积的科学》，大胆巧妙地将无穷小求和思想用于求圆面积公式的推导.由此得到：若已知圆周长为2πr，现将圆面无限分割，则圆面积可被看作是由无限多个顶点在圆心，高等于半径、底边是圆周一部分的小三角形组成，所以，所以12r（A1A2+A2A3+……+An+A1）12r.2∏r=∏r2。同理还可以在已知球表面面积公式的前提下推导球体积公式。同样的思想，把球看作是由无限多个顶点在球心、底在球面上的无限小锥体，于是球体积为13r（4∏r2）=43∏r3.这些都深刻地隐含了极限的思想，是极限思想的萌芽。
极限思想的进一步发展与微积分的建立紧密相连。极限概念在数学中首次被英国数学家华利斯在《无穷量算术》（1655年）提出，当以无穷小为理论基础的微积分受到质疑的时候，牛顿意识到极限概念的重要性，并提出了极限的直观性定义：“如果当n无限增大时，（x）无限地接近于常数A，那么就说（x）以A为极限。”但这种直观的定性解释并没有解决当时的数学危机，在此基础上，许多数学家对极限的概念进行了完善。主要由柯西精确定义，维尔斯特拉斯用符号精确表达了极限的数学定义，该定义的提出，解决了微积分面临强大逻辑质疑的窘状，给微积分提供了严格的理论基础。由此，数学由常量数学正式进入变量数学的时代，极限的数学定义，沿用至今，成了微积分发展的重要里程碑。
2向学生介绍极限思想在微积分学中的应用
2.1建立概念的极限思想
因为极限的思想贯穿于高等数学始终，可以说高等数学中几乎所有的概念都离不开极限。利用极限的思想和方法给出了连续函数、导数、，多元函数的偏导数，定积分、广义积分的敛散性、重积分、曲线积分和曲面积分、级数的敛散性的概念等等。因此极限思想是微积分学的基本思想，微积分学可以看作是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。因此在教学中我们应采取边讲边复习边总结的方法，将各个概念联系起来。这样可以使学生理解地更透彻，并能将知识融会贯通。
例如我们用它来定义导数和偏导数的概念。
又如我们用它来定义定积分、二重积分、三重积分、对弧长的平面和空间曲线积分，曲面积分。
这些积分的定义有相同的数学结构，故我们可以引入统一记号∫GF（X）d G，G为积分域，d G为积分元素。微积分学的发展史和微积分理论表明“ 极限思想” 是微积分学从产生以至发展的最基本的数学思想。假如将微积分的每一概念或定理作为一颗颗大小不一的珍珠的话， 那么“ 极限思想” 就如一条横穿珍珠的线绳， 将之有规则地连结了起来。
2.2解决问题的极限思想
采用极限的思想方法我们可以解决许多初等数学无法解决的问题，用极限思想解决问题的方法就是通过对近似值取极限而得精确值，例如求变速直线运动的瞬时速度，由此还得出导数的定义。其次我们还将和式取极限得精确值，即将总量进行“分割，取近似，求和，取极限”，这也是微积分解决问题的主要方法——微元法，总量任意分割成若干个部分量后，当分割很细时，这个部分量可以做近似计算，也就是说我们可以以常量代变量。由此我们给出了定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的定义，并且还成功地解决了求曲边形面积、曲线弧长、空间曲面的面积和空间一些立体的体积等等。同时它在物理学中也有着广泛的应用，我们可以用它来解决变力做功，水压力，非均匀细杆所受的引力，物体的重心及转动惯量等等。微积分极限的思想解决问题的主要方法是微元法，这里也深刻地蕴藏了辩证唯物主义从量变到质变的思想。这一思想在经济学、建筑学、化学等领域也有着广泛的应用，它为我们解决问题提供了新的思路和新的方法。
2.3极限的计算是微积分解决问题的基本运算
既然微积分的许多概念是由极限定义的，那么极限的计算也就尤为重要了，我们通过极限的计算可以来判断函数的连续性、可导、可微可积等等，那么如何进行极限的计算呢？在教学中我们应该教给学生边学边总结，大概有以下几种方法。这里重点介绍一元函数的极限，首先我们考虑的是根据连续性和四则运算法则，其次考虑有夹逼准则、单调有界准则、两个重要极限、无穷小等价替换原理、洛必塔法则、变量替换、消零因子法等等。总结出这些方法并且知道各个方法的使用条件和特点后，在求极限的过程中选择尝试适当的方法，直到求出最后的结果。
因此极限运算的学习也需要学生在掌握方法的基础上，通过多练习积累经验，才能掌握。极限的运算和微分、积分的运算一样重要，他们都是微积分学的基本运算。不会计算微积分学就没有任何生存价值了。因此初学者必须重视这部分知识的学习，为后面的学习打下良好的基础。
总之，极限思想揭示了变量和常量、无限与有限、近似与精确、量变与质变的对立统一关系。借助于极限，人们可以从有限认识无限，从近似认识精确。从而把曲线问题转化为直线（以直代曲），把曲面问题转化为平面，把运动转化为静止，把变化的问题转化为不变，把不规则的转化为规则。极限的思想和微积分学的产生和发展都是紧密相连的。它们同生死共患难共同创建了微积分学这门独立而完整的学科，为人类社会的发展做了不朽的贡献。因此我们在教学中可以按以上分类进行教学，让学生很清晰地认识极限的发展和应用，建立极限的思想和解决问题的方法，才能确保学好高等数学这们课，并且能够更好地解决实际问题。
参考文献
[1]《高等数学》同济大学应用数学系主编 第五版 高等教育出版设
[2]李文婧 微积分学中的极限思想及其应用 陕西教育言教版2011年第10期