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摘要：数学竞赛试题具有综合性强、涉及面广、技巧性突出、解题方法灵活等特点。学生在面对数学竞赛题目无法利用已知的模型加以解决时，就需要学会考虑采用其他的解题策略。其中，化归思想就在寻求解题策略的过程中扮演了一个重要的角色，它将问题化繁为简、化生为熟、化曲为直、化未知为已知，同时也符合人类认知问题的基本规律。
关键词：化归思想；竞赛数学；解题策略
数学问题解决的过程，是实现转化的过程。化归思想是一切数学思想方法的核心，是解决数学问题广泛应用的思想方法之一。化归，是转化和归结的简称，是指将所要解决的问题A经过某种变化，使之归结为另一个问题B，再通过对问题B的求解，把结果作用于问题A，从而使问题A得解。匈牙利数学家路沙彼得说：“对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能解决的问题。”由此说明，化归思想的核心就是寻找将问题化繁为简、化生为熟、化曲为直、化未知为已知的解题策略。法国数学家笛卡尔利用化归思想，将几何问题化归为代数问题，创立了解析几何这门新学科，并且提出了化归思想是解决问题的“万能的方法”模式。
竞赛数学中，常见的利用化归思想解决问题的方法包括：换元法、数形结合法、构造法、参数法、直接转化法、等价转化法、特殊化方法、正难则反法、坐标法、类比法等。笔者将以其中几种方法为例，通过竞赛试题的分析和解答来体现化归思想在数学解题中的实用性。
问题：（2013年全国高中数学联赛江西省预赛）求函数f（x）=3x-6 3-x的值域。
利用常规的求值域方法：平方法、判别式法、单调性法等来解决此问题显得困难。波利亚在《怎样解题》中曾说：数学解题是命题的连续交换。解题的过程其实是对问题的不断转化。
方案1：运用换元法进行化归
分析：原函数可表示为f（x）=3·x-2 3-x，利用x-2与3-x的平方和为定值，采用换元法，将求原函数的值域问题化归为求三角函数的最值问题。
解：原函数可表示为：
f（x）=3·x-2 3-x，x∈2，3。
∵（x-2）2 （3-x）2=1，x∈[2，3]。
∴可设x-2=cosα，3-x=sinα，α∈0，π2，则
f（x）=3cosα sinα=2sinα π3。
∵0≤α≤π2，∴π3≤α π3≤5π6，
∴12≤sinα π3≤1，则1≤2sinα π3≤2。
从而函数f（x）=3x-6 3-x的值域为[1，2]。
方案2：运用直接转化法进行化归
分析：由函数f（x）的定义域为[2，3]，根据连续函数在闭区间上必有最值，并且往往在区间端点处或极值点处取到，从而实现问题的直接转化。
解：由题意得，函数f（x）的定义域为[2，3]。其中f（2）=1，f（3）=3，
根据f（x）=3x-6 3-x，可得f′（x）=32·13x-6-12·13-x，
由f′（x）=0，整理可得x=114。而f114=2，
所以函数f（x）=3x-6 3-x的值域为[1，2]。
方案3：运用构造方法进行化归
分析：函数的形式与等差中项的定义进行对比，可构造一个合适的等差数列，将原函数划归为由3x-6，y2，3-x相邻三项构成的等差数列。
解：原函数可表示为y=3x-6 3-x，x∈[2，3]。
函数可化归为是由3x-6，y2，3-x相邻三项构成的等差数列，设公差为d。
令3x-6=y2-d，①
3-x=y2 d.②
由①2 3②2整理得3=4d y42 34y2，（*）
又由①、②知|d|≤y2，则（1）当d=-14y时，y取得最大值，（*）式满足3≥34y2，即y2≤4；
（2）当d=12y时，y取得最小值，（*）式满足3≤124y2，即y2≥1。
综上所述，函数f（x）=3x-6 3-x的值域为[1，2]。
方案4：運用数形结合方法进行化归
分析：原函数的定义域限制了3x-6与3-x的取值范围。因此，求函数y=3x-6 3-x的值域问题可化归为线性规划求最值问题。
解：由x∈[2，3]，则3x-6∈[0，3]，3-x∈[0，1]，
令3x-6=a，3-x=b，则a∈[0，3]，b∈[0，1]，从而y=a b。
a23 b2=1，a，b≥0
0≤a≤3，
0≤b≤1。
原问题化归为在约束条件下，求目标函数y=a b的最值问题。
根据约束条件在平面直角坐标系中作出可行域：
其表示为椭圆在第一象限内（含A，B端点）的轨迹。目标函数y则表示直线b=-a y在纵轴上的截距。由此得出当直线经过B点时，取得最小值为1，当直线与曲线相切时，取得最大值为2。
结束语
波利亚认为，解题就是把问题转化为等价的问题，把问题化归为一个已解决的问题。因此，化归思想是解题的首要策略。本文采用多种方法对同一竞赛试题进行化归，能够有效地拓展学生的思维，积累学生解题经验，提高学生解题能力。
参考文献：
[1]王林全，吴有昌.中学数学解题研究[M].科学出版社，2009.
[2]朱梧槚等，译.路沙·彼得.无穷的玩艺数学的探索与旅行[M].南京大学出版社，1985.
关键词：化归思想；竞赛数学；解题策略
数学问题解决的过程，是实现转化的过程。化归思想是一切数学思想方法的核心，是解决数学问题广泛应用的思想方法之一。化归，是转化和归结的简称，是指将所要解决的问题A经过某种变化，使之归结为另一个问题B，再通过对问题B的求解，把结果作用于问题A，从而使问题A得解。匈牙利数学家路沙彼得说：“对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能解决的问题。”由此说明，化归思想的核心就是寻找将问题化繁为简、化生为熟、化曲为直、化未知为已知的解题策略。法国数学家笛卡尔利用化归思想，将几何问题化归为代数问题，创立了解析几何这门新学科，并且提出了化归思想是解决问题的“万能的方法”模式。
竞赛数学中，常见的利用化归思想解决问题的方法包括：换元法、数形结合法、构造法、参数法、直接转化法、等价转化法、特殊化方法、正难则反法、坐标法、类比法等。笔者将以其中几种方法为例，通过竞赛试题的分析和解答来体现化归思想在数学解题中的实用性。
问题：（2013年全国高中数学联赛江西省预赛）求函数f（x）=3x-6 3-x的值域。
利用常规的求值域方法：平方法、判别式法、单调性法等来解决此问题显得困难。波利亚在《怎样解题》中曾说：数学解题是命题的连续交换。解题的过程其实是对问题的不断转化。
方案1：运用换元法进行化归
分析：原函数可表示为f（x）=3·x-2 3-x，利用x-2与3-x的平方和为定值，采用换元法，将求原函数的值域问题化归为求三角函数的最值问题。
解：原函数可表示为：
f（x）=3·x-2 3-x，x∈2，3。
∵（x-2）2 （3-x）2=1，x∈[2，3]。
∴可设x-2=cosα，3-x=sinα，α∈0，π2，则
f（x）=3cosα sinα=2sinα π3。
∵0≤α≤π2，∴π3≤α π3≤5π6，
∴12≤sinα π3≤1，则1≤2sinα π3≤2。
从而函数f（x）=3x-6 3-x的值域为[1，2]。
方案2：运用直接转化法进行化归
分析：由函数f（x）的定义域为[2，3]，根据连续函数在闭区间上必有最值，并且往往在区间端点处或极值点处取到，从而实现问题的直接转化。
解：由题意得，函数f（x）的定义域为[2，3]。其中f（2）=1，f（3）=3，
根据f（x）=3x-6 3-x，可得f′（x）=32·13x-6-12·13-x，
由f′（x）=0，整理可得x=114。而f114=2，
所以函数f（x）=3x-6 3-x的值域为[1，2]。
方案3：运用构造方法进行化归
分析：函数的形式与等差中项的定义进行对比，可构造一个合适的等差数列，将原函数划归为由3x-6，y2，3-x相邻三项构成的等差数列。
解：原函数可表示为y=3x-6 3-x，x∈[2，3]。
函数可化归为是由3x-6，y2，3-x相邻三项构成的等差数列，设公差为d。
令3x-6=y2-d，①
3-x=y2 d.②
由①2 3②2整理得3=4d y42 34y2，（*）
又由①、②知|d|≤y2，则（1）当d=-14y时，y取得最大值，（*）式满足3≥34y2，即y2≤4；
（2）当d=12y时，y取得最小值，（*）式满足3≤124y2，即y2≥1。
综上所述，函数f（x）=3x-6 3-x的值域为[1，2]。
方案4：運用数形结合方法进行化归
分析：原函数的定义域限制了3x-6与3-x的取值范围。因此，求函数y=3x-6 3-x的值域问题可化归为线性规划求最值问题。
解：由x∈[2，3]，则3x-6∈[0，3]，3-x∈[0，1]，
令3x-6=a，3-x=b，则a∈[0，3]，b∈[0，1]，从而y=a b。
a23 b2=1，a，b≥0
0≤a≤3，
0≤b≤1。
原问题化归为在约束条件下，求目标函数y=a b的最值问题。
根据约束条件在平面直角坐标系中作出可行域：
其表示为椭圆在第一象限内（含A，B端点）的轨迹。目标函数y则表示直线b=-a y在纵轴上的截距。由此得出当直线经过B点时，取得最小值为1，当直线与曲线相切时，取得最大值为2。
结束语
波利亚认为，解题就是把问题转化为等价的问题，把问题化归为一个已解决的问题。因此，化归思想是解题的首要策略。本文采用多种方法对同一竞赛试题进行化归，能够有效地拓展学生的思维，积累学生解题经验，提高学生解题能力。
参考文献：
[1]王林全，吴有昌.中学数学解题研究[M].科学出版社，2009.
[2]朱梧槚等，译.路沙·彼得.无穷的玩艺数学的探索与旅行[M].南京大学出版社，1985.