探索给我们带来无穷乐趣,让探索充实我们的生活!在数学的海洋里,快乐无处不在!例如在圆锥曲线中就蕴含着很多有趣的性质,只要我们乐于研究,善于挖掘,总会有收获、有快乐。现举一例,抛砖引玉,以飨读者。 如图抛物线y2=2PX(p>0)的焦点为F直线l过点F,于A、B两点。O为坐标原点,设∠AOB=2θ那么我们可以得到以下几个性质:
　　图1
　　性质1:当直线l垂直于x轴时,无论p怎样变化, ∠AOB总是定值π-arccos35
　　证明:由已知得F(P2 ,0)
　　 ∵l垂直于x轴,则AF=BF=p,OF=P2
　　cosθ=|OF||OA|=P2(P2)2+P2 =15
　　因此cos2θ=2cos2θ-1=25-1=-35,所以, ∠AOB= 2θ=π-arccos35。
　　性质2:当直线l绕着点F运动时, ∠AOB的最大值是:π-arccos35 。
　　证明:设A(x1,y1) ,B(x2,y2)则 OA=(x1,y1) ,OB=(x2,y2)
　　由已知可知当直线l的斜率不为零,故设l的方程为:x=my+2P ,由x=my+2P 及y2=2px消去x整理,得y2-2pmy-p2=0 ,则
　　y1+y2=2pm,
　　y1y2=-P2 ,
　　x1+x2=m(y1+y2)+p=2pm2+p,
　　x1x2=(my1+P2)(my2+P2)=m1y1y2+mp2(y1+y2)+P24=-m2p2+m2p2+14P2=14P2故OAOB=X1X2+y1y2=14P2-P2=-34P2
　　 OAOB
　　=X12+y12X22+y22
　　=(X12+2PX1)(X22+2PX2)X1X2[X1X2+2p(x1+x2)+4p2]=14P2[14P2+2p2(2m2+1)+4p2]54P2
　　
　　当且仅当m=o时取“=”。此时l与x轴垂直。
　　所以, cos<OA,OB>=OAOBOAOB=-34P2OAOB-35
　　因而∠AOB的最大值为 π-arccos35。
　　性质3:当直线l绕着点F运动时,π2<∠AOBπ- arccos35。
　　由性质2的证明过程很容易得到上述结论。证明略。
　　性质4: △AOB面积的最小值是: 12P2。
　　证明:设A(x1,y2) ,B(x1,y2)l的方程为:x=my+P2,则:
　　|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(m2+1)(y1-y2)2=(m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]=(m2+1)[(2mp)2+4p2]=4P2(m2+1)22P
　　当且仅当m=0时取“=”。
　　此时AB与x轴垂直。因此 S'AOB=12P2|AB|P42P=12P2
　　即: △AOB面积的最小值是: 12P2。
　　收稿日期:2009-12-19