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【摘要】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合。数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。数形结合贯穿于整个数学教学，在小学教学中就应注重数形结合思想的渗透及数形互通能力的培养。
【关键词】以形助数；以数辅形；数形结合；数形互通
数形结合思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，利用它可使復杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观，是优化解题过程的重要途径之一。数形结合思想在小学数学中有广泛的应用。
一、数形结合思想及其形成途径
（一）数形结合的表现形式。数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”指数学术、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“形”不仅仅指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。
以“形”助“数”。“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。数学概念的建立借助“形”的直观。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。数学性质的探索依赖“形”的操作。数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。数学规则的形成需要“形”作材料。数学规则在小学主要是有关演算过程的具体实施方法。规则学习是学生技能形成的先导。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。解题思路的获得常用“形”来帮助。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。
以“数”辅“形”，“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使儿童更准确地把握“形”。对图形的认识要用数学语言的描述加以深化。几何图形的周长、面积、体积计算公式的归纳都是儿童对形体直观知觉的深化。对几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。
（二）数形结合思想的形成途径。数形结合在方法论层面，只是一种具有普遍性和可操作性的方式，只有当它成为儿童解决数学问题的自觉意识时，才上升为“数学思想”，才成为“方法”的理论基础。数形结合思想形成的前提是让学生经历应用的历练，而教师提供时间与空间是“方法”提升为“思想”的保证。教师引领，在数学思想形成的过程中，教师的榜样作用至关重要。教师的引领既包括数形结合方法的示范，也包括教给学生技能和学生创造运用数形结合思想的机会。教师示范不仅要展现令人信服的结论，更重要的是数形结合思想如何体现在解决问题全过程中，包括：①数形结合的思路是如何想到的；②方法是如何运用的；③在比较与反思中体会其优势。群体互动，数学思想的形成离不开群体间的交往，因为个体的数学成长需要团体氛围，需要在与他人交往中获得肯定。
二、数形结合贯穿整个小学数学教学
数学是思维的阶梯。纵观整个小学数学教材，从一年级到六年级，无不充分体现数与形的有机结合，帮助学生从直观到抽象，逐步建立起整个数学知识体系，培养学生的思维能力。
通过数与物（形）的对应关系，初步建立起数的基本概念，认识数，学习数的加减法；一年级通过具体的物（形）帮助学生建立起初步的比较长短、多少、高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与拼组，在培养学生空间观念的同时，也帮助学生把数与形联系起来，初步培养学生的数形结合思想。在二年级乘法、除法的教学中，通过图片探知求几个相同加数的和可以用乘法来算，并体会用乘法比较简便，通过数形结合将图片分一分，理解除法的意义并观察发现计算除法时，可利用乘法口诀来求商；在三年级分数的初步认识中，通过实物平均分进而转化为折一折数形结合方式及用抽象线段表示分数理解分数的涵义；比多少的应用题，通过数与物（形）的对应关系，帮助学生建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、小的数等较抽象的数学概念；倍数应用题，教材首先通过数物（形）的结合，帮助学生初步建立倍数的意义。在学生初步建立起倍数的概念（意义）的基础上，逐步过渡到数形结合，即画线段图，帮助学习理解掌握倍数的意义。在这里，教材从最初的最直观的数物（形）结合，逐步过渡到由图形代替物体-——数形结合，初步建立起数学语言——数与形，使学生逐步从最直接的感知发展到较为抽象的数学知识；在相遇问题、和差问题、工程问题、分数应用题、比例应用题、列方程应用题等许多解决问题的教学中，无不充分地运用数形结合，把抽象的数量关系，通过画线段图﹑集合图﹑长方形面积图﹑列表格等方式，数形结合，呈现较为具体直观的数学符号，使较为复杂的复杂数量关系简单明了，有利于分析题中各数量之间的关系，迅速找出解决问题，提高学生分析问题和解决问题的能力；在解决鸡兔同笼的问题时，运用数形结合，可以使极为抽象的假设法变得直观形象。
三、数形结合帮助小学生建立起初步几何知识体系，发展空间观念
在一年级图形的组拼中，学生通过数图形、玩积木，用多少不等或相等的积木不断堆砌出不同的形状，体验数与形的结合，感知空间图形，数形互通，进而抽象出一排有几个、一个有几排、有几层等空间观念，为长方形的面积公式推导、长方体的体积公式推导等奠基基础。在三年级下册下册长方形面积公式推导中，通过让学生用1平方厘米的小正方形摆放长方形的面积，摆出长有几厘米就能摆几个，宽有几厘米就能摆几排，抽象出长方形的面积就是长与宽的乘积。在长方体体积公式推导中，也同样运用数形结合抽象概括出长方体的体积=长×宽×高。
四、数形结合帮助学生建立起初步的分类与集合思想
在三年级上册多边形教学中，运用集合图数形结合帮助学生理解各种四边形之间的联系与区别直观清楚地理解各类四边形的关系，长方形及正方形是特殊的平行四边形；在四年级下册三角形按角分类中，运用集合图、数形结合，让学生充分理解锐角三角形、直角三角形、钝角三角形这三类三角形之间的关系。
五、运用数形结合，帮助学生理解较抽象的数学、数量关系，培养学生的逻辑思维能力。
现行的人教版数学教材中，引入了大量的以前认为是奥数的，但在现实生活中却经常应用的数学内容。在教学中，如果不采用数形结合，把抽象的数学概念形象直观化，学生根本不能理解、掌握和运用。如三年级下册的重叠问题，教学中，引导学生数出参加语文组的有8人，参加数学组的有9人，但这两个小组没有8+9=17人，这是为什么呢？引导学生通过画韦恩图，让学生充分明白：有3个重复的，8+9多计算了一次，需要减去，两个小组实际只有8+9—3=14（人）。在植树问题中，只有通过画图，让学生充分理解植树棵树与间隔数之间的关系。二年级上册与三年级上册的排列组合中，如果用高中数学中什么是排列、什么是组合来教学生，学生只能是“坐飞机”，云里雾里，不知所云，而采用数形结合——连线的方法，既能做到不重不漏，又不会把排列组合的知识强加给学生，还让学生运用起来得心应手。在策略问题中，运用数学结合，画流程图操作，让繁琐的语言叙述直观化，简单明了，化难为易。
【关键词】以形助数；以数辅形；数形结合；数形互通
数形结合思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，利用它可使復杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观，是优化解题过程的重要途径之一。数形结合思想在小学数学中有广泛的应用。
一、数形结合思想及其形成途径
（一）数形结合的表现形式。数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”指数学术、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“形”不仅仅指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。
以“形”助“数”。“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。数学概念的建立借助“形”的直观。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。数学性质的探索依赖“形”的操作。数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。数学规则的形成需要“形”作材料。数学规则在小学主要是有关演算过程的具体实施方法。规则学习是学生技能形成的先导。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。解题思路的获得常用“形”来帮助。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。
以“数”辅“形”，“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使儿童更准确地把握“形”。对图形的认识要用数学语言的描述加以深化。几何图形的周长、面积、体积计算公式的归纳都是儿童对形体直观知觉的深化。对几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。
（二）数形结合思想的形成途径。数形结合在方法论层面，只是一种具有普遍性和可操作性的方式，只有当它成为儿童解决数学问题的自觉意识时，才上升为“数学思想”，才成为“方法”的理论基础。数形结合思想形成的前提是让学生经历应用的历练，而教师提供时间与空间是“方法”提升为“思想”的保证。教师引领，在数学思想形成的过程中，教师的榜样作用至关重要。教师的引领既包括数形结合方法的示范，也包括教给学生技能和学生创造运用数形结合思想的机会。教师示范不仅要展现令人信服的结论，更重要的是数形结合思想如何体现在解决问题全过程中，包括：①数形结合的思路是如何想到的；②方法是如何运用的；③在比较与反思中体会其优势。群体互动，数学思想的形成离不开群体间的交往，因为个体的数学成长需要团体氛围，需要在与他人交往中获得肯定。
二、数形结合贯穿整个小学数学教学
数学是思维的阶梯。纵观整个小学数学教材，从一年级到六年级，无不充分体现数与形的有机结合，帮助学生从直观到抽象，逐步建立起整个数学知识体系，培养学生的思维能力。
通过数与物（形）的对应关系，初步建立起数的基本概念，认识数，学习数的加减法；一年级通过具体的物（形）帮助学生建立起初步的比较长短、多少、高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与拼组，在培养学生空间观念的同时，也帮助学生把数与形联系起来，初步培养学生的数形结合思想。在二年级乘法、除法的教学中，通过图片探知求几个相同加数的和可以用乘法来算，并体会用乘法比较简便，通过数形结合将图片分一分，理解除法的意义并观察发现计算除法时，可利用乘法口诀来求商；在三年级分数的初步认识中，通过实物平均分进而转化为折一折数形结合方式及用抽象线段表示分数理解分数的涵义；比多少的应用题，通过数与物（形）的对应关系，帮助学生建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、小的数等较抽象的数学概念；倍数应用题，教材首先通过数物（形）的结合，帮助学生初步建立倍数的意义。在学生初步建立起倍数的概念（意义）的基础上，逐步过渡到数形结合，即画线段图，帮助学习理解掌握倍数的意义。在这里，教材从最初的最直观的数物（形）结合，逐步过渡到由图形代替物体-——数形结合，初步建立起数学语言——数与形，使学生逐步从最直接的感知发展到较为抽象的数学知识；在相遇问题、和差问题、工程问题、分数应用题、比例应用题、列方程应用题等许多解决问题的教学中，无不充分地运用数形结合，把抽象的数量关系，通过画线段图﹑集合图﹑长方形面积图﹑列表格等方式，数形结合，呈现较为具体直观的数学符号，使较为复杂的复杂数量关系简单明了，有利于分析题中各数量之间的关系，迅速找出解决问题，提高学生分析问题和解决问题的能力；在解决鸡兔同笼的问题时，运用数形结合，可以使极为抽象的假设法变得直观形象。
三、数形结合帮助小学生建立起初步几何知识体系，发展空间观念
在一年级图形的组拼中，学生通过数图形、玩积木，用多少不等或相等的积木不断堆砌出不同的形状，体验数与形的结合，感知空间图形，数形互通，进而抽象出一排有几个、一个有几排、有几层等空间观念，为长方形的面积公式推导、长方体的体积公式推导等奠基基础。在三年级下册下册长方形面积公式推导中，通过让学生用1平方厘米的小正方形摆放长方形的面积，摆出长有几厘米就能摆几个，宽有几厘米就能摆几排，抽象出长方形的面积就是长与宽的乘积。在长方体体积公式推导中，也同样运用数形结合抽象概括出长方体的体积=长×宽×高。
四、数形结合帮助学生建立起初步的分类与集合思想
在三年级上册多边形教学中，运用集合图数形结合帮助学生理解各种四边形之间的联系与区别直观清楚地理解各类四边形的关系，长方形及正方形是特殊的平行四边形；在四年级下册三角形按角分类中，运用集合图、数形结合，让学生充分理解锐角三角形、直角三角形、钝角三角形这三类三角形之间的关系。
五、运用数形结合，帮助学生理解较抽象的数学、数量关系，培养学生的逻辑思维能力。
现行的人教版数学教材中，引入了大量的以前认为是奥数的，但在现实生活中却经常应用的数学内容。在教学中，如果不采用数形结合，把抽象的数学概念形象直观化，学生根本不能理解、掌握和运用。如三年级下册的重叠问题，教学中，引导学生数出参加语文组的有8人，参加数学组的有9人，但这两个小组没有8+9=17人，这是为什么呢？引导学生通过画韦恩图，让学生充分明白：有3个重复的，8+9多计算了一次，需要减去，两个小组实际只有8+9—3=14（人）。在植树问题中，只有通过画图，让学生充分理解植树棵树与间隔数之间的关系。二年级上册与三年级上册的排列组合中，如果用高中数学中什么是排列、什么是组合来教学生，学生只能是“坐飞机”，云里雾里，不知所云，而采用数形结合——连线的方法，既能做到不重不漏，又不会把排列组合的知识强加给学生，还让学生运用起来得心应手。在策略问题中，运用数学结合，画流程图操作，让繁琐的语言叙述直观化，简单明了，化难为易。