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摘 要：以房山长沟镇甘池泉流量为研究对象，采用多元线性回归方法，分析泉流量-降水的响应特征。自相关性及互相关性分析结果表明，泉流量对降水表现为短期滞时（快速响应）和长期滞时（5～6个月）。建立大气降水-泉流量的多元线性回归模型，将输出结果与实测过程曲线相拟合，纳什效率系数NSE为0.72，表明建模效果较好。经分析，所建模型用于4个月之内的泉流量预测较为可靠。结合甘池泉域含水层特性分析，泉流量在降水后产生快速响应，其径流主要来自于表层岩溶带裂隙水流;而5～6个月的长滞时响应来源于深远部岩溶带裂隙水流。
关键词：甘池泉;多元线性回归;泉流量-降水响应
中图分类号：P641.1 文献标识码：A 文章编号：1007-1903（2019）02-0031-05
Abstract： Based on the monitoring data of Ganchi spring discharge in Changgou Town， Fangshan District of Beijing， the spring discharge and rainfalls are quantitatively analyzed by using the multiple linear regression methods. The result of correlation analysis shows that the time relationship between spring discharge and rainfalls can be classified into short-term response （fast response） and long-term response （5-6 months）. Multiple linear regression model of the spring discharge-rainfall is established， and the Nash-Sutcliffe efficiency coefficient （NSE=0.72） illustrates that the output results of the model fit the measured discharge series well. According to the predicted result， the model established in this paper is feasible for simulating the spring discharge in 4 months. Combined with the aquifer properties of Ganchi spring basin， the runoff of the short-term response is derived mostly from the surface karst fissure water， and the tiny karst fissure water in the depths or distance， resulting in the long-term response.
Keywords： Ganchi spring; Multiple linear regression; Response analysis of spring discharge and rainfall
0 前言
泉是地下水的天然露头，也是重要的生态环境要素，其流量动态是反应含水系统特征的重要指标。影响泉水流量动态的因素主要有大气降水、人工开采、土地利用等，从水文循环角度来看，大气降水是泉水最根本的补给来源，对泉水动态变化起着主导作用（王茂枚等，2008;于翠翠等，2017）。
据1981年统计数据，北京曾有泉1347处，绝大多数分布于北京的西山和北山地区，这些天然流量曾是居民生活和农牧林业等主要水源或唯一水源（北京市水文地质工程地质公司，1983）。伴随着城市化进程的加快，许多泉水已经断流，据2014年数据，北京目前泉水仅存160余处。如何保护在流泉水，并使断流泉眼复涌是摆在首都水文地质工作者面前的新课题。
甘池泉作为北京西南部较大的泉水之一，是长沟湿地的生态水源，也是“水岸花田”的重要组成部分。笔者基于实测泉水流量动态与降水资料，运用SPSS软件，通过自相关性、互相关性分析，建立多元线性回归模型，分析泉水动态对降水事件的響应过程，探析泉流量变化成因，以期有助于认识泉域地区的水文过程，为泉水的合理保护和科学利用提供科学依据。
1 概况
甘池泉群位于房山区长沟镇，包括宣新寺泉、西甘池泉、北甘池泉和东甘池泉，其中以北甘池泉（胜泉）为主，现今仅存北甘池泉与西甘池泉两处，为上升泉。泉域内地势西北高、东南低，地面平均高程45m。研究区属暖温带半湿润季风气候区，多年平均降水量578.26mm，年均气温11.16℃。
泉群西北部山区广泛分布蓟县系雾迷山组（Jxw），岩性以白云岩为主，沉积厚度2600m左右，发育有走向NE75°～80°及NW10°～15°两组高角度节理裂隙，岩溶亦发育，是良好的含水层。泉域范围内，地下水由西北山区流向东南平原区，在山前地区受到洪水庄组页岩（Jxh）、下马岭组页岩（Qnx）及第四系粘性土（Q）不透水层的阻挡，向西甘池、北甘池低洼沟谷地带汇集并溢出地表，形成泉群（图1、图2）。大气降水是泉域内主要的补给来源，以裸露白云岩大气降水的分散面状入渗为主要补给方式。甘池泉常年涌流不息，1981年流量约20000m3/d，之后流量衰减，近3年又略有回升。据2003-2018年监测资料，最大流量出现在2007年，约38000m3/d，多年日均流量11902m3/d。甘池泉水质优良，近5年水质均符合《地下水质量标准》（GB/T 14848-2017）Ⅱ类标准要求。 本文选取观测期2014年1月-2018年12月的降水、泉流量资料，时间间隔为1个月，统计分析甘池泉对大气降水流量的响应特征。观测期内，平均泉流量10351m3/d，最大泉流量27966m3/d。总体而言，降水在时间上的分布极不均匀，陡涨陡落，流量峰值持续时间短。
2 大气降水与泉流量相关系数分析
以Qt代表泉流量序列，Pt代表降水量序列，分析自相关性与互相关性。
2.1泉流量自相关性分析
自相关系数Rj主要用来研究一段时间内数据序列自身的线性相依性及其随时移（滞时）增加而变化的特征（严小龙等，2012;郑雪等，2014;周训，1990）。设时间序列是由N个经标准化后的数据Xm （m=0，1，…，N-1）组成，自相关系数由下式计算：
其中，两个时间m与m+j之间的时间间隔叫做滞时。
选取2014年1月-2017年12月甘池泉流量观测资料，计算自相关系数及其显著性，如图3所示。自相关系数Rj随滞时j变化特征反映区域含水层系统对流量的调蓄作用，泉流量月序列监测数据具备以一年为周期的波动变化，由图可见，随着滞时j的增长，自相关系数Rj减小。结合显著性检验（置信水平95%），甘池泉流量主要受前一个月流量Qt-1和前两个月流量Qt-2的影响。
2.2 大气降水与泉流量互相关性分析
互相关系数是估计两变量（降水与泉流量）滞后域上输入输出函数间相关程度的一种度量。
设xm和ym （m=0，1，…，N-1）是两个标准化的时间序列数据，互相关系数计算公式如下：
式中，
T是最大滞后数。
在月序列互相关图4中，曲线峰值可以反映泉流量对降水量的响应程度：峰值越大，响应越灵敏（Larocque，et al，1998）。甘池泉的互相关系数在滞后6个月处达到峰值，为0.448。表明泉流量峰值比降水量峰值滞后5～6个月，之后以滞后为6个月的倍数出现峰值。结合显著性检验（置信水平95%），甘池泉流量主要受当时降水量Pt，前5个月降水量Pt-5，前6个月降水量Pt-6的影响。
3 多元线性回归分析
3.1 模型建立
由自相关性和互相关性分析结果，甘池泉流量不仅与当前降水量相关，而且与前期降水量及反映调蓄能力的前期泉流量相关。因此泉流量应反映为以下关系式（Hsu，et al，1995）：
式中，Qt为t时段的泉流量，Pt为t时段降水，f为反映泉域调蓄作用的函数。
按照多元线性回归分析，模型输入因子包括Pt，Pt-5，Pt-6，Qt-1，Qt-2，流量可表述为如下多元组合模型（Caihong Hu，et al，2008）：
式中：a、b、c为回归系数。
采用多元线性回归分析方法，根据2014年1月—2017年12月时段内的监测数据，建立模型为（米红等，2004;杨叔子等，2007）：
根据多元线性回归方程的显著性检验（F检验），F=7.039，显著性水平α=0.001，表明回归方程是显著的。
3.2 模型拟合验证
模型拟合率定时段降水-泉流量过程曲线见图5。利用纳什效率系数（NSE）验证模拟结果，NSE为0.72，模拟精度较高。
式中：E为纳什效率系数，Qo指观测值，Qm指模拟值，t为时刻，表示观测值的总平均值（Nash，et al，1970）。E取值为负无穷至1，E接近1，表示模式质量好，模型可信度高;E接近0，表示模拟结果接近观测值的平均水平，即总体结果可信，但过程模拟误差大;E远小于0，则模型不可信。
用所得模型进一步预测验证期2018年1月—2018年12月泉流量，如图6。根据实测，2018年12月泉流量出现骤降，仅为2209.68m3/d，与测点上游截流有关，因此模型预测结果出现偏差。除去12月预测值，验证期纳什效率系数（NSE）为0.70，验证效果较好。
3.3 模型预测效果分析
利用多元线性回归模型进行甘池泉水流量动态预测对泉生态的保护及地下水的合理利用有重要作用。由公式可知，降水结束后，根据t-1和t-2时刻的泉流量及t-5和t-6时刻的降水量预测t时刻泉流量，再以预测值作为已知值，继续预测，从而得到不同时期的系列数值。由于自变量为预测数值，随时段增加，因变量误差会随之增大，如图7所示。本文模型用于预测4个月之内泉流量較为可靠。
4 滞时特征分析
大气降水-甘池泉流量信息的转化程度取决于岩溶含水层导水系统的结构，即受水文地质条件影响显著。根据钻孔信息与地勘资料，泉域范围内岩溶洞穴与裂隙均比较发育，从山区向平原，岩溶裂隙发育由弱到强，发育深度在15～35m，越靠近甘池泉出露区，即地下水径流的下游，岩溶裂隙越发育。
结合互相关性系数及其显著性检验水平，泉流量除对当时降水响应迅速外，峰值滞时5～6月。短期滞时反映降水时裂隙系统的快速响应，泉流量在短期降水后产生的径流主要来自于表层岩溶带裂隙水流，渗透系数大，水流速度快，调蓄能力较弱。而5～6月的长滞时响应则来源于深远部岩溶带细小裂隙水流，渗透速度小，补给路径长，调蓄能力大。岩溶含水层是一套持续演变的复杂系统，具有裂隙流、管道流、层流、紊流并存的特点，因此，有关甘池泉岩溶地下水的流动规律，及其径流形成机制的定量分析还有待进一步研究。
5 结论
（1）甘池泉是北京西南部的重要地质生态要素，研究泉动态变化对大气降水的响应关系，对泉水资源的保护和利用具有重要价值。通过建立泉流量自相关及与降水互相关的多元线性回归模型，得到了定量分析结果。泉流量月序列监测数据具备以一年为周期的波动变化，除对当时降水响应迅速外，对降水脉冲的滞后时间为5～6个月。模型验证与预测效果表明，该模型预测4个月之内的泉流量精度较好。 （2）通過滞时分析，短滞时泉流量主要来自于表层岩溶带裂隙水流，长滞时泉流量则很可能来源于深远部岩溶带细小裂隙水流。
（3）大气降水是影响甘池泉流量的关键因素，本文所建模型建立在人为干扰条件多年不变的前提下，存在一定局限性，为提高模型精度，今后还需结合人工开采和地下水位等进行深入研究。
参考文献
北京市水文地质工程地质公司，1983. 北京泉志[R].
米红，张文璋，2004. 实用现代统计分析方法及SPSS应用[M]. 北京：当代中国出版社.
王茂枚，束龙仓，季叶飞，等，2008. 济南岩溶泉水流量衰减原因分析及动态模拟[J]. 中国岩溶，27（1）：19-31.
杨叔子，吴雅，轩建平，等，2007. 时间序列分析的工程应用[M]. 武汉： 华中科技大学出版社.
严小龙，陈喜，张志才，等，2012. 基于多元线性回归的表层岩溶泉流量预测[J]. 中国岩溶，31（2）：154-159.
于翠翠，陈瑞恒，胡思敬，等，2017. 应用SPSS分析降水年际年内变化对泉水动态影响——以济南明水泉域百脉泉群为例[J]. 山东国土资源，33（3）：52-58.
郑雪，陈喜，张志才，2014. 贵州普定陈旗喀斯特泉的降雨-径流响应特征分析[J]. 地球与环境，42（1）：221-227.
周训，1990. 降雨量、泉流量时间序列的谱分析[J]. 勘察科学技术，（2）：11-16.
Hsu K L， Gupta H V， Sorooshian S， 1995. Artificial neural network modeling of the rainfall-runoff process[J]. Water Resources Research， 31（10）： 2517-2530.
Hu Caihong， Hao Yonghong， Yeh T J， et al，2008. Simulation of spring flows from a karst aquifer with an artificial neural network[J]. Hydrological Processes， 22： 596-604.
Larocque M， Mangin A， Razack M， et al， 1998. Contribution of correlation and spectral analyses to the regional
study of a large karst aquifer（Charente， France）[J]. Journal of Hydrology， 205： 217-231.
Nash J E， Sutcliffe J V， 1970. River flow forecasting through conceptual models part Ⅰ— A discussion of principles[J]. Journal of Hydrology， 10（3）： 282–290.
关键词：甘池泉;多元线性回归;泉流量-降水响应
中图分类号：P641.1 文献标识码：A 文章编号：1007-1903（2019）02-0031-05
Abstract： Based on the monitoring data of Ganchi spring discharge in Changgou Town， Fangshan District of Beijing， the spring discharge and rainfalls are quantitatively analyzed by using the multiple linear regression methods. The result of correlation analysis shows that the time relationship between spring discharge and rainfalls can be classified into short-term response （fast response） and long-term response （5-6 months）. Multiple linear regression model of the spring discharge-rainfall is established， and the Nash-Sutcliffe efficiency coefficient （NSE=0.72） illustrates that the output results of the model fit the measured discharge series well. According to the predicted result， the model established in this paper is feasible for simulating the spring discharge in 4 months. Combined with the aquifer properties of Ganchi spring basin， the runoff of the short-term response is derived mostly from the surface karst fissure water， and the tiny karst fissure water in the depths or distance， resulting in the long-term response.
Keywords： Ganchi spring; Multiple linear regression; Response analysis of spring discharge and rainfall
0 前言
泉是地下水的天然露头，也是重要的生态环境要素，其流量动态是反应含水系统特征的重要指标。影响泉水流量动态的因素主要有大气降水、人工开采、土地利用等，从水文循环角度来看，大气降水是泉水最根本的补给来源，对泉水动态变化起着主导作用（王茂枚等，2008;于翠翠等，2017）。
据1981年统计数据，北京曾有泉1347处，绝大多数分布于北京的西山和北山地区，这些天然流量曾是居民生活和农牧林业等主要水源或唯一水源（北京市水文地质工程地质公司，1983）。伴随着城市化进程的加快，许多泉水已经断流，据2014年数据，北京目前泉水仅存160余处。如何保护在流泉水，并使断流泉眼复涌是摆在首都水文地质工作者面前的新课题。
甘池泉作为北京西南部较大的泉水之一，是长沟湿地的生态水源，也是“水岸花田”的重要组成部分。笔者基于实测泉水流量动态与降水资料，运用SPSS软件，通过自相关性、互相关性分析，建立多元线性回归模型，分析泉水动态对降水事件的響应过程，探析泉流量变化成因，以期有助于认识泉域地区的水文过程，为泉水的合理保护和科学利用提供科学依据。
1 概况
甘池泉群位于房山区长沟镇，包括宣新寺泉、西甘池泉、北甘池泉和东甘池泉，其中以北甘池泉（胜泉）为主，现今仅存北甘池泉与西甘池泉两处，为上升泉。泉域内地势西北高、东南低，地面平均高程45m。研究区属暖温带半湿润季风气候区，多年平均降水量578.26mm，年均气温11.16℃。
泉群西北部山区广泛分布蓟县系雾迷山组（Jxw），岩性以白云岩为主，沉积厚度2600m左右，发育有走向NE75°～80°及NW10°～15°两组高角度节理裂隙，岩溶亦发育，是良好的含水层。泉域范围内，地下水由西北山区流向东南平原区，在山前地区受到洪水庄组页岩（Jxh）、下马岭组页岩（Qnx）及第四系粘性土（Q）不透水层的阻挡，向西甘池、北甘池低洼沟谷地带汇集并溢出地表，形成泉群（图1、图2）。大气降水是泉域内主要的补给来源，以裸露白云岩大气降水的分散面状入渗为主要补给方式。甘池泉常年涌流不息，1981年流量约20000m3/d，之后流量衰减，近3年又略有回升。据2003-2018年监测资料，最大流量出现在2007年，约38000m3/d，多年日均流量11902m3/d。甘池泉水质优良，近5年水质均符合《地下水质量标准》（GB/T 14848-2017）Ⅱ类标准要求。 本文选取观测期2014年1月-2018年12月的降水、泉流量资料，时间间隔为1个月，统计分析甘池泉对大气降水流量的响应特征。观测期内，平均泉流量10351m3/d，最大泉流量27966m3/d。总体而言，降水在时间上的分布极不均匀，陡涨陡落，流量峰值持续时间短。
2 大气降水与泉流量相关系数分析
以Qt代表泉流量序列，Pt代表降水量序列，分析自相关性与互相关性。
2.1泉流量自相关性分析
自相关系数Rj主要用来研究一段时间内数据序列自身的线性相依性及其随时移（滞时）增加而变化的特征（严小龙等，2012;郑雪等，2014;周训，1990）。设时间序列是由N个经标准化后的数据Xm （m=0，1，…，N-1）组成，自相关系数由下式计算：
其中，两个时间m与m+j之间的时间间隔叫做滞时。
选取2014年1月-2017年12月甘池泉流量观测资料，计算自相关系数及其显著性，如图3所示。自相关系数Rj随滞时j变化特征反映区域含水层系统对流量的调蓄作用，泉流量月序列监测数据具备以一年为周期的波动变化，由图可见，随着滞时j的增长，自相关系数Rj减小。结合显著性检验（置信水平95%），甘池泉流量主要受前一个月流量Qt-1和前两个月流量Qt-2的影响。
2.2 大气降水与泉流量互相关性分析
互相关系数是估计两变量（降水与泉流量）滞后域上输入输出函数间相关程度的一种度量。
设xm和ym （m=0，1，…，N-1）是两个标准化的时间序列数据，互相关系数计算公式如下：
式中，
T是最大滞后数。
在月序列互相关图4中，曲线峰值可以反映泉流量对降水量的响应程度：峰值越大，响应越灵敏（Larocque，et al，1998）。甘池泉的互相关系数在滞后6个月处达到峰值，为0.448。表明泉流量峰值比降水量峰值滞后5～6个月，之后以滞后为6个月的倍数出现峰值。结合显著性检验（置信水平95%），甘池泉流量主要受当时降水量Pt，前5个月降水量Pt-5，前6个月降水量Pt-6的影响。
3 多元线性回归分析
3.1 模型建立
由自相关性和互相关性分析结果，甘池泉流量不仅与当前降水量相关，而且与前期降水量及反映调蓄能力的前期泉流量相关。因此泉流量应反映为以下关系式（Hsu，et al，1995）：
式中，Qt为t时段的泉流量，Pt为t时段降水，f为反映泉域调蓄作用的函数。
按照多元线性回归分析，模型输入因子包括Pt，Pt-5，Pt-6，Qt-1，Qt-2，流量可表述为如下多元组合模型（Caihong Hu，et al，2008）：
式中：a、b、c为回归系数。
采用多元线性回归分析方法，根据2014年1月—2017年12月时段内的监测数据，建立模型为（米红等，2004;杨叔子等，2007）：
根据多元线性回归方程的显著性检验（F检验），F=7.039，显著性水平α=0.001，表明回归方程是显著的。
3.2 模型拟合验证
模型拟合率定时段降水-泉流量过程曲线见图5。利用纳什效率系数（NSE）验证模拟结果，NSE为0.72，模拟精度较高。
式中：E为纳什效率系数，Qo指观测值，Qm指模拟值，t为时刻，表示观测值的总平均值（Nash，et al，1970）。E取值为负无穷至1，E接近1，表示模式质量好，模型可信度高;E接近0，表示模拟结果接近观测值的平均水平，即总体结果可信，但过程模拟误差大;E远小于0，则模型不可信。
用所得模型进一步预测验证期2018年1月—2018年12月泉流量，如图6。根据实测，2018年12月泉流量出现骤降，仅为2209.68m3/d，与测点上游截流有关，因此模型预测结果出现偏差。除去12月预测值，验证期纳什效率系数（NSE）为0.70，验证效果较好。
3.3 模型预测效果分析
利用多元线性回归模型进行甘池泉水流量动态预测对泉生态的保护及地下水的合理利用有重要作用。由公式可知，降水结束后，根据t-1和t-2时刻的泉流量及t-5和t-6时刻的降水量预测t时刻泉流量，再以预测值作为已知值，继续预测，从而得到不同时期的系列数值。由于自变量为预测数值，随时段增加，因变量误差会随之增大，如图7所示。本文模型用于预测4个月之内泉流量較为可靠。
4 滞时特征分析
大气降水-甘池泉流量信息的转化程度取决于岩溶含水层导水系统的结构，即受水文地质条件影响显著。根据钻孔信息与地勘资料，泉域范围内岩溶洞穴与裂隙均比较发育，从山区向平原，岩溶裂隙发育由弱到强，发育深度在15～35m，越靠近甘池泉出露区，即地下水径流的下游，岩溶裂隙越发育。
结合互相关性系数及其显著性检验水平，泉流量除对当时降水响应迅速外，峰值滞时5～6月。短期滞时反映降水时裂隙系统的快速响应，泉流量在短期降水后产生的径流主要来自于表层岩溶带裂隙水流，渗透系数大，水流速度快，调蓄能力较弱。而5～6月的长滞时响应则来源于深远部岩溶带细小裂隙水流，渗透速度小，补给路径长，调蓄能力大。岩溶含水层是一套持续演变的复杂系统，具有裂隙流、管道流、层流、紊流并存的特点，因此，有关甘池泉岩溶地下水的流动规律，及其径流形成机制的定量分析还有待进一步研究。
5 结论
（1）甘池泉是北京西南部的重要地质生态要素，研究泉动态变化对大气降水的响应关系，对泉水资源的保护和利用具有重要价值。通过建立泉流量自相关及与降水互相关的多元线性回归模型，得到了定量分析结果。泉流量月序列监测数据具备以一年为周期的波动变化，除对当时降水响应迅速外，对降水脉冲的滞后时间为5～6个月。模型验证与预测效果表明，该模型预测4个月之内的泉流量精度较好。 （2）通過滞时分析，短滞时泉流量主要来自于表层岩溶带裂隙水流，长滞时泉流量则很可能来源于深远部岩溶带细小裂隙水流。
（3）大气降水是影响甘池泉流量的关键因素，本文所建模型建立在人为干扰条件多年不变的前提下，存在一定局限性，为提高模型精度，今后还需结合人工开采和地下水位等进行深入研究。
参考文献
北京市水文地质工程地质公司，1983. 北京泉志[R].
米红，张文璋，2004. 实用现代统计分析方法及SPSS应用[M]. 北京：当代中国出版社.
王茂枚，束龙仓，季叶飞，等，2008. 济南岩溶泉水流量衰减原因分析及动态模拟[J]. 中国岩溶，27（1）：19-31.
杨叔子，吴雅，轩建平，等，2007. 时间序列分析的工程应用[M]. 武汉： 华中科技大学出版社.
严小龙，陈喜，张志才，等，2012. 基于多元线性回归的表层岩溶泉流量预测[J]. 中国岩溶，31（2）：154-159.
于翠翠，陈瑞恒，胡思敬，等，2017. 应用SPSS分析降水年际年内变化对泉水动态影响——以济南明水泉域百脉泉群为例[J]. 山东国土资源，33（3）：52-58.
郑雪，陈喜，张志才，2014. 贵州普定陈旗喀斯特泉的降雨-径流响应特征分析[J]. 地球与环境，42（1）：221-227.
周训，1990. 降雨量、泉流量时间序列的谱分析[J]. 勘察科学技术，（2）：11-16.
Hsu K L， Gupta H V， Sorooshian S， 1995. Artificial neural network modeling of the rainfall-runoff process[J]. Water Resources Research， 31（10）： 2517-2530.
Hu Caihong， Hao Yonghong， Yeh T J， et al，2008. Simulation of spring flows from a karst aquifer with an artificial neural network[J]. Hydrological Processes， 22： 596-604.
Larocque M， Mangin A， Razack M， et al， 1998. Contribution of correlation and spectral analyses to the regional
study of a large karst aquifer（Charente， France）[J]. Journal of Hydrology， 205： 217-231.
Nash J E， Sutcliffe J V， 1970. River flow forecasting through conceptual models part Ⅰ— A discussion of principles[J]. Journal of Hydrology， 10（3）： 282–290.