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2010年9月,为完成浙江省深化基础教育课程改革指导意见及运作方案的起草,浙江师范大学基础教育研究中心在裴娣娜教授的带领下,在杭州市滨江区、金华市武义县、温州市鹿城区的一些中小学开展了调研活动.活动期间,中心成员随机进入课堂,听取了几堂原生态的教学,并与教师展开了交流.
9月17日,笔者在武义县下杨中学听了两位教师关于《扇形及其面积公式》的课,所使用的教科书是浙江教育出版社出版的义务教育课程标准实验教科书《数学(九年级上册》,两节课的教学设计和教学内容也基本一致.两位任课教师(王妃老师、吴旭峰老师)都很年轻,非常认真负责,在教学中努力渗透了新课程的理念,取得了一定的教学效果.但在这两节课中,也存在一些小瑕疵；本文摘录其中几个教学片段,并谈点自己的看法.
1 如何得到扇形面积公式一
教学片段
1.设问：扇形面积和哪些因素有关？
2.结论：当圆半径一定时,扇形面积随圆周角的增大而增大.也就是说,扇形面积与半径和圆心角有关.
3.想一想：
分析 在这一教学片段里,师生一起从特殊到一般归纳出扇形面积公式；同时也体现了扇形与圆的关系,即部分与整体的关系.而这正是这一公式的本质所在.
问题是,有必要花那么多时间来进行这样的探索吗？事实上,上一课时求弧长公式,就是利用弧与圆周的关系,先分别求1°、2°、60°等特殊圆心角所对圆弧的弧长,再到一般角n°,来求得弧长公式.这种方法确实可以简单地迁移到扇形面积公式的推导.但是,我们也可以由弧长公式直接类比得到扇形面积公式.从圆的周长到弧长公式得到启发,可以直接由圆的面积得到扇形面积公式；只要抓住扇形与圆是部分与整体的关系这一本质,即可得到扇形面积公式,无需拐弯抹角.
教学中可以这样设计：
又圆面积公式为S=πr2,那么扇形面积公式为S=？(其中半径为r,圆心角为n°.)
由方法的迁移到公式的类比,学生所经历的时间可以简短,但数学思维将会更精致,有更高层次的跳跃.而教师需要明确,新知识的生长点在于扇形与圆的关系,以及圆的面积公式.
2 如何明确扇形面积公式二
生：(学生朗读和背诵.)
师：(若干时间后)记住了没有？
生：(齐答)记住了.
分析 在这一教学片段中,教师“给大家15秒的时间记忆一下”以及学生的朗读和背诵给笔者深深地触动.在数学中,必要的记忆是需要的；但问题是,如何来记忆？是死记硬背,还是在理解基础上的记忆？教师应该帮助学生明确这一公式,理解这一公式,给学生或者是和学生一起寻找一种简洁、科学、合理、容易的记忆方法.
对这一公式,学生首先得知道公式是如何得到；这一工作,教师在教学中已经做到了,找准新知识的生长点：圆的面积公式和弧长公式,以及两者之间的关系.其次,还应寻找这一公式与其他内容的联系.事实上,我们不难发现以下联系.
①与三角形面积公式的类比：作一个底为弧长、高为半径的三角形,如图1叠放.
这样,数形结合,借助图形的直观,可以帮助学生记忆这一公式.章建跃和曹才翰先生在《数学教育心理学》［1］一书中指出,数学教学中,数形结合能力的培养,不仅涉及数学知识的应用(与问题解决能力相关),而且也涉及数学知识的记忆.教师强调数形结合,实质是为学生提供视觉映像,是利用数学学习材料是数与形的统一这个特点,使抽象的数学知识形象化,从而使数学知识所具有的双重表象的作用得到发挥,学生在记忆它时就可以形成言语记忆痕迹,又可以形式视觉记忆痕迹.
在硬纸上画一个圆,把圆分成若干(偶数)等分,剪开后,用这些近似等腰三角形的小纸片拼一拼.可以发现,如果分的份数越多,每一份就会越小,拼成的图形就会越接近于长方形.
从图2中可以看出,圆的半径是r,长方形的长是[SX(]C[]2[SX)]=πr,宽是r.因为长方形的面积=πr×r,所以圆的面积=πr×r=πr2.
这样,把圆分割转化为长方形,利用长方形面积公式和圆周长公式得到圆面积公式.而这其实就是上文②的逆过程.
进行数学公式的教学时,应关注公式的“来龙去脉”.“来龙”即公式是如何得到的,“去脉”则是公式与其他数学内容的联系.曹才翰先生在《中学数学教学概论》［2］一书中针对公式的教学,指出：(1)要重视公式的推导；(2)公式的外形与特点；(3)公式的条件是公式存在的前提；(4)要在体系中掌握公式(这要分三种情况来讨论,其中第二种情况为要注意公式的正、反使用).我们不难发现,这里的(1)即是“来龙”,而(2)与(4)则是“去脉”.就扇形面积公式二而言,上文中的①借助于图形直观以及与三角形面积公式的类比,关注到了“公式的外形与特点”；而②和③则是让学生“在体系中掌握公式”,是在过程和方法上深层次地与圆面积公式建立起联系.经过这些活动,学生对扇形面积公式二有较深刻的理解.所以,教师对公式要有深刻和全方位的理解,对公式的“来龙去脉”要非常清楚.教师自身有理解,才能帮助学生理解,让学生多角度理解这一公式,在理解的基础上记忆公式,而不是死记硬背.
3 如何体现数学文化的教学
关注公式的“来龙去脉”,其中的“去脉”还表现在公式的应用上.在教学中,教师设置了一定量的例题和练习,来巩固扇形面积公式.我们来看其中一个例题以及教师的讲解.
教学片段
师：有这样一个问题,如图3,AB、CD是半径为r的圆O的两条互相垂直的直径,以B为圆心作弧CED,求阴影部分的面积.
师：条件只有一个,半径为r.找思路,先找思路.目标图形是个月形,象月亮一样.……(对生1说)请你说一下你的思路.
生1：半圆面积减去弓形面积.
师：首先是半圆的面积减去块弓形的面积.这个思路可行吗？半圆面积好求吗？弓形面积好求吗？怎么求？
生：(齐答)扇形面积减去三角形面积.
师：扇形在哪里？
生：(齐答)BCED.
师：这个扇形减去三角形BCD.然后这个半圆面积减去这个弓形面积.所以,千奇百怪的图形,你要把它转化为正规的图形.正规的图形有扇形、三角形等.还有一种方法,就是迁移,把不规则图形,组合成规则的图形.碰到问题,要动动脑筋；我们学过的,也就只有这几种.你要记住这一点.
分析 教师注意到这道题目的解决体现了“转化”的思想,在教学中,也向学生强调这一点.然而,给人的感觉是“就题论题”而“意犹未尽”.教师将这一问题作为练习,求得月牙形面积等于半圆面积减去弓形面积,就到此为止.事实上,此题还可以作深入的挖掘,可以引导学生进一步思考以下问题.
①有没有其他的方法？
②你发现什么结果？(月牙面积居然等于那个三角形的面积.)为什么会这样？(扇形的面积与半圆面积是相等的,而弓形恰好是它们的公共部分,那么剩下的月牙形面积当然等于剩下的三角形面积.所以,在做题之前,应先仔细阅读题目,观察图形,找到联系,这样可以快速准确地找到答案.)
③在图3中,你还有其他的发现吗？(比如,半弓形CEO与小弓形CB相等.)
④变式题一：如图4,求等腰直角三角形腰上两个月牙的面积.
⑤变式题二：如图5,求直角三角形直角边上两个月牙的面积.
⑥变式题三：如图6,求底角为60°的等腰梯形上三个月牙的面积.
⑦图6可以变为图7,求正六边形上六个月牙的面积.图6象一朵六瓣葵花.
⑧六瓣葵花还可以再变为八瓣葵花,以至更多.
做习题,不在于数量的多少,而在于质量.简单重复不能提高学生的解题能力.习题的质量体现在一个问题及其变式题组的广度和深度上.教师在教学中要精选例题,并深入挖掘.
此外,数学问题教学有不同的层次,从而导致学生对数学有不同形式和层次的认识.
①数学课上有太多的例题和习题,那么,学生就认为数学只不过是一堆习题,学数学就是做习题.
②将历史和文化带入数学课堂,那么学生体验到的数学则是文化的数学、历史的数学.在探究上述变式一和二时,教师不妨插入古希腊三大几何作图难题中的化圆为方和希波克拉底月牙,就可以让学生体验充满历史和文化的数学.文［3］展示了数学史在“扇形面积”教学中的运用,其中的教学设计包含浓郁的历史文化气息,体现数学是人类的一种文化,让学生体会数学的悠久历史,数学与人类文明的密切相关性；利用背景知识以及古人的问题情境,激发学生的好奇心与学习兴趣,促进自主学习.
③展示一些体现数学美妙、好玩的素材.数学不是一堆枯燥的数字和公式,数学还是美妙的,学数学并不是痛苦的,因为还有好玩的数学.在探究上述变式三和四时,教师如能用多媒体展示六瓣葵花、八瓣葵花……,那么一朵朵盛开的数学之花则让学生看到了数学的美丽和神奇.这一活动有点象一个游戏,而且是数学游戏.事实上,游戏是学生获得数学内容与思想方法的有效方法之一,游戏有利于培养学生的数学思维,游戏还可以培养学生正确的数学态度.［4］
目前我们借《多元文数学课程的理论与实践》这一课题,与中小学一线教师合作,开发一系列基于数学文化的数学教学案例.这些教学案例的设计思路是：从数学本质(数学的文化本质)出发,通过建立数学与数学史(或数学文化史)、社会文化、数学应用、民族传统等等的联系(即创立文化关联),将数学本质与学生主体经验相联系.基于数学文化的教学案例要让学生感受到数学学习的开放性及其向其他各个领域的广泛渗透性,体验到资源对其经验的支撑,领悟到学习者之间的互动交流对于知识构建的意义,进而体验到“数学本质上是一种文化”,从而使学习者达到对数学学习的深刻文化陶醉与心灵提升.［5］我们有理由认为,《扇形面积公式》教学中加入求月牙面积是一则值得开发与挖掘的案例.
参考文献
［1］章建跃,曹才翰.数学教育心理学［M］.北京:北京师范大学出版社.1999．
［2］ 曹才翰.中学数学教学概论［M］.北京:北京师范大学出版社.1990．
［3］ 王翎.数学史在“扇形面积”教学中的运用［J］.数学教学,2007,(8):44—45,30．
［4］ 张维忠,汪晓勤.文化传统与数学教育现代化［M］.北京:北京大学出版社,2006．
［5］ 张维忠,徐晓芳.基于数学文化的教学案例设计述评［J］.浙江师范大学学报(自然科学版),2008,31(3):246—250．
［6］ 苗雪红.卢梭对儿童生命之“自然”的认识［J］.浙江师范大学学报(社会科学版),2010,35(3):32—37．
［7］ 张华龙.体悟的教育学意义［J］.浙江师范大学学报(社会科学版),2010,35(4):84—89．作者简介：朱哲,男，1979年生，浙江绍兴人. 博士，主要从事数学课程与教学论、数学史与数学教育研究.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
9月17日,笔者在武义县下杨中学听了两位教师关于《扇形及其面积公式》的课,所使用的教科书是浙江教育出版社出版的义务教育课程标准实验教科书《数学(九年级上册》,两节课的教学设计和教学内容也基本一致.两位任课教师(王妃老师、吴旭峰老师)都很年轻,非常认真负责,在教学中努力渗透了新课程的理念,取得了一定的教学效果.但在这两节课中,也存在一些小瑕疵；本文摘录其中几个教学片段,并谈点自己的看法.
1 如何得到扇形面积公式一
教学片段
1.设问：扇形面积和哪些因素有关？
2.结论：当圆半径一定时,扇形面积随圆周角的增大而增大.也就是说,扇形面积与半径和圆心角有关.
3.想一想：
分析 在这一教学片段里,师生一起从特殊到一般归纳出扇形面积公式；同时也体现了扇形与圆的关系,即部分与整体的关系.而这正是这一公式的本质所在.
问题是,有必要花那么多时间来进行这样的探索吗？事实上,上一课时求弧长公式,就是利用弧与圆周的关系,先分别求1°、2°、60°等特殊圆心角所对圆弧的弧长,再到一般角n°,来求得弧长公式.这种方法确实可以简单地迁移到扇形面积公式的推导.但是,我们也可以由弧长公式直接类比得到扇形面积公式.从圆的周长到弧长公式得到启发,可以直接由圆的面积得到扇形面积公式；只要抓住扇形与圆是部分与整体的关系这一本质,即可得到扇形面积公式,无需拐弯抹角.
教学中可以这样设计：
又圆面积公式为S=πr2,那么扇形面积公式为S=？(其中半径为r,圆心角为n°.)
由方法的迁移到公式的类比,学生所经历的时间可以简短,但数学思维将会更精致,有更高层次的跳跃.而教师需要明确,新知识的生长点在于扇形与圆的关系,以及圆的面积公式.
2 如何明确扇形面积公式二
生：(学生朗读和背诵.)
师：(若干时间后)记住了没有？
生：(齐答)记住了.
分析 在这一教学片段中,教师“给大家15秒的时间记忆一下”以及学生的朗读和背诵给笔者深深地触动.在数学中,必要的记忆是需要的；但问题是,如何来记忆？是死记硬背,还是在理解基础上的记忆？教师应该帮助学生明确这一公式,理解这一公式,给学生或者是和学生一起寻找一种简洁、科学、合理、容易的记忆方法.
对这一公式,学生首先得知道公式是如何得到；这一工作,教师在教学中已经做到了,找准新知识的生长点：圆的面积公式和弧长公式,以及两者之间的关系.其次,还应寻找这一公式与其他内容的联系.事实上,我们不难发现以下联系.
①与三角形面积公式的类比：作一个底为弧长、高为半径的三角形,如图1叠放.
这样,数形结合,借助图形的直观,可以帮助学生记忆这一公式.章建跃和曹才翰先生在《数学教育心理学》［1］一书中指出,数学教学中,数形结合能力的培养,不仅涉及数学知识的应用(与问题解决能力相关),而且也涉及数学知识的记忆.教师强调数形结合,实质是为学生提供视觉映像,是利用数学学习材料是数与形的统一这个特点,使抽象的数学知识形象化,从而使数学知识所具有的双重表象的作用得到发挥,学生在记忆它时就可以形成言语记忆痕迹,又可以形式视觉记忆痕迹.
在硬纸上画一个圆,把圆分成若干(偶数)等分,剪开后,用这些近似等腰三角形的小纸片拼一拼.可以发现,如果分的份数越多,每一份就会越小,拼成的图形就会越接近于长方形.
从图2中可以看出,圆的半径是r,长方形的长是[SX(]C[]2[SX)]=πr,宽是r.因为长方形的面积=πr×r,所以圆的面积=πr×r=πr2.
这样,把圆分割转化为长方形,利用长方形面积公式和圆周长公式得到圆面积公式.而这其实就是上文②的逆过程.
进行数学公式的教学时,应关注公式的“来龙去脉”.“来龙”即公式是如何得到的,“去脉”则是公式与其他数学内容的联系.曹才翰先生在《中学数学教学概论》［2］一书中针对公式的教学,指出：(1)要重视公式的推导；(2)公式的外形与特点；(3)公式的条件是公式存在的前提；(4)要在体系中掌握公式(这要分三种情况来讨论,其中第二种情况为要注意公式的正、反使用).我们不难发现,这里的(1)即是“来龙”,而(2)与(4)则是“去脉”.就扇形面积公式二而言,上文中的①借助于图形直观以及与三角形面积公式的类比,关注到了“公式的外形与特点”；而②和③则是让学生“在体系中掌握公式”,是在过程和方法上深层次地与圆面积公式建立起联系.经过这些活动,学生对扇形面积公式二有较深刻的理解.所以,教师对公式要有深刻和全方位的理解,对公式的“来龙去脉”要非常清楚.教师自身有理解,才能帮助学生理解,让学生多角度理解这一公式,在理解的基础上记忆公式,而不是死记硬背.
3 如何体现数学文化的教学
关注公式的“来龙去脉”,其中的“去脉”还表现在公式的应用上.在教学中,教师设置了一定量的例题和练习,来巩固扇形面积公式.我们来看其中一个例题以及教师的讲解.
教学片段
师：有这样一个问题,如图3,AB、CD是半径为r的圆O的两条互相垂直的直径,以B为圆心作弧CED,求阴影部分的面积.
师：条件只有一个,半径为r.找思路,先找思路.目标图形是个月形,象月亮一样.……(对生1说)请你说一下你的思路.
生1：半圆面积减去弓形面积.
师：首先是半圆的面积减去块弓形的面积.这个思路可行吗？半圆面积好求吗？弓形面积好求吗？怎么求？
生：(齐答)扇形面积减去三角形面积.
师：扇形在哪里？
生：(齐答)BCED.
师：这个扇形减去三角形BCD.然后这个半圆面积减去这个弓形面积.所以,千奇百怪的图形,你要把它转化为正规的图形.正规的图形有扇形、三角形等.还有一种方法,就是迁移,把不规则图形,组合成规则的图形.碰到问题,要动动脑筋；我们学过的,也就只有这几种.你要记住这一点.
分析 教师注意到这道题目的解决体现了“转化”的思想,在教学中,也向学生强调这一点.然而,给人的感觉是“就题论题”而“意犹未尽”.教师将这一问题作为练习,求得月牙形面积等于半圆面积减去弓形面积,就到此为止.事实上,此题还可以作深入的挖掘,可以引导学生进一步思考以下问题.
①有没有其他的方法？
②你发现什么结果？(月牙面积居然等于那个三角形的面积.)为什么会这样？(扇形的面积与半圆面积是相等的,而弓形恰好是它们的公共部分,那么剩下的月牙形面积当然等于剩下的三角形面积.所以,在做题之前,应先仔细阅读题目,观察图形,找到联系,这样可以快速准确地找到答案.)
③在图3中,你还有其他的发现吗？(比如,半弓形CEO与小弓形CB相等.)
④变式题一：如图4,求等腰直角三角形腰上两个月牙的面积.
⑤变式题二：如图5,求直角三角形直角边上两个月牙的面积.
⑥变式题三：如图6,求底角为60°的等腰梯形上三个月牙的面积.
⑦图6可以变为图7,求正六边形上六个月牙的面积.图6象一朵六瓣葵花.
⑧六瓣葵花还可以再变为八瓣葵花,以至更多.
做习题,不在于数量的多少,而在于质量.简单重复不能提高学生的解题能力.习题的质量体现在一个问题及其变式题组的广度和深度上.教师在教学中要精选例题,并深入挖掘.
此外,数学问题教学有不同的层次,从而导致学生对数学有不同形式和层次的认识.
①数学课上有太多的例题和习题,那么,学生就认为数学只不过是一堆习题,学数学就是做习题.
②将历史和文化带入数学课堂,那么学生体验到的数学则是文化的数学、历史的数学.在探究上述变式一和二时,教师不妨插入古希腊三大几何作图难题中的化圆为方和希波克拉底月牙,就可以让学生体验充满历史和文化的数学.文［3］展示了数学史在“扇形面积”教学中的运用,其中的教学设计包含浓郁的历史文化气息,体现数学是人类的一种文化,让学生体会数学的悠久历史,数学与人类文明的密切相关性；利用背景知识以及古人的问题情境,激发学生的好奇心与学习兴趣,促进自主学习.
③展示一些体现数学美妙、好玩的素材.数学不是一堆枯燥的数字和公式,数学还是美妙的,学数学并不是痛苦的,因为还有好玩的数学.在探究上述变式三和四时,教师如能用多媒体展示六瓣葵花、八瓣葵花……,那么一朵朵盛开的数学之花则让学生看到了数学的美丽和神奇.这一活动有点象一个游戏,而且是数学游戏.事实上,游戏是学生获得数学内容与思想方法的有效方法之一,游戏有利于培养学生的数学思维,游戏还可以培养学生正确的数学态度.［4］
目前我们借《多元文数学课程的理论与实践》这一课题,与中小学一线教师合作,开发一系列基于数学文化的数学教学案例.这些教学案例的设计思路是：从数学本质(数学的文化本质)出发,通过建立数学与数学史(或数学文化史)、社会文化、数学应用、民族传统等等的联系(即创立文化关联),将数学本质与学生主体经验相联系.基于数学文化的教学案例要让学生感受到数学学习的开放性及其向其他各个领域的广泛渗透性,体验到资源对其经验的支撑,领悟到学习者之间的互动交流对于知识构建的意义,进而体验到“数学本质上是一种文化”,从而使学习者达到对数学学习的深刻文化陶醉与心灵提升.［5］我们有理由认为,《扇形面积公式》教学中加入求月牙面积是一则值得开发与挖掘的案例.
参考文献
［1］章建跃,曹才翰.数学教育心理学［M］.北京:北京师范大学出版社.1999．
［2］ 曹才翰.中学数学教学概论［M］.北京:北京师范大学出版社.1990．
［3］ 王翎.数学史在“扇形面积”教学中的运用［J］.数学教学,2007,(8):44—45,30．
［4］ 张维忠,汪晓勤.文化传统与数学教育现代化［M］.北京:北京大学出版社,2006．
［5］ 张维忠,徐晓芳.基于数学文化的教学案例设计述评［J］.浙江师范大学学报(自然科学版),2008,31(3):246—250．
［6］ 苗雪红.卢梭对儿童生命之“自然”的认识［J］.浙江师范大学学报(社会科学版),2010,35(3):32—37．
［7］ 张华龙.体悟的教育学意义［J］.浙江师范大学学报(社会科学版),2010,35(4):84—89．作者简介：朱哲,男，1979年生，浙江绍兴人. 博士，主要从事数学课程与教学论、数学史与数学教育研究.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文