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摘 要：抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f（x），且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身，这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。
关键词：高中；抽象；函数
解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高，所以近几年来高考题中不断出现，在全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花，但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。
一、抽象函数的定义域
例1已知函数f（x）的定义域为[1，3]，求出函数g（x）=f（x+a）+f（x-a） （a>0）的定义域。
解析：由由a>0 知只有当0 点评：1.已知f（x）的定义域为[a，b]，则f[g（x）]的定义域由a≤g（x）≤b，解出x即可得解；
2.已知f[g（x）]的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域即是g（x）在x [a，b]上的值域.
二、抽象函数的值域
解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定.
例2若函数y=f（x+1）的值域为[-1，1]求y=（3x+2）的值域.
解析：因为函数y=f（3x+2）中的定义域与对应法则与函数y=f（x+1）的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f（3x+2）的值域也为[-1，1].
三、抽象函数的奇偶性
例3若y=f（x）是偶函数，y= f（x-1）是奇函数，求 f（2007）=？
解析：因为y=f（x-1）是奇函数，所以y=f（-x-1）=-f（x-1）{为什么？}；因为y=f（x）是偶函数，所以f（-x-1）=f（x+1）{为什么？}；因为f（x+1）=-f（x-1）， 所以f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=f（x）；因为y=f（x-1）是奇函数，所以f（0）=0=f（-1）=f（2007）
四、抽象函数的对称性
例4已知函数y=f（2x+1）是定义在R上的奇函数，函数y=g（x）的图像与函数y=f（x）的图像关于y=x对称，则g（x）+ g（-x）的值为（ ）
A、2 B、0 C、1 D、不能确定
解析：由y=f（2x+1）求得其反函数为y=[f（x）-1]/2，∵ y=f（2x+1） 是奇函数， ∴y=[f（x）-1]/2也是奇函数，∴[f（x）-1]/2+[f（-x）-1]/2=0 ∴f（x）+f（-x）=2，而函数y=g（x）的图像与函数y=f（x）的图像关于y=x对称，∴g（x）+ g（-x）= f（x）+f（-x）故选A .
五、抽象函数的周期性
例5、（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（ ）
（A） f（x）是偶函数 （B） f（x）是奇函数 （C） f（x）= f（x+2） （D） f（x+3）是奇函数 解析：∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，函数关于（-1，0）点，及点（1，0）对称，函数是周期为4的周期函数，所以f（x+3）= f（x-1），即f（x+3）是奇函数.故选D
关于抽象函数的周期性有如下的几个定理和性质，由于篇幅问题，推导就省略了。
定理如下：
定理1.若函数y=f （x） 定义域为R，且满足条件f （x+a）=f （x-b），则y=f （x） 是以T=a+b为周期的周期函数。
定理2.若函数y=f （x） 定义域为R，且满足条件f （x+a）= -f （x-b），则y=f （x） 是以T=2（a+b）为周期的周期函数。
定理3.若函数y=f （x）的图像关于直线 x=a与 x=b （a≠b）对称，则y=f （x） 是以T=2（b-a）为周期的周期函数。
定理4.若函数y=f （x）的图像关于点（a，0）与点（b，0） ， （a≠b）对称，则y=f （x） 是以 T=2（b-a）为周期的周期函数。
定理5.若函数y=f （x）的图像关于直线 x=a与 点（b，0），（a≠b）对称，则y=f （x） 是以 T=4（b-a）为周期的周期函数。
性质如下：
性质1：若函数f（x）满足f（a-x）=f（a+x）及f（b-x）=f（b+x） （a≠b，ab≠0），则函数f（x）有周期2（a-b）；
性质2：若函数f（x）满足f（a-x）= -f（a+x）及f（b-x）=-f（b+x），（a≠b，ab≠0），则函数有周期2（a-b）；
特别：若函数f（x）满足f（a-x）=f（a+x） （a≠0）且f（x）是偶函数，则函数f（x）有周期2a；
性质3：若函数f（x）满足f（a-x）=f（a+x）及f（b-x）=-f（b+x） （a≠b，ab≠0），则函数有周期4（a-b）；
特别：若函数f（x）满足f（a-x）=f（a+x） （a≠0）且f（x）是奇函数，则函数f（x）有周期4a。
从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高，但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。■
参考文献
【1】唐晓霞；分析典型题目探讨解题方法[J]；中学生数理化（高考版）；2011年09期
【2】刘庆民；高中生数学解题教学研究[D]；曲阜师范大学；2007年
【3】何玲.刘玲珑；抽象函数的解题思路[J]；中学生数理化（高中版？学研版）；2011年04期
关键词：高中；抽象；函数
解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高，所以近几年来高考题中不断出现，在全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花，但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。
一、抽象函数的定义域
例1已知函数f（x）的定义域为[1，3]，求出函数g（x）=f（x+a）+f（x-a） （a>0）的定义域。
解析：由由a>0 知只有当0
2.已知f[g（x）]的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域即是g（x）在x [a，b]上的值域.
二、抽象函数的值域
解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定.
例2若函数y=f（x+1）的值域为[-1，1]求y=（3x+2）的值域.
解析：因为函数y=f（3x+2）中的定义域与对应法则与函数y=f（x+1）的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f（3x+2）的值域也为[-1，1].
三、抽象函数的奇偶性
例3若y=f（x）是偶函数，y= f（x-1）是奇函数，求 f（2007）=？
解析：因为y=f（x-1）是奇函数，所以y=f（-x-1）=-f（x-1）{为什么？}；因为y=f（x）是偶函数，所以f（-x-1）=f（x+1）{为什么？}；因为f（x+1）=-f（x-1）， 所以f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=f（x）；因为y=f（x-1）是奇函数，所以f（0）=0=f（-1）=f（2007）
四、抽象函数的对称性
例4已知函数y=f（2x+1）是定义在R上的奇函数，函数y=g（x）的图像与函数y=f（x）的图像关于y=x对称，则g（x）+ g（-x）的值为（ ）
A、2 B、0 C、1 D、不能确定
解析：由y=f（2x+1）求得其反函数为y=[f（x）-1]/2，∵ y=f（2x+1） 是奇函数， ∴y=[f（x）-1]/2也是奇函数，∴[f（x）-1]/2+[f（-x）-1]/2=0 ∴f（x）+f（-x）=2，而函数y=g（x）的图像与函数y=f（x）的图像关于y=x对称，∴g（x）+ g（-x）= f（x）+f（-x）故选A .
五、抽象函数的周期性
例5、（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（ ）
（A） f（x）是偶函数 （B） f（x）是奇函数 （C） f（x）= f（x+2） （D） f（x+3）是奇函数 解析：∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，函数关于（-1，0）点，及点（1，0）对称，函数是周期为4的周期函数，所以f（x+3）= f（x-1），即f（x+3）是奇函数.故选D
关于抽象函数的周期性有如下的几个定理和性质，由于篇幅问题，推导就省略了。
定理如下：
定理1.若函数y=f （x） 定义域为R，且满足条件f （x+a）=f （x-b），则y=f （x） 是以T=a+b为周期的周期函数。
定理2.若函数y=f （x） 定义域为R，且满足条件f （x+a）= -f （x-b），则y=f （x） 是以T=2（a+b）为周期的周期函数。
定理3.若函数y=f （x）的图像关于直线 x=a与 x=b （a≠b）对称，则y=f （x） 是以T=2（b-a）为周期的周期函数。
定理4.若函数y=f （x）的图像关于点（a，0）与点（b，0） ， （a≠b）对称，则y=f （x） 是以 T=2（b-a）为周期的周期函数。
定理5.若函数y=f （x）的图像关于直线 x=a与 点（b，0），（a≠b）对称，则y=f （x） 是以 T=4（b-a）为周期的周期函数。
性质如下：
性质1：若函数f（x）满足f（a-x）=f（a+x）及f（b-x）=f（b+x） （a≠b，ab≠0），则函数f（x）有周期2（a-b）；
性质2：若函数f（x）满足f（a-x）= -f（a+x）及f（b-x）=-f（b+x），（a≠b，ab≠0），则函数有周期2（a-b）；
特别：若函数f（x）满足f（a-x）=f（a+x） （a≠0）且f（x）是偶函数，则函数f（x）有周期2a；
性质3：若函数f（x）满足f（a-x）=f（a+x）及f（b-x）=-f（b+x） （a≠b，ab≠0），则函数有周期4（a-b）；
特别：若函数f（x）满足f（a-x）=f（a+x） （a≠0）且f（x）是奇函数，则函数f（x）有周期4a。
从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高，但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。■
参考文献
【1】唐晓霞；分析典型题目探讨解题方法[J]；中学生数理化（高考版）；2011年09期
【2】刘庆民；高中生数学解题教学研究[D]；曲阜师范大学；2007年
【3】何玲.刘玲珑；抽象函数的解题思路[J]；中学生数理化（高中版？学研版）；2011年04期