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[摘 要]当数字计算机构成系统的一个组成部分时，应该对连续的被控对象进行设计数字控制器。本杰明郭提出了用最优准则把连续系统离散化，而本文提出了用平均增益的方法把连续系统离散化，简述了数字控制系统的再设计问题。并且运用这种方法对旋转倒立摆系统进行了数字仿真。
[关键词]数字再设计；倒立摆；帕德逼近
中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）08-0071-03
1.引言
在控制系统当中有数字计算机参与的且受控对象是连续的，需要对此连续的控制系统进行数字控制器的设计。而所谓的对连续控制系统数字再设计，就是根据连续系统和连续系统的控制规律如何重新设计对应的离散系统及相应的离散控制规律的问题。本文讨论应用平均增益法对连续控制系统进行数字再设计问题。
2.控制系统的数字再设计
设线性定常系统为
（1）
其初始条件为=x。，式中为n维状态变量，为r维控制向量。，分别为n×n，n×r维定常矩阵。寻求最优控制u，使性能指标
J=（2）
为最小。其中Q，R分别为n×n，r×r维正半定和正定对称矩阵。
1）最优等价准则
当满足（，，）是完全能控和完全能观测时（H是任一使的n×n矩阵），最优闭环控制系统渐近稳定，且最优控制为
（4）
其中，F为状态反馈矩阵，而P为矩阵Riccati方程
（5）
的解。
取采样周期为T，离散化受控系统和性能指标，可得离散系统状态反馈矩阵的泰勒展开的一次近似为
（6）
2）平均增益法
线性系统
（7）
控制规律
（8）
其中v为r的维输入向量，K、G分别为，维矩阵。用平均增益法对系统离散化，即使性能指标
（9）
为最小，得离散控制规律与连续控制规律之间的关系为
（10）
改写闭环连续系统及控制规律，
（11）
为如下形式
（12）
求解上式，得
设对应于（7），（8）式的闭环离散系统和控制规律为
（13）
可得连续系统的与离散化系统的关系，用帕德展开逼近矩阵指数
（14）
3.旋转倒立摆系统
旋转倒立摆系统为简化系统，我们在建模时忽略了空气阻力和各种摩擦力的作用。旋转倒立摆的组成如图1所示
对于三级倒立摆系统，选取系统状态变量为：
——摆1、摆2各自的角位移倒立摆
经过线性化得倒立摆系统的状态空间模型为
（16）
根据倒立摆参数可以计算出系统的矩阵为：
C=D=
连续系统的离散化：
4.仿真曲线
对旋转倒立摆实现控制器时，经过大量仿真和实验，最后选取Q=Diag（1，60，260，50，60，60），R=0.03
可得状态反馈矩阵K=（0.0058 -1.4962 2.7256 0.0449 -0.0328 0.4698）
将开环系统式（16）离散化得
（17）
其中
取离散控制规律
（18）
得闭环离散系统
（19）
下面我们将讨论相同采样周期情况应用数字再设计方法分别取为
1.
2.
3.
使对式（21）进行仿真，并将仿真结果同对式（10）的仿真结果进行比较。并给出了相应情况状态x1、x2、x3的离散仿真曲线。设初始状态为状态反馈矩阵F取线性二次最优调节器设计的结果。
当T=0.013秒时，由图2至5状态x1、x2、x3的仿真曲线可以看出：在分别取，，构成闭环离散系统时仿真曲线基本一致。
当T=0.06秒时，由图6至9中状态x1，x2，x3的仿真曲线可以看到：当取或构成闭环离散系统时，仿真曲线已经发散，系统变得不稳定了，而用构成闭环离散系统时，图9与6的曲线基本一致，并且相应的闭环极点仍保持一定的精度。
5 结语
通过以上用数字控制系统再设计方法对旋转倒立摆系统的仿真情況可以得出如下结论：当采样时间很小时，用连续系统得状态反馈矩阵F构成闭环离散化系统没有多大问题。人们通常也是这么做的。但是随着采样时间的增大，仍采取这种方法，则闭环系统的状态响应变坏，甚至出现不稳定现象。这时应用闭环系统离散化的状态矩阵作为状态反馈矩阵构成离散化的闭环系统才是妥当的。旋转倒立摆系统的仿真结果表明，应用构成闭环离散化系统是一种即简单而又具有较高精度的方法。
参考文献：
[1]B.C. Kuo，： "Digital control systems" （Saunders College Publishing， 1992.）
[2] J.S.H. Tsal， L.S. Shieh， and J.L. Zhang， "An improvement of the method based on the block-pulse flinction approximation，" Circuits Syst. Signal Prce.， vol.12， （1）， pp. 37-49，1993.
[3] L.S. Shkh， X.M. Zhao， and J.W. Sunkel， " Hybrid state-spate self-tuning control using digital redesign dual-rate sampling，" IEE Proc.， vol.38， pp. 50-58 ， 1991.
[4] N. Rafee， T. Chen， and O.P. Malik， "A technique for optimal digital redesign of analog controllers，" IEEE Trans. Control Syst. Technol.，vol.5， no. 1， pp. 89-99， 1997.
[5] Y.N. Roenvasser， K.Y. Polyakov， and B.P. Lampe， "Application of Laplace transformation for digital redesign of continuous control systems，" IEEE Trans. Autom. Control， vol.44， no.4， pp. 883-886， 1999.
[关键词]数字再设计；倒立摆；帕德逼近
中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）08-0071-03
1.引言
在控制系统当中有数字计算机参与的且受控对象是连续的，需要对此连续的控制系统进行数字控制器的设计。而所谓的对连续控制系统数字再设计，就是根据连续系统和连续系统的控制规律如何重新设计对应的离散系统及相应的离散控制规律的问题。本文讨论应用平均增益法对连续控制系统进行数字再设计问题。
2.控制系统的数字再设计
设线性定常系统为
（1）
其初始条件为=x。，式中为n维状态变量，为r维控制向量。，分别为n×n，n×r维定常矩阵。寻求最优控制u，使性能指标
J=（2）
为最小。其中Q，R分别为n×n，r×r维正半定和正定对称矩阵。
1）最优等价准则
当满足（，，）是完全能控和完全能观测时（H是任一使的n×n矩阵），最优闭环控制系统渐近稳定，且最优控制为
（4）
其中，F为状态反馈矩阵，而P为矩阵Riccati方程
（5）
的解。
取采样周期为T，离散化受控系统和性能指标，可得离散系统状态反馈矩阵的泰勒展开的一次近似为
（6）
2）平均增益法
线性系统
（7）
控制规律
（8）
其中v为r的维输入向量，K、G分别为，维矩阵。用平均增益法对系统离散化，即使性能指标
（9）
为最小，得离散控制规律与连续控制规律之间的关系为
（10）
改写闭环连续系统及控制规律，
（11）
为如下形式
（12）
求解上式，得
设对应于（7），（8）式的闭环离散系统和控制规律为
（13）
可得连续系统的与离散化系统的关系，用帕德展开逼近矩阵指数
（14）
3.旋转倒立摆系统
旋转倒立摆系统为简化系统，我们在建模时忽略了空气阻力和各种摩擦力的作用。旋转倒立摆的组成如图1所示
对于三级倒立摆系统，选取系统状态变量为：
——摆1、摆2各自的角位移倒立摆
经过线性化得倒立摆系统的状态空间模型为
（16）
根据倒立摆参数可以计算出系统的矩阵为：
C=D=
连续系统的离散化：
4.仿真曲线
对旋转倒立摆实现控制器时，经过大量仿真和实验，最后选取Q=Diag（1，60，260，50，60，60），R=0.03
可得状态反馈矩阵K=（0.0058 -1.4962 2.7256 0.0449 -0.0328 0.4698）
将开环系统式（16）离散化得
（17）
其中
取离散控制规律
（18）
得闭环离散系统
（19）
下面我们将讨论相同采样周期情况应用数字再设计方法分别取为
1.
2.
3.
使对式（21）进行仿真，并将仿真结果同对式（10）的仿真结果进行比较。并给出了相应情况状态x1、x2、x3的离散仿真曲线。设初始状态为状态反馈矩阵F取线性二次最优调节器设计的结果。
当T=0.013秒时，由图2至5状态x1、x2、x3的仿真曲线可以看出：在分别取，，构成闭环离散系统时仿真曲线基本一致。
当T=0.06秒时，由图6至9中状态x1，x2，x3的仿真曲线可以看到：当取或构成闭环离散系统时，仿真曲线已经发散，系统变得不稳定了，而用构成闭环离散系统时，图9与6的曲线基本一致，并且相应的闭环极点仍保持一定的精度。
5 结语
通过以上用数字控制系统再设计方法对旋转倒立摆系统的仿真情況可以得出如下结论：当采样时间很小时，用连续系统得状态反馈矩阵F构成闭环离散化系统没有多大问题。人们通常也是这么做的。但是随着采样时间的增大，仍采取这种方法，则闭环系统的状态响应变坏，甚至出现不稳定现象。这时应用闭环系统离散化的状态矩阵作为状态反馈矩阵构成离散化的闭环系统才是妥当的。旋转倒立摆系统的仿真结果表明，应用构成闭环离散化系统是一种即简单而又具有较高精度的方法。
参考文献：
[1]B.C. Kuo，： "Digital control systems" （Saunders College Publishing， 1992.）
[2] J.S.H. Tsal， L.S. Shieh， and J.L. Zhang， "An improvement of the method based on the block-pulse flinction approximation，" Circuits Syst. Signal Prce.， vol.12， （1）， pp. 37-49，1993.
[3] L.S. Shkh， X.M. Zhao， and J.W. Sunkel， " Hybrid state-spate self-tuning control using digital redesign dual-rate sampling，" IEE Proc.， vol.38， pp. 50-58 ， 1991.
[4] N. Rafee， T. Chen， and O.P. Malik， "A technique for optimal digital redesign of analog controllers，" IEEE Trans. Control Syst. Technol.，vol.5， no. 1， pp. 89-99， 1997.
[5] Y.N. Roenvasser， K.Y. Polyakov， and B.P. Lampe， "Application of Laplace transformation for digital redesign of continuous control systems，" IEEE Trans. Autom. Control， vol.44， no.4， pp. 883-886， 1999.