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费尔马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题——“将一个平方数分写为两个平方数”旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。这个猜想的证明数学家们绞尽脑汁未能找到这个美妙的证法，虽然日本的谷山村志给出了一个长达200页的证明方法，得到了这个猜想的证明，但是美妙的证法如果需要200页才能写完，那么这种证法也太长，扉页处确实太小太小，这种证法是否具有美妙性，让人产生怀疑。
虽然费尔马的证法非常“美妙”，至今我们没有找到，但我们可对“将一个平方数分写为两个平方数”进行研究，找到其关键所在，看能否对“美妙”证法的思路有所发现。
将一个平方数分写为两个平方数，即求不定方程z2=x2 y2正整数解。
当n=2，不定方程：zn=xn yn正整数解有无数个。
证明的方法：对于不定方程：z2=x2 y2，令z=k 1，则（k 1）2=k2 2k 1，对于2k 1为平方数则结论成立，当k=1，2，3……时，2k 1为连续奇数，9，25，49，81……所有奇平方数都包含于其中，奇平方数和奇数个数一样多，都有无数个，若x=2k 1=m2，m=3，5，7，9，……为奇数，则k=（m2-1）÷2，令y=k，则z=k 1=（m2 1）÷2，所以当n=2时，不定方程：zn=xn yn正整数解有无数个成立。
同理令z=k 2，则（k 2）2=k2 （4k 4），从而4（k 1）当k 1为平方数命题成立，则x2=4（k 1）=4m2，m=1，2，3，……为正整数，则y=k=m2-1，z=m2 1，所以当n=2时，不定方程：zn=xn yn正整数解有无数个成立。
…….
综上，n=2，zn=xn yn有正整数解，归结为（k r）2=k2 2rk r2，只要关于k的一元一次方程2rk r2=m2，（m=1，2，3，……为正整数）有正整数解，即k=（m2-r2）÷2r为正整数，则必有m=qr，k=（q2-1）r÷2，q、r同偶、同奇、q奇r偶时，k为正整数成立，所以n=2，zn=xn yn正整数解有无数个，命题成立。
推论：勾股玄数公式：（1）勾x=m2，m=3，5，7，9，……为奇数，则股y=（m2-1）÷2，玄z=（m2 1）÷2.（2）勾x=2m，m=2，3，……为正整数，则股y=m2-1，玄z=m2 1.（3）任意一不小于3的正整数，都可找到以此数为勾或为股的一组或数组勾股玄数，其中x=m=qr，y=k=（q2-1）r÷2，z=k r=（q2 1）r÷2.
例如，x=3=3×1=qr，y=（32-1）×1÷2=4，z=4 1=5；
x=4=2×2=qr，y=（22-1）×2÷2=3，z=3 2=5；
x=5=5×1=qr，y=（52-1）×1÷2=12，z=12 1=13；
x=6=3×2=qr，y=（32-1）×2÷2=8，z=8 2=10；
x=7=7×1=qr，y=（72-1）×1÷2=24，z=24 1=25；
x=8=4×2=qr，y=（42-1）×2÷2=15，z=15 2=17；
=2×4=qr，y=（22-1）×4÷2=6，z=6 4=10；
x=9=9×1=qr，y=（92-1）×1÷2=40，z=40 1=41；
=3×3=qr，y=（32-1）×3÷2=12，z=12 3=15；
x=12=2×6=qr，y=（22-1）×6÷2=9，z=9 6=15；
=6×2=qr，y=（62-1）×2÷2=35，z=35 2=37；
=3×4=qr，y=（32-1）×4÷2=16，z=16 4=20；
…………
“将一个平方数分写为两个平方数”，其关键在于关于k的一元一次方程2rk r2=m2，（m=1，2，3，……为正整数）有正整数解，因此此命题成立.
当n=3，不定方程：zn=xn yn无正整数解.
（k 1）3=k3 3k2 3k 1，研究3k2 3k 1会发现，所有的立方数都不包含其中，即，k=1，3k2 3k 1=7<8=23；k=2，3k2 3k 1=17<27=33；k=3，3k2 3k 1=37>27=33；……，当k取正整数时，其值为奇素数或不同的奇素数的积，即3k2 3k 1不能写成x3，因此（k 1）3不能分写成k3 x3.
（k r）3=k3 3rk2 3r2k r3，r为正整数，若3rk2 3r2k r3=x3，假设x为正整数，因为r整除左边的每一项，因此r整除x，令x=rm，则r（3k2 3rk r2）=r3m3，等式左边的因式3k2 3rk r2的项3rk与r2均能被r整除，等式右边能被r整除，则r必整除k2，从而r整除k，令k=rn，则3rk2 3r2k r3=r3（3n2 3n 1）=r3m3，即3n2 3n 1=m3，当r=1时上面已证m不为正整数，3rk2 3r2k r3=x3，x为正整数，不成立。
综上可证当n=3时，不定方程：zn=xn yn无正整数解.
同理可证，当n>3时，不定方程：zn=yn xn无正整数解.
（作者單位：陕西省咸阳市渭城区第一初级中学712000）
虽然费尔马的证法非常“美妙”，至今我们没有找到，但我们可对“将一个平方数分写为两个平方数”进行研究，找到其关键所在，看能否对“美妙”证法的思路有所发现。
将一个平方数分写为两个平方数，即求不定方程z2=x2 y2正整数解。
当n=2，不定方程：zn=xn yn正整数解有无数个。
证明的方法：对于不定方程：z2=x2 y2，令z=k 1，则（k 1）2=k2 2k 1，对于2k 1为平方数则结论成立，当k=1，2，3……时，2k 1为连续奇数，9，25，49，81……所有奇平方数都包含于其中，奇平方数和奇数个数一样多，都有无数个，若x=2k 1=m2，m=3，5，7，9，……为奇数，则k=（m2-1）÷2，令y=k，则z=k 1=（m2 1）÷2，所以当n=2时，不定方程：zn=xn yn正整数解有无数个成立。
同理令z=k 2，则（k 2）2=k2 （4k 4），从而4（k 1）当k 1为平方数命题成立，则x2=4（k 1）=4m2，m=1，2，3，……为正整数，则y=k=m2-1，z=m2 1，所以当n=2时，不定方程：zn=xn yn正整数解有无数个成立。
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综上，n=2，zn=xn yn有正整数解，归结为（k r）2=k2 2rk r2，只要关于k的一元一次方程2rk r2=m2，（m=1，2，3，……为正整数）有正整数解，即k=（m2-r2）÷2r为正整数，则必有m=qr，k=（q2-1）r÷2，q、r同偶、同奇、q奇r偶时，k为正整数成立，所以n=2，zn=xn yn正整数解有无数个，命题成立。
推论：勾股玄数公式：（1）勾x=m2，m=3，5，7，9，……为奇数，则股y=（m2-1）÷2，玄z=（m2 1）÷2.（2）勾x=2m，m=2，3，……为正整数，则股y=m2-1，玄z=m2 1.（3）任意一不小于3的正整数，都可找到以此数为勾或为股的一组或数组勾股玄数，其中x=m=qr，y=k=（q2-1）r÷2，z=k r=（q2 1）r÷2.
例如，x=3=3×1=qr，y=（32-1）×1÷2=4，z=4 1=5；
x=4=2×2=qr，y=（22-1）×2÷2=3，z=3 2=5；
x=5=5×1=qr，y=（52-1）×1÷2=12，z=12 1=13；
x=6=3×2=qr，y=（32-1）×2÷2=8，z=8 2=10；
x=7=7×1=qr，y=（72-1）×1÷2=24，z=24 1=25；
x=8=4×2=qr，y=（42-1）×2÷2=15，z=15 2=17；
=2×4=qr，y=（22-1）×4÷2=6，z=6 4=10；
x=9=9×1=qr，y=（92-1）×1÷2=40，z=40 1=41；
=3×3=qr，y=（32-1）×3÷2=12，z=12 3=15；
x=12=2×6=qr，y=（22-1）×6÷2=9，z=9 6=15；
=6×2=qr，y=（62-1）×2÷2=35，z=35 2=37；
=3×4=qr，y=（32-1）×4÷2=16，z=16 4=20；
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“将一个平方数分写为两个平方数”，其关键在于关于k的一元一次方程2rk r2=m2，（m=1，2，3，……为正整数）有正整数解，因此此命题成立.
当n=3，不定方程：zn=xn yn无正整数解.
（k 1）3=k3 3k2 3k 1，研究3k2 3k 1会发现，所有的立方数都不包含其中，即，k=1，3k2 3k 1=7<8=23；k=2，3k2 3k 1=17<27=33；k=3，3k2 3k 1=37>27=33；……，当k取正整数时，其值为奇素数或不同的奇素数的积，即3k2 3k 1不能写成x3，因此（k 1）3不能分写成k3 x3.
（k r）3=k3 3rk2 3r2k r3，r为正整数，若3rk2 3r2k r3=x3，假设x为正整数，因为r整除左边的每一项，因此r整除x，令x=rm，则r（3k2 3rk r2）=r3m3，等式左边的因式3k2 3rk r2的项3rk与r2均能被r整除，等式右边能被r整除，则r必整除k2，从而r整除k，令k=rn，则3rk2 3r2k r3=r3（3n2 3n 1）=r3m3，即3n2 3n 1=m3，当r=1时上面已证m不为正整数，3rk2 3r2k r3=x3，x为正整数，不成立。
综上可证当n=3时，不定方程：zn=xn yn无正整数解.
同理可证，当n>3时，不定方程：zn=yn xn无正整数解.
（作者單位：陕西省咸阳市渭城区第一初级中学712000）