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平面直角坐标系可以用来描述数量与位置的对应关系，也可以用来描述图形与函数的对应关系，同时也是图形与数量之间的桥梁.通过对平面直角坐标系的研究，能很好地把代数问题与几何问题相互转化，从而使问题由难而易.下面介绍几种应用平面直角坐标系解决问题的思想方法.
一、数形结合的思想
通过学习平面直角坐标系，我们将数与形有机地结合在一起，这种数形结合的思想是中学数学的主要思想，它可以简化解题过程，在解决函数问题时尤为突出.
例1如图1，一测绘队发现了一个三角形状的油区，并把三角形的顶点A、B、C标在坐标图纸上.
（1）试用所学知识建立恰当的直角坐标系，写出A、B、C三点的位置坐标；（2）计算该三角形油区的面积.
解析：如图2，建立坐标系，则点A、B、C的坐标分别为A（0，4），B（5，0），C（3，6）.
如图可知，
S△ABC=S直角梯形AODC +S△BDC -S△AOB
=（4 +6）×3+×2×6-×5×4=11
所以该三角形油区的面积为11个单位面积.
点悟：本题考查如何建立恰当的坐标系并计算三角形的面积.
例2小刚、爸爸、爷爷同时从家中出发到达同一目的地后都立即返回，小刚去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都是步行，三个人步行的速度不等，小刚步行的速度与爷爷骑自行车的速度相等，如图3，每个人行走的路程与时间的关系分别是图像中的某一个.走完一个往返，小刚用时分， 爸爸用时
分， 爷爷用时分。
解析：因为爸爸往返都是步行，所以由图像的对称性可知：第三个图表示爸爸的行走路程与时间的关系，所以爸爸用时24min.
因为小刚去时骑自行车，返回时步行，所以小刚去时用时短，返回时用时长.所以第二个图表示小刚行走路程与时间的关系.即小刚用时21min.
第一个图表示的是爷爷的行走路程与时间的关系，所以爷爷用时26min.
点悟：本题考查的是直角坐标系与函数图像结合.
二、转化的思想
通过建立平面直角坐标系，我们可以将求线段长度与求点的坐标问题相互转化，化难为易，从而使问题得到解决.
例3点P在第二象限，若该点到x轴的距离为 ，到y轴的距离是1，则点P的坐标是 （ ）.
A.（-1， ） B.（-，1）
C.（，-1 ） D.（1，）
解析：设P点坐标为P（x,y）
因为点P在第二象限，所以x<0,y>0,
因为点P到x轴的距离为，到y轴距离为1，
所以y=，x=1,所以点P坐标为（-1，）.
答案为A.
点悟：本题考查点到坐标轴的距离与该点坐标的关系.
例4 如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点B的坐标分别为（-3，2）和（3，2），则矩形的面积为.
解析：根据题意可作出图形.如图4可知，AB=6,AD=4,所以矩形ABCD的面积S=6×4=24.
点悟：本题考查平面直角坐标系与线段长度以及矩形面积的关系.作出正确的图形是解题的关键.
三、综合应用的思想.
平面直角坐标系、函数概念是函数及其图像这一部分知识的基础，考查内容常以实际生活为背景.
例5一农民带了若干千克自产的土豆进城销售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图5所示，结合图像回答下列 问题：
（1）农民自带的零钱是多少？
（2）降价前每千克土豆出售的价格是多少？
（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，他一共带了多少千克土豆？
解析：（1）由图像可知：售出土豆千克数为0，即x=0时，该农民持有的钱数为y=5元.所以，农民自带的零钱是5元.
（2）由图像可知：降价前出售出土豆30千克，他挣的钱是20-5=15元.
（3）由题意可知：降价售出的土豆获得人民币26-20
=6元,所以降价售出土豆的质量为：6÷0.4=15千克,所以土豆的总质量为：30+15=45千克.
点悟：有关函数的实际问题，与坐标系联系起来更容易解决.
例6小明所在学校与家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留了10分钟，继续骑了5分钟到家，如图6所示，哪个图像是能大致描述他回家过程中离家的距离s（千米）与所用时间t （分）之间的关系（）.
解析：小明所在学校离家2千米，行驶5分钟后离家距离变小，停留10分钟距离没有变化，经过5+10+5=20（分），回到家中，距离为0，所以答案为D.
点悟：能根据实际问题抽象出函数模型，并能结合图像分析实际问题的函数关系，是中考的主要考点.
一、数形结合的思想
通过学习平面直角坐标系，我们将数与形有机地结合在一起，这种数形结合的思想是中学数学的主要思想，它可以简化解题过程，在解决函数问题时尤为突出.
例1如图1，一测绘队发现了一个三角形状的油区，并把三角形的顶点A、B、C标在坐标图纸上.
（1）试用所学知识建立恰当的直角坐标系，写出A、B、C三点的位置坐标；（2）计算该三角形油区的面积.
解析：如图2，建立坐标系，则点A、B、C的坐标分别为A（0，4），B（5，0），C（3，6）.
如图可知，
S△ABC=S直角梯形AODC +S△BDC -S△AOB
=（4 +6）×3+×2×6-×5×4=11
所以该三角形油区的面积为11个单位面积.
点悟：本题考查如何建立恰当的坐标系并计算三角形的面积.
例2小刚、爸爸、爷爷同时从家中出发到达同一目的地后都立即返回，小刚去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都是步行，三个人步行的速度不等，小刚步行的速度与爷爷骑自行车的速度相等，如图3，每个人行走的路程与时间的关系分别是图像中的某一个.走完一个往返，小刚用时分， 爸爸用时
分， 爷爷用时分。
解析：因为爸爸往返都是步行，所以由图像的对称性可知：第三个图表示爸爸的行走路程与时间的关系，所以爸爸用时24min.
因为小刚去时骑自行车，返回时步行，所以小刚去时用时短，返回时用时长.所以第二个图表示小刚行走路程与时间的关系.即小刚用时21min.
第一个图表示的是爷爷的行走路程与时间的关系，所以爷爷用时26min.
点悟：本题考查的是直角坐标系与函数图像结合.
二、转化的思想
通过建立平面直角坐标系，我们可以将求线段长度与求点的坐标问题相互转化，化难为易，从而使问题得到解决.
例3点P在第二象限，若该点到x轴的距离为 ，到y轴的距离是1，则点P的坐标是 （ ）.
A.（-1， ） B.（-，1）
C.（，-1 ） D.（1，）
解析：设P点坐标为P（x,y）
因为点P在第二象限，所以x<0,y>0,
因为点P到x轴的距离为，到y轴距离为1，
所以y=，x=1,所以点P坐标为（-1，）.
答案为A.
点悟：本题考查点到坐标轴的距离与该点坐标的关系.
例4 如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点B的坐标分别为（-3，2）和（3，2），则矩形的面积为.
解析：根据题意可作出图形.如图4可知，AB=6,AD=4,所以矩形ABCD的面积S=6×4=24.
点悟：本题考查平面直角坐标系与线段长度以及矩形面积的关系.作出正确的图形是解题的关键.
三、综合应用的思想.
平面直角坐标系、函数概念是函数及其图像这一部分知识的基础，考查内容常以实际生活为背景.
例5一农民带了若干千克自产的土豆进城销售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图5所示，结合图像回答下列 问题：
（1）农民自带的零钱是多少？
（2）降价前每千克土豆出售的价格是多少？
（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，他一共带了多少千克土豆？
解析：（1）由图像可知：售出土豆千克数为0，即x=0时，该农民持有的钱数为y=5元.所以，农民自带的零钱是5元.
（2）由图像可知：降价前出售出土豆30千克，他挣的钱是20-5=15元.
（3）由题意可知：降价售出的土豆获得人民币26-20
=6元,所以降价售出土豆的质量为：6÷0.4=15千克,所以土豆的总质量为：30+15=45千克.
点悟：有关函数的实际问题，与坐标系联系起来更容易解决.
例6小明所在学校与家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留了10分钟，继续骑了5分钟到家，如图6所示，哪个图像是能大致描述他回家过程中离家的距离s（千米）与所用时间t （分）之间的关系（）.
解析：小明所在学校离家2千米，行驶5分钟后离家距离变小，停留10分钟距离没有变化，经过5+10+5=20（分），回到家中，距离为0，所以答案为D.
点悟：能根据实际问题抽象出函数模型，并能结合图像分析实际问题的函数关系，是中考的主要考点.