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摘 要：介绍了GPS高程测量相关的一些问题，包括大地水准面与正高、似大地水准面与正常高、参考椭球面与大地高的概念，GPS高程测量的原理， 研究了应用中经常用到的高程拟合方法，等值线图示法、多项式曲线拟合法、三次样条曲线拟合法，并对各种方法进行了分析。
关键词：GPS高程；高程精度；高程拟合
1 GPS 高程测量的基本原理
1.1 高程系统概述
在测量中常用的高程系统有大地高系统、正高系统和正常高系统。大地高系统是以参考椭球面为基准面的高程系统。某点的大地高是该点到通过该点的参考椭球的法线与参考椭球面的交点间的距离。大地高也称为椭球高，大地高一般用符号H表示。正高系统是以大地水准面为基准面的高程系统。某点的正高是该点到通过该点的铅垂线与大地水准面的交点之间的距离，正高用符号Hg表示。正常高系统是以似大地水准面为基准的高程系统。某点的正常高是该点到通过该点的铅垂线与似大地水准面的交点之间的距离，正常高用Hy表示。大地水准面到参考椭球面的距离，称为大地水准面差距，记为hg大地高与正高之间的关系可以表示为：
H=Hg+hg。 1-1
似大地水准面到参考椭球面的距离，称为高程异常，记为ζ。大地高与正常高之间的关系可以表示为：
H=Hy +ζ。 1-2
1.2 GPS 高程拟合基本原理
在一定的区域中，当测区中有一部分点（已测点）已用GPS定位技术求得其大地高及用常规水准测量的方法求得其正常高，则可计算出这些已测点的高程异常。若测区中已测点的数量足够多且分布较为均匀，就可根据测区内这些已测点上的高程异常值构造某种曲面来逼近似大地水准面，进而推算出测区中未进行水准联测的GPS点（未测点）的高程异常，再反求出这些未测点的正常高，此即“几何法”GPS水准，其主要方法有：等值线图示法、平面拟合法、多项式曲面拟合法、三次样条曲线拟合法和移动法等。
2 GPS高程拟合方法分析
2.1 等值线图示法
等值线图示法是最直接的求算高程异常的方法。这种方法是通过绘制高程异常的等值线图，然后采用内插法来确定未知点的高程异常值。具体是，在测区内制定分布均匀的GPS点，用水准测量的方法来测定这些点的水准高，根据公式ζ=H-Hr求出这些点的高程异常，选择适当的比例尺按照已知点的平面坐标展会在图纸内，对已知点标注出高程异常值，再确定等高距，绘制出高程异常值的等值线图。之后就可以内插出待测点的高程异常值，进而求出待测点的正常高。这种方法只适用地形相对平坦的地方，在此种测区内采用这种方法拟合的高程精度可达到厘米级。这种方法虽然简单易操作，但是有其弱点，就是精度不高，只有当对拟合精度要求不高的时候才使用此种方法。
2.2 多项式曲线拟合法
多项式曲线拟合是线状分布拟合的主要方法。多项式拟合顾名思义其插值函数是一个m次的代数多项式，若高程控制点的高程异常为ζ，坐标为xi （或yi或di或拟合坐标或xi -x0 或yi -y0 ）的函数关系为下式：
ζl =a0 +a1x1l +a2x2l +a3x3l +amxml…… 2-1
各高程控制点的已知高程异常与其拟合值之差为下式所示：
ri =ζi （x）-ζi （i=0，1，2…n） 2-2
上式我们称之为离差。（2-1）中xi 是拟合点到参考点（ x0，y0 ）的直线距离，x0 ，y0 为设定的常数值。在一般情况下都认为， x0 ，y0 就是测区内已知点坐标的均值。多项式曲线拟合使用起来非常方便，但是它有自身的局限性，即是使用这种方法的时候，所测路线不能太长，要限制控制点到测点的距离不能太远，通常把距离控制在300米以内。这个要求是因为使用多项式曲线方法拟合似大地水准面，如果它拟合的范围太大，点位的高程异常变化就越复杂，削高补低的方法不能满足我们所要求的精度。随着多项式阶数的增大，也会使拟合出的曲线振荡的更厉害，从而造成拟合的误差增大。这些造成了多项式曲线拟合的缺陷，但是在路线较短的情况下，这种方法有足够的精度来拟合GPS点的正常高程。在式（2-1）中用m次多项式拟合似大地水准面，这个m的值如何取定，一般情况下如果测区不是很长，地形相对平坦，那么我们通常取m取为3。也就是说多项式为三次多项式。若测区比较长或者是测区地形比较复杂就要依情况而定，增加多项式的次数，提高拟合精度。依上述分析m的取值主要和测区长度以及测区的复杂程度有关。
2.3 三次样条曲线拟合法
三次样条曲线拟合法针对测线长，已知点多的测区GPS高程拟合问题。这种方法很好的解决了因测线长而引起的问题。三次样条曲线的实质就是一个拼接而成的连续函数，在把测线分为多段的情况下，每段设为三次多项式函数，然后将这些多项式函数组成三次样条函数。这种做法有诸多好处，其中优点有三点：其一计算简便，其二保留了多项式的优点，其三克服了多项式的缺点。多项式的缺点是单个多项式会有不灵活不稳定的现象。由于三次样条曲线的种种优点，往往在实际中当遇到测线长已知点多的情况下采用此方法拟合高程。
3 结语
一般来说，采用同样的拟合方法，起算点数量越多，则拟合精度越高，不同拟合方法对高程异常拟合值的影响可以达到厘米级，在高程异常的拟合计算中，必须选择合适的拟合方案；采用几何方法拟合高程异常，除应根据高程异常变化选择合适的拟合模型外，还应根据高程异常变化梯度合理地划分拟合分区，以使拟合模型更好地符合区域高程异常的变化趋势；当已知点均匀分布于整个测区时，待定点精度最高。参加拟合的重合点数量比较充足并且重合点的分布较均匀时，高程拟合的精度基本上能达到厘米级可以满足一般工程的精度要求。
参考文献：
[1] 徐绍铨，GPS测量原理及应用[M]，武汉：武汉测绘科技大学出版社，1998.
[2] 李明，高星伟，文汉江. Kriging方法在GPS水准拟合中的应用[J].测绘科学，2009.
[3] 高伟，卢秀山. GPS高程区域似大地水准面的分区拟合与平滑连接[J].测绘通报，2000.
作者简介：
刘方圆（1989-），男，汉族，陕西渭南人，助教，本科，研究方向：大地测量。
许明明（1987-），男，汉族，陕西礼泉人，助教，本科，研究方向：建筑工程经济，工程造价管理。
张芳 （1987-），女，汉族，四川宜宾人，助教，本科，研究方向： 室内外空间拓展设计
关键词：GPS高程；高程精度；高程拟合
1 GPS 高程测量的基本原理
1.1 高程系统概述
在测量中常用的高程系统有大地高系统、正高系统和正常高系统。大地高系统是以参考椭球面为基准面的高程系统。某点的大地高是该点到通过该点的参考椭球的法线与参考椭球面的交点间的距离。大地高也称为椭球高，大地高一般用符号H表示。正高系统是以大地水准面为基准面的高程系统。某点的正高是该点到通过该点的铅垂线与大地水准面的交点之间的距离，正高用符号Hg表示。正常高系统是以似大地水准面为基准的高程系统。某点的正常高是该点到通过该点的铅垂线与似大地水准面的交点之间的距离，正常高用Hy表示。大地水准面到参考椭球面的距离，称为大地水准面差距，记为hg大地高与正高之间的关系可以表示为：
H=Hg+hg。 1-1
似大地水准面到参考椭球面的距离，称为高程异常，记为ζ。大地高与正常高之间的关系可以表示为：
H=Hy +ζ。 1-2
1.2 GPS 高程拟合基本原理
在一定的区域中，当测区中有一部分点（已测点）已用GPS定位技术求得其大地高及用常规水准测量的方法求得其正常高，则可计算出这些已测点的高程异常。若测区中已测点的数量足够多且分布较为均匀，就可根据测区内这些已测点上的高程异常值构造某种曲面来逼近似大地水准面，进而推算出测区中未进行水准联测的GPS点（未测点）的高程异常，再反求出这些未测点的正常高，此即“几何法”GPS水准，其主要方法有：等值线图示法、平面拟合法、多项式曲面拟合法、三次样条曲线拟合法和移动法等。
2 GPS高程拟合方法分析
2.1 等值线图示法
等值线图示法是最直接的求算高程异常的方法。这种方法是通过绘制高程异常的等值线图，然后采用内插法来确定未知点的高程异常值。具体是，在测区内制定分布均匀的GPS点，用水准测量的方法来测定这些点的水准高，根据公式ζ=H-Hr求出这些点的高程异常，选择适当的比例尺按照已知点的平面坐标展会在图纸内，对已知点标注出高程异常值，再确定等高距，绘制出高程异常值的等值线图。之后就可以内插出待测点的高程异常值，进而求出待测点的正常高。这种方法只适用地形相对平坦的地方，在此种测区内采用这种方法拟合的高程精度可达到厘米级。这种方法虽然简单易操作，但是有其弱点，就是精度不高，只有当对拟合精度要求不高的时候才使用此种方法。
2.2 多项式曲线拟合法
多项式曲线拟合是线状分布拟合的主要方法。多项式拟合顾名思义其插值函数是一个m次的代数多项式，若高程控制点的高程异常为ζ，坐标为xi （或yi或di或拟合坐标或xi -x0 或yi -y0 ）的函数关系为下式：
ζl =a0 +a1x1l +a2x2l +a3x3l +amxml…… 2-1
各高程控制点的已知高程异常与其拟合值之差为下式所示：
ri =ζi （x）-ζi （i=0，1，2…n） 2-2
上式我们称之为离差。（2-1）中xi 是拟合点到参考点（ x0，y0 ）的直线距离，x0 ，y0 为设定的常数值。在一般情况下都认为， x0 ，y0 就是测区内已知点坐标的均值。多项式曲线拟合使用起来非常方便，但是它有自身的局限性，即是使用这种方法的时候，所测路线不能太长，要限制控制点到测点的距离不能太远，通常把距离控制在300米以内。这个要求是因为使用多项式曲线方法拟合似大地水准面，如果它拟合的范围太大，点位的高程异常变化就越复杂，削高补低的方法不能满足我们所要求的精度。随着多项式阶数的增大，也会使拟合出的曲线振荡的更厉害，从而造成拟合的误差增大。这些造成了多项式曲线拟合的缺陷，但是在路线较短的情况下，这种方法有足够的精度来拟合GPS点的正常高程。在式（2-1）中用m次多项式拟合似大地水准面，这个m的值如何取定，一般情况下如果测区不是很长，地形相对平坦，那么我们通常取m取为3。也就是说多项式为三次多项式。若测区比较长或者是测区地形比较复杂就要依情况而定，增加多项式的次数，提高拟合精度。依上述分析m的取值主要和测区长度以及测区的复杂程度有关。
2.3 三次样条曲线拟合法
三次样条曲线拟合法针对测线长，已知点多的测区GPS高程拟合问题。这种方法很好的解决了因测线长而引起的问题。三次样条曲线的实质就是一个拼接而成的连续函数，在把测线分为多段的情况下，每段设为三次多项式函数，然后将这些多项式函数组成三次样条函数。这种做法有诸多好处，其中优点有三点：其一计算简便，其二保留了多项式的优点，其三克服了多项式的缺点。多项式的缺点是单个多项式会有不灵活不稳定的现象。由于三次样条曲线的种种优点，往往在实际中当遇到测线长已知点多的情况下采用此方法拟合高程。
3 结语
一般来说，采用同样的拟合方法，起算点数量越多，则拟合精度越高，不同拟合方法对高程异常拟合值的影响可以达到厘米级，在高程异常的拟合计算中，必须选择合适的拟合方案；采用几何方法拟合高程异常，除应根据高程异常变化选择合适的拟合模型外，还应根据高程异常变化梯度合理地划分拟合分区，以使拟合模型更好地符合区域高程异常的变化趋势；当已知点均匀分布于整个测区时，待定点精度最高。参加拟合的重合点数量比较充足并且重合点的分布较均匀时，高程拟合的精度基本上能达到厘米级可以满足一般工程的精度要求。
参考文献：
[1] 徐绍铨，GPS测量原理及应用[M]，武汉：武汉测绘科技大学出版社，1998.
[2] 李明，高星伟，文汉江. Kriging方法在GPS水准拟合中的应用[J].测绘科学，2009.
[3] 高伟，卢秀山. GPS高程区域似大地水准面的分区拟合与平滑连接[J].测绘通报，2000.
作者简介：
刘方圆（1989-），男，汉族，陕西渭南人，助教，本科，研究方向：大地测量。
许明明（1987-），男，汉族，陕西礼泉人，助教，本科，研究方向：建筑工程经济，工程造价管理。
张芳 （1987-），女，汉族，四川宜宾人，助教，本科，研究方向： 室内外空间拓展设计