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向量是数学中的重要概念,综观近几年高考,向量由只考查关于向量概念或运算小题上升到考察以向量为背景的解析几何大题；向量与三角函数的密切的联系、以向量和三角函数为载体的数学问题等等这些,更能考察考生的创新意识和创造性解决问题的能力。所以我们在复习的过程中除加强基础知识的学习,做到概念清、运算准外,还要注意综合能力的训练,培养准确运算能力和灵活运用知识的能力。通过下面一些向量热点问题的研究,我们一起来体会和感悟向量作为工具与其他知识的精妙结合。
点拨 向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题,考查了向量的知识,三角函数的知识,达到了高考中试题的覆盖面的要求。向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点,但通常难度不大,一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换,以及解三角形等知识点。
【例 2 】 已知函数f(x)=ex+x.对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断：
①△ABC一定是钝角三角形;
②△ABC可能是直角三角形;
③△ABC可能是等腰三角形;
④△ABC不可能是等腰三角形.
其中,正确的判断是 .
分析 设出A,B,C三点的坐标,表示BA •BC ,结合A,B,C三个点的横坐标判断BA •BC 的符号,由BA •BC 的符号判断三角形是钝角三角形还是锐角三角形或是直角三角形,再求｜BA ｜2-|BC |2的值,由它的值来判断△ABC是否是等腰三角形。
点拨 此例题很好的利用向量这个工具来衡量一个角的大小,进而通过向量的坐标形式转化为坐标形式,在转化为函数模型进行解决,其实这一思想在解决一些衡量、一个角的大小问题时是经常应用。
热点三：向量与解析几何的综合问题
【例 3 】 已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 3 2 ,点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为 6 5 5 .
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,求EP •QP 的取值范围.
点拨 向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题,考查了向量的知识,三角函数的知识,达到了高考中试题的覆盖面的要求。向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点,但通常难度不大,一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换,以及解三角形等知识点。
【例 2 】 已知函数f(x)=ex+x.对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断：
①△ABC一定是钝角三角形;
②△ABC可能是直角三角形;
③△ABC可能是等腰三角形;
④△ABC不可能是等腰三角形.
其中,正确的判断是 .
分析 设出A,B,C三点的坐标,表示BA •BC ,结合A,B,C三个点的横坐标判断BA •BC 的符号,由BA •BC 的符号判断三角形是钝角三角形还是锐角三角形或是直角三角形,再求｜BA ｜2-|BC |2的值,由它的值来判断△ABC是否是等腰三角形。
点拨 此例题很好的利用向量这个工具来衡量一个角的大小,进而通过向量的坐标形式转化为坐标形式,在转化为函数模型进行解决,其实这一思想在解决一些衡量、一个角的大小问题时是经常应用。
热点三：向量与解析几何的综合问题
【例 3 】 已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 3 2 ,点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为 6 5 5 .
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,求EP •QP 的取值范围.