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函数的对称性,是函数一个重要性质,有着广泛应用。下面介绍一个简洁优美的对称定理:函数y=f(x)关于x=a对称<=>f(a+x)= f(a-x) <=> f(x)=f(2a-x)(一下简记*)。证明从略。下面举例说明应用。
一. 求函数解析式
例1:若f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于x=2对称,且当x (-2,2)时,f(x)=x2+1,则当x (-6,-2)时,f(x)=()。
解:取-6 f(x+4)= - (x+4)2+1
∵f(x)关于x=2对称,f(2+x)=f(2-x)
即f(4+x)=f(x)
F[4-(-x)]=f(-x)
即f(4+x)=f(-x)
又∵ f(x)为偶数,∴ f(-x)=f(x)
∴ f(4+x)=f(x)
∴f(x)=-(x+4)2+1
研究函数的有关性质
例2:设f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足下列关系:f(10+x)=f(10-x), f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是()
A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数
C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数
解:已知f(10+x)=f(10-x),由*即得
f(x)= f(20-x)
∴ f(x)= -f(20+x)
∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=-f(20+x)= f(x),可见f(x)是周期函数。
又f(-x)=f[20-(-x)]=f(20+x)= -f(x),即f(x)为奇函数,故选C。
二、确定方程根的有关问题
例3:已知对一切x R都有f(x)= f(2-x)且方程f(x)=0有五个不同的根,这五个根的和为()。
解:因为函数没有具体的解析式,求根何谈容易。但我们观察题目所给条件f(x)= f(2-x),可得f(x+1)=f[2-(x+1)]=f(1-x)即f(1+ x)= f(1-x),可知函数图像关于直线x=1对称,设方程五个根为,则必有x3=1,且x5-1=1- x1。
∴ x1+x5=2
同理有:x2+x4=2,∴ x1+x2+x3+x4+x5=5
例4:设函数y=f(x)对一切实数x都满足f(3+x)= f(3-x),且方程恰有六个不同的实根,则这6个实根的和为()
A.18 B.12 C.9 D.0
解:∵ f(3+ x)= f(3-x)由(*)知y=f(x)关于x=3对称,f(x) = f(6-x),所以六个根分居x=3两侧,设一侧三根为a1、a2、a3则另一侧三根必为:6- a1,6- a2,6- a3,故他们和是18,选A。
三、证明有关命题
例5:y=f(x)是偶函数且是周期函数的充要条件是存在直线x=a(a 0),使得y=f(x)关于y轴和直线x=a都对称。
证明:1.充分性:若y=f(x)关于直线x=a(a 0)对称,则f(x)= f(2a-x),∴ f(x)= f(-x) = f f[2a-(-x)]= f(2a+x),即2a是y=f(x)的一个周期,故y=f(x)是周期函数。
2.必要性:若y=f(x)是偶函数,显然它关于y轴对称,若y=f(x)是周期函数,令T(T 0)是它的一个周期,定义域为A,则对任意x A,都有:f(x) = f(x+T),那么f(x) = f(-x)= f(-x+T)=f(2-X),只需取x= =a,则f(x)关于直线x=a对称。
例6.如果首项系数为正的二次函数f(x)满足f(x+1)= f(1-x),求证f( )>f( )
证明:由已知和(*)得f(x)图像是关于x=1对称,开口向上的抛物线,所以f(x)在(-,1)内在减函数。
又f( ) ∴ f( )>f( )
四、比较大小
例7:如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t) = f(2-t),那么( )
A.f(2)< f(1)< f(4) B. f(1)< f(2)< f(4)
C. f(2)< f(4)< f(1)D. f(4)< f(2)< f(1)
解:由已知和(*)得f(x)关于x=2对称,x≥2严格递增,f(1)=(2×2-1)= f(3),2<3<4。
即f(2)< f(1)< f(4),故选A。
一. 求函数解析式
例1:若f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于x=2对称,且当x (-2,2)时,f(x)=x2+1,则当x (-6,-2)时,f(x)=()。
解:取-6
∵f(x)关于x=2对称,f(2+x)=f(2-x)
即f(4+x)=f(x)
F[4-(-x)]=f(-x)
即f(4+x)=f(-x)
又∵ f(x)为偶数,∴ f(-x)=f(x)
∴ f(4+x)=f(x)
∴f(x)=-(x+4)2+1
研究函数的有关性质
例2:设f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足下列关系:f(10+x)=f(10-x), f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是()
A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数
C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数
解:已知f(10+x)=f(10-x),由*即得
f(x)= f(20-x)
∴ f(x)= -f(20+x)
∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=-f(20+x)= f(x),可见f(x)是周期函数。
又f(-x)=f[20-(-x)]=f(20+x)= -f(x),即f(x)为奇函数,故选C。
二、确定方程根的有关问题
例3:已知对一切x R都有f(x)= f(2-x)且方程f(x)=0有五个不同的根,这五个根的和为()。
解:因为函数没有具体的解析式,求根何谈容易。但我们观察题目所给条件f(x)= f(2-x),可得f(x+1)=f[2-(x+1)]=f(1-x)即f(1+ x)= f(1-x),可知函数图像关于直线x=1对称,设方程五个根为,则必有x3=1,且x5-1=1- x1。
∴ x1+x5=2
同理有:x2+x4=2,∴ x1+x2+x3+x4+x5=5
例4:设函数y=f(x)对一切实数x都满足f(3+x)= f(3-x),且方程恰有六个不同的实根,则这6个实根的和为()
A.18 B.12 C.9 D.0
解:∵ f(3+ x)= f(3-x)由(*)知y=f(x)关于x=3对称,f(x) = f(6-x),所以六个根分居x=3两侧,设一侧三根为a1、a2、a3则另一侧三根必为:6- a1,6- a2,6- a3,故他们和是18,选A。
三、证明有关命题
例5:y=f(x)是偶函数且是周期函数的充要条件是存在直线x=a(a 0),使得y=f(x)关于y轴和直线x=a都对称。
证明:1.充分性:若y=f(x)关于直线x=a(a 0)对称,则f(x)= f(2a-x),∴ f(x)= f(-x) = f f[2a-(-x)]= f(2a+x),即2a是y=f(x)的一个周期,故y=f(x)是周期函数。
2.必要性:若y=f(x)是偶函数,显然它关于y轴对称,若y=f(x)是周期函数,令T(T 0)是它的一个周期,定义域为A,则对任意x A,都有:f(x) = f(x+T),那么f(x) = f(-x)= f(-x+T)=f(2-X),只需取x= =a,则f(x)关于直线x=a对称。
例6.如果首项系数为正的二次函数f(x)满足f(x+1)= f(1-x),求证f( )>f( )
证明:由已知和(*)得f(x)图像是关于x=1对称,开口向上的抛物线,所以f(x)在(-,1)内在减函数。
又f( )
四、比较大小
例7:如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t) = f(2-t),那么( )
A.f(2)< f(1)< f(4) B. f(1)< f(2)< f(4)
C. f(2)< f(4)< f(1)D. f(4)< f(2)< f(1)
解:由已知和(*)得f(x)关于x=2对称,x≥2严格递增,f(1)=(2×2-1)= f(3),2<3<4。
即f(2)< f(1)< f(4),故选A。