【摘要】函数是高中数学的重要内容，抽象函数是相对于具体的函数而言，指没有给出函数解析式或对应法则，只是给出函数所满足的一些性质，抽象函数一般是指满足这些性质的一类函数.求解抽象函数问题，要有扎实的知识基础和较强的抽象思维和逻辑推理能力.随着对数学考题的要求更多变，抽象函数问题在高考命题中呈现逐渐加强的趋势.
　　【关键词】高中数学；抽象函数；解题技巧
　　一、赋值法
　　赋值法是把已知函数所满足的所有性质，即一般性条件，赋予特殊的值，推出函数所必须满足的其他性质.
　　例1已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（3）=0，对任意x∈R，都有f（x 6）=f（x） f（6）成立，则f（2007）=（）.
　　A.2006
　　B.2007
　　C.2008D.0
　　解析f（-3）=0，取x=-3代入f（x 6）=f（x） f（6），
　　得f（6）=0，f（x 6）=f（x），周期为6，选D.
　　例2（2005年重庆高考）已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）-x2 x）=f（x）-x2 x.
　　（Ⅰ）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；
　　（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，求函数f（x）的解析表达式.
　　解（Ⅰ）取x=2，又f（2）=3，得
　　f（f（2）-22 2）=f（2）-22 2，即f（1）=1.
　　又f（0）=a，故f（f（0）-02 0）=a-02 0，
　　即f（a）=a.
　　（Ⅱ）又满足f（x0）=x0的实数x0唯一.
　　由f（f（x）-x2 x）=f（x）-x2 x可知
　　对任意x∈R有f（x）-x2 x=x0.
　　在上式中令x=x0有f（x0）-x02 x0=x0.
　　又f（x0）=x0得x0-x02=0.
　　故x0=0或x0=1.
　　若x0=0，方程f（x）=x有两个根，故x0≠0.
　　若x0=1，则有f（x）=x2-x 1.
　　易验证该函数满足题设.
　　“赋值法”是解抽象函数问题最常用的方法，解题的关键是灵活运用题设条件合理赋值，赋值要有明确的目标、依据和灵活的策略.
　　二、变换法
　　利用已知函数所满足的一般性的关系式，通过变量代换，推出所要求的关系式.
　　例3下列命题正确的序号是.
　　① 若f（x）满足f（a x）=f（b-x），则y=f（x）的图像关于直线对称；
　　② 若f（a x） f（a-x）=2c，则y=f（x）的图像关于点（a，c）中心对称；
　　③ 函数y=f（a x）与y=f（b-x）的图像关于直线对称；
　　④ 函数y=f（a x）与y=-f（b-x）的图像关于点中心对称.
　　解析①②③④都正确.
　　证明①②③证明略.
　　④ 设函数y=f（a x）图像上任意一點M（m，n），关于点Ab-a2，0对称的点为N（b-a-m，-n），则
　　n=f（a m），-f（b-（b-a-m））=-f（a m）=-n，
　　所以y=f（a x）图像上任意一点关于点A对称的点都在y=-f（b-x）的图像上.
　　同理，y=-f（b-x）图像上任意一点关于点A对称的点都在y=f（a x）的图像上.命题正确.
　　三、抽象函数的解析式问题
　　例4已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x y）-f（y）=x（x 2y 1）成立，且f（1）=0，求f（x）解析式.
　　分析抽象函数的解析式问题一般用赋值法求解.
　　解∵函数f（x）对一切实数x，y均有f（x y）-f（y）=x（x 2y 1）成立，且f（1）=0，令x=1，y=0，
　　得f（1）-f（0）=2，∴f（0）=f（1）-2=-2.
　　在f（x y）-f（y）=x（x 2y 1）中再令y=0得
　　f（x）-f（0）=x（x 1）.
　　∴f（x）=f（0） x（x 1）=x2 x-2.
　　∴f（x）=x2 x-2.
　　可以看出对不同类型的抽象函数问题，可以用不同的求解策略，有时根据所给条件，可利用具体函数模型来寻求解题思路，或检验解答是否正确，从而化抽象为具体，有利于问题的解决.
　　【参考文献】
　　[1]张卫东.对抽象函数周期性的探究[J].中学数学研究，2012（15）.
　　[2]杨其武.函数三性的关系及简单应用[J].中学数学研究，2012（10）.
　　[3]张真平.抽象函数定义域的形象化求法[J].教育教学论坛，2011（13）.