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随着计算机技术的快速发展和日益成熟，基于位置的服务渐渐受到人们的关注，而对位置信息的准确性和及时性的需求也愈来愈大。其中，基于无线信号接收强度的室内定位一直是人们所热切关心的问题，由于室内信号强度的分布具有很强的时变性，我们很难实时地快速建立准确的离线匹配地图，这就给在线匹配定位带来了很大的误差。为了解决这个问题，这篇文章提出了基于压缩感知的快速高精度室内无线信号分布地图的恢复算法。利用无线信号分布强度的稀疏性，本算法可以利用有限次的测量，利用少量的随机分布的测量点迅速重构室内无线信号分布图，具有很强的实时性，应用压缩感知可以很大幅度减少测量点的数量，并获得较高的恢复精度。仿真和实验证明，本算法可以减少超过50%的测量点，同时获得15%（SNR=20dB）以下误差的恢复精度，为高精度室内定位奠定了基础。
室内无线定位的发展
近些年，无线定位在经济、军事、政治等领域收到了广泛关注。精准而实时的位置信息在个人或商业需求中起着极其重要的作用。然而，室内环境的复杂多变性使定位精度的提升十分缓慢艰难。除此以外，构建离线匹配地图巨大的消耗也从另一方面限制了定位技术的应用。同一些其他的定位算法（例如ToA（Time-of-Arrival）AoA（Angle-of-Arrival））相比，通过接收信号强度（RSS）来定位的算法因其简单、实用和高效等特性，在近些年中被广泛研究[1]。然而，RSS定位系统面对的主要问题来自于以下两方面：
1）由于遮挡效应、多径效应等频道障碍以及无线设备方向的不确定，RSS的信号接收变得繁杂而不好掌控。
2）真实环境中的信号，只有极小部分被RSS测量接收，这些因素很大程度上削弱了室内定位的精确度。
早些年，定位系统常用一个理论或实际的信号接收器来规划整合所获信号间的关系。但室内的动态环境不可预测，信号的传输接收常常存在较大误差。因此一种类似于构建指纹库的匹配参数定位方法被提了出来，通过将在线的RSS接收数据和离线的测量地图做匹配比较，确定目标的位置。但实际上，一个精准的位置需要很多组RSS采样数据的共同评估，这些测量方法也极大程度上依靠环境条件。因此，如何快速高效地在实变的无线环境中建立准确的RSS匹配地图，并且减少离线测量的工作消耗成为一个亟待解决的重要问题[2]。
压缩感知理论的简单回顾
我们知道，压缩感知算法可以在一定的限制条件下，以显著低于奈奎斯特采样率的速率对信号进行采样和恢复，这已经被很多研究所证实。现实世界中无线信号的稀疏性使得在室内定位中使用压缩感知理论变为可能。根据已有的研究和实验证明，RSS的空间分布是服从基本的信号传输规律的，通过特定的变换可以对其进行稀疏表示，压缩感知理论可以在RSS的系数变换域（例如傅里叶变换域或者小波变换域），用远远小于奎斯特采样率的速率采样，并高精度重构被压缩的稀疏信号。
假设一个有限长度的一维离散实信号，它可以被表示为在空间中由许多元素组成，这里。信号在空间中可以被分解为基矩阵和权系数的组合。在这里，基矩阵可以选择标准正交基，例如傅里叶基或者小波基等。因此信号可以被表示为以下形式：
（1）
在这里是N×N的基矩阵，是N×1的权系数矩阵。如果权系数矩阵中不为零的元素有K个，并且K≤N，我们就说信号在基矩阵的表示下是K-稀疏的，即信号是可压缩的。
考虑一个一般的M×N维的测量矩阵，用它来观测公式（1）中的信号，可以得到M×1维的观测矩阵，观测过程可以表示为公式（2）
（2）
在这里，是一个M×N维矩阵，测量过程并不是自适应的，换句话说观测矩阵是固定的而不随信号的变化而改变。因此总结来说，压缩感知问题包含以下几方面的设计：1）观测矩阵的设计，并且与变换基之间满足有限等距准则[3]（RIP准则）；2）恢复算法的选择，通过选择合适的恢复算法从K-稀疏的观测值y中恢复原始信号x。经过变换和稀疏观测之后的可压缩信号可以通过一些最小化优化重构算法高精度地重构恢复，这些算法包括正交匹配追踪算法（OMP）和基追踪（BP）算法等[4]。
基于压缩感知的高效RSS分布图测量与重构算法设计
在特定时间对离散的空域位置点进行测量采样时，采样点在空域非分布具有随机性，因此不同时刻对空域的采样测量可以近似被看作是一个稀疏向量。当压缩感知理论被应用于无线定位时，首要任务是如何在满足定位精度的同时，将位置信息规划为压缩感知内容，并建立合理的压缩感知数学模型。RSS分布图的重构相当于在离散的空域中，通过解决压缩感知的最优化问题来重构稀疏矩阵。
在现实环境中，无线电设备接收环境的复杂性以及接收信号的随机性，使得寻找到构建压缩感知模型所需的稳定环境条件困难重重。因此，我们需要快速地随机测量空间中的RSS信号分布，测量区域和測量点之间实现独立，这对于高效而准确的RSS分布图重构来说十分重要[5]。
RSS分布图的重构可以被近似看作为一个低秩矩阵的恢复问题。假设目标空间是一个包含个点的离散矩阵，即采样模型是一个的矩阵。每一个矩阵元素代表WiFi发射的RSS信号强度，也就是说RSS信号分布区可以被看作矩阵。如果采样密度足够，定位结果将会更加精确。但是，完整测量格子中的每个采样点并不现实，通常仅有极少部分的采样点会被观测，这使得矩阵信息的测量极不完整。如图1所示，二维矩阵代表平面测量区域，红方块代表已测量点，蓝方块代表未测
量点。
我们将待测量区域定义一个二维的WiFi接收信号强度（RSS）分布矩阵，它包括个测量点。为了降低测量次数，我们只从RSS分布图中选择个采样测量点，测量点则RSS分布图上随机分布，如图2所示，这个测量过程可以用观测矩阵来表示。是一个稀疏观测矩阵，矩阵中通过有限个稀疏的位置观测原始的RSS分布值。矩阵和原始RSS分布图之间的关系可以用一个掩模算子来表示： 为了更形象地说明，掩模算子可以被定义为一个大小的矩阵Q，
那么，观测矩阵与空间中原始的RSS分布图之间的关系可以被进一步表示为：
我们知道，空间中原始的RSS分布矩阵在变换域之下是稀疏的，这里的变换域可以是离散傅里叶变换域（DFT）或者是离散小波变换域（DWT）。所以，RSS分布矩阵的稀疏表示如下所示，
式中，是包含有限个稀疏值的权系数矩阵。如果RSS分布矩阵是只有K个基向量的线性组合，那么就是K稀疏的。换句话说，权系数矩阵中只有有限个绝对值大的分量，其他分量绝对值都很小接近于零，则RSS分布矩阵是可压缩的。接下来，测量后得到的观测信号矩阵可以被表示为：
这里，是零均值的高斯白噪声矩阵。这样，利用随机观测得到的测量值，原始RSS分布矩阵的恢复重构问题可以被写作一个不等式最优化问题
这个不等式最优化问题也可以被正则化表示为一个单行表达式，
這里，表示p范数，即。是一个受噪声大小影响的门限值，是正则化系数用来平衡稀疏性和计算消耗。可以证实，观测矩阵和正交基之间满足有限等距性质（RIP），所以RSS分布矩阵通过正交匹配追踪算法（OMP）或者基追踪（BP）算法被高精度地恢复。
图2显示了在现实环境中室内RSS分布图被测量的场景。测量过程需要一些基本设备包括：频谱仪、信号采集器、WiFi信号发射路由器等。测量过程可以被分成以下的步骤：
1）WiFi信号发射路由器产生无线信号。
2）用频谱仪和信号采集器测量待测量区域的信号
强度。
3）记录测量点的信号强度观测值，调用压缩感知算法对RSS分布图进行重构。
4）真实测量的数据与恢复重构的数据进行对比分析。
恢复算法的仿真与实验验证
首先，我们使用Matab仿真验证了恢复算法的有效性，测量点随机分布在测量区域的不同位置，在这个区域中WiFi信号的RSS分布信息被随机测量。一般来说，插值算法也被用作从测量数据中还原未知数据，但压缩感知算法更加高效，能达到更高的精度。图3中显示了压缩感知算法的恢复误差RMSE（Root Mean Square Error）随测量点数和信噪比的变化。应用压缩感知算法，即使在测量点极少的情况下，仍然可以达到较高的恢复精度。在信噪比（SNR）条件较好的情况下（如20dB），恢复误差甚至可以达到15%以下，而且随这SNR增加，误差继续下降。而随着测量区域内采样点数量的增加，测量精度也随之提升。这个发现使得我们用较少的测量代价实现高精度地RSS分布图恢复成为可能。另外，我们计算了使用不同SNR得到RSS分布图时，每一点RMSE的平均值。测量点的数目m小于测量区域总点数的50%，随着SNR的改善，RSS信号的恢复水平也随之提升。即使在SNR（<5dB）极低的情况下，每一个格子中采样点的恢复误差依旧低于0.4%。这说明本文中的算法很适合RSS信号恢复。
为了进一步验证算法的可行性，我们设计了一套演示验证系统。整套演示系统包括一个区域的铝合金底板加四周隔离板，隔离板为了防止周围环境中的信号干扰，提高验证的准确性。四个角布置WiFi信号接收装置，一辆木制小车用来进行RSS信号测量的，小车上安装有接收器，放大器模块和电池等，通过连接线将信号输入采集卡，由上位机接收并处理。我设计了初步的采样程序，采样程序用labview以1khz速率采样，每0.1s对其做100次平均。整个系统的设计如图4所示：
实验中我们首先将铝合金底板内划分网格，然后随机测量了一些网格位置的WiFi信号强度，应用压缩感知算法进行恢复，建立了基于压缩感知恢复的位置-信号强度数据库。为了与真实信号强度分布图进行对比，我们还一一测量每个格点的信号强度，实际测量图与压缩感知恢复后的信号分布图进行对比，对比结果如图5所示。
从对比结果可以看出，基于压缩感知的信号恢复图与真实的信号分布测量图之间有很大的相似性，这说明基于压缩感知的RSS恢复算法可以在降低测量点数的情况下获得较高的实际恢复精度（实验中真实信号分布图由100个测量点组成，只用了其中27个测量点进行压缩感知信号恢复，得到完整的RSS恢复图。
结论
本文提出了一种基于压缩感知的室内RSS分布图高效恢复算法，仅仅随机测量室内有限的观测点的信号强度值，就可以高精度的恢复整个测量区域的RSS分布图，极大地减少了离线阶段RSS测量的工作难度，为基于接收信号强度的室内匹配参数定位方法提供了可靠地保障。
参考文献
[1]陈斌涛，刘任任，陈益强，等.动态环境中的WiFi指纹自适应室内定位方法[J].传感技术学报，2015，28（5）：729-738.
[2]陈丽娜.WLAN位置指纹室内定位关键技术研究[D].上海：华东师范大学，2014.
[3]刘芳，武娇，杨淑媛，等.结构化压缩感知研究进展[J].自动化学报，2013，39（12）：1980-1995.
[4]任越美，张艳宁，李映.压缩感知及其图像处理应用研究进展与展望[J].自动化学报，2014，40（8）：1563-1575.
[5]沈燕飞，李锦涛，朱珍民，等.基于非局部相似模型的压缩感知图像恢复算法[J].自动化学报，2015，41（2）：261-272.
（作者简介：吴湛，北京市第二中学。）
室内无线定位的发展
近些年，无线定位在经济、军事、政治等领域收到了广泛关注。精准而实时的位置信息在个人或商业需求中起着极其重要的作用。然而，室内环境的复杂多变性使定位精度的提升十分缓慢艰难。除此以外，构建离线匹配地图巨大的消耗也从另一方面限制了定位技术的应用。同一些其他的定位算法（例如ToA（Time-of-Arrival）AoA（Angle-of-Arrival））相比，通过接收信号强度（RSS）来定位的算法因其简单、实用和高效等特性，在近些年中被广泛研究[1]。然而，RSS定位系统面对的主要问题来自于以下两方面：
1）由于遮挡效应、多径效应等频道障碍以及无线设备方向的不确定，RSS的信号接收变得繁杂而不好掌控。
2）真实环境中的信号，只有极小部分被RSS测量接收，这些因素很大程度上削弱了室内定位的精确度。
早些年，定位系统常用一个理论或实际的信号接收器来规划整合所获信号间的关系。但室内的动态环境不可预测，信号的传输接收常常存在较大误差。因此一种类似于构建指纹库的匹配参数定位方法被提了出来，通过将在线的RSS接收数据和离线的测量地图做匹配比较，确定目标的位置。但实际上，一个精准的位置需要很多组RSS采样数据的共同评估，这些测量方法也极大程度上依靠环境条件。因此，如何快速高效地在实变的无线环境中建立准确的RSS匹配地图，并且减少离线测量的工作消耗成为一个亟待解决的重要问题[2]。
压缩感知理论的简单回顾
我们知道，压缩感知算法可以在一定的限制条件下，以显著低于奈奎斯特采样率的速率对信号进行采样和恢复，这已经被很多研究所证实。现实世界中无线信号的稀疏性使得在室内定位中使用压缩感知理论变为可能。根据已有的研究和实验证明，RSS的空间分布是服从基本的信号传输规律的，通过特定的变换可以对其进行稀疏表示，压缩感知理论可以在RSS的系数变换域（例如傅里叶变换域或者小波变换域），用远远小于奎斯特采样率的速率采样，并高精度重构被压缩的稀疏信号。
假设一个有限长度的一维离散实信号，它可以被表示为在空间中由许多元素组成，这里。信号在空间中可以被分解为基矩阵和权系数的组合。在这里，基矩阵可以选择标准正交基，例如傅里叶基或者小波基等。因此信号可以被表示为以下形式：
（1）
在这里是N×N的基矩阵，是N×1的权系数矩阵。如果权系数矩阵中不为零的元素有K个，并且K≤N，我们就说信号在基矩阵的表示下是K-稀疏的，即信号是可压缩的。
考虑一个一般的M×N维的测量矩阵，用它来观测公式（1）中的信号，可以得到M×1维的观测矩阵，观测过程可以表示为公式（2）
（2）
在这里，是一个M×N维矩阵，测量过程并不是自适应的，换句话说观测矩阵是固定的而不随信号的变化而改变。因此总结来说，压缩感知问题包含以下几方面的设计：1）观测矩阵的设计，并且与变换基之间满足有限等距准则[3]（RIP准则）；2）恢复算法的选择，通过选择合适的恢复算法从K-稀疏的观测值y中恢复原始信号x。经过变换和稀疏观测之后的可压缩信号可以通过一些最小化优化重构算法高精度地重构恢复，这些算法包括正交匹配追踪算法（OMP）和基追踪（BP）算法等[4]。
基于压缩感知的高效RSS分布图测量与重构算法设计
在特定时间对离散的空域位置点进行测量采样时，采样点在空域非分布具有随机性，因此不同时刻对空域的采样测量可以近似被看作是一个稀疏向量。当压缩感知理论被应用于无线定位时，首要任务是如何在满足定位精度的同时，将位置信息规划为压缩感知内容，并建立合理的压缩感知数学模型。RSS分布图的重构相当于在离散的空域中，通过解决压缩感知的最优化问题来重构稀疏矩阵。
在现实环境中，无线电设备接收环境的复杂性以及接收信号的随机性，使得寻找到构建压缩感知模型所需的稳定环境条件困难重重。因此，我们需要快速地随机测量空间中的RSS信号分布，测量区域和測量点之间实现独立，这对于高效而准确的RSS分布图重构来说十分重要[5]。
RSS分布图的重构可以被近似看作为一个低秩矩阵的恢复问题。假设目标空间是一个包含个点的离散矩阵，即采样模型是一个的矩阵。每一个矩阵元素代表WiFi发射的RSS信号强度，也就是说RSS信号分布区可以被看作矩阵。如果采样密度足够，定位结果将会更加精确。但是，完整测量格子中的每个采样点并不现实，通常仅有极少部分的采样点会被观测，这使得矩阵信息的测量极不完整。如图1所示，二维矩阵代表平面测量区域，红方块代表已测量点，蓝方块代表未测
量点。
我们将待测量区域定义一个二维的WiFi接收信号强度（RSS）分布矩阵，它包括个测量点。为了降低测量次数，我们只从RSS分布图中选择个采样测量点，测量点则RSS分布图上随机分布，如图2所示，这个测量过程可以用观测矩阵来表示。是一个稀疏观测矩阵，矩阵中通过有限个稀疏的位置观测原始的RSS分布值。矩阵和原始RSS分布图之间的关系可以用一个掩模算子来表示： 为了更形象地说明，掩模算子可以被定义为一个大小的矩阵Q，
那么，观测矩阵与空间中原始的RSS分布图之间的关系可以被进一步表示为：
我们知道，空间中原始的RSS分布矩阵在变换域之下是稀疏的，这里的变换域可以是离散傅里叶变换域（DFT）或者是离散小波变换域（DWT）。所以，RSS分布矩阵的稀疏表示如下所示，
式中，是包含有限个稀疏值的权系数矩阵。如果RSS分布矩阵是只有K个基向量的线性组合，那么就是K稀疏的。换句话说，权系数矩阵中只有有限个绝对值大的分量，其他分量绝对值都很小接近于零，则RSS分布矩阵是可压缩的。接下来，测量后得到的观测信号矩阵可以被表示为：
这里，是零均值的高斯白噪声矩阵。这样，利用随机观测得到的测量值，原始RSS分布矩阵的恢复重构问题可以被写作一个不等式最优化问题
这个不等式最优化问题也可以被正则化表示为一个单行表达式，
這里，表示p范数，即。是一个受噪声大小影响的门限值，是正则化系数用来平衡稀疏性和计算消耗。可以证实，观测矩阵和正交基之间满足有限等距性质（RIP），所以RSS分布矩阵通过正交匹配追踪算法（OMP）或者基追踪（BP）算法被高精度地恢复。
图2显示了在现实环境中室内RSS分布图被测量的场景。测量过程需要一些基本设备包括：频谱仪、信号采集器、WiFi信号发射路由器等。测量过程可以被分成以下的步骤：
1）WiFi信号发射路由器产生无线信号。
2）用频谱仪和信号采集器测量待测量区域的信号
强度。
3）记录测量点的信号强度观测值，调用压缩感知算法对RSS分布图进行重构。
4）真实测量的数据与恢复重构的数据进行对比分析。
恢复算法的仿真与实验验证
首先，我们使用Matab仿真验证了恢复算法的有效性，测量点随机分布在测量区域的不同位置，在这个区域中WiFi信号的RSS分布信息被随机测量。一般来说，插值算法也被用作从测量数据中还原未知数据，但压缩感知算法更加高效，能达到更高的精度。图3中显示了压缩感知算法的恢复误差RMSE（Root Mean Square Error）随测量点数和信噪比的变化。应用压缩感知算法，即使在测量点极少的情况下，仍然可以达到较高的恢复精度。在信噪比（SNR）条件较好的情况下（如20dB），恢复误差甚至可以达到15%以下，而且随这SNR增加，误差继续下降。而随着测量区域内采样点数量的增加，测量精度也随之提升。这个发现使得我们用较少的测量代价实现高精度地RSS分布图恢复成为可能。另外，我们计算了使用不同SNR得到RSS分布图时，每一点RMSE的平均值。测量点的数目m小于测量区域总点数的50%，随着SNR的改善，RSS信号的恢复水平也随之提升。即使在SNR（<5dB）极低的情况下，每一个格子中采样点的恢复误差依旧低于0.4%。这说明本文中的算法很适合RSS信号恢复。
为了进一步验证算法的可行性，我们设计了一套演示验证系统。整套演示系统包括一个区域的铝合金底板加四周隔离板，隔离板为了防止周围环境中的信号干扰，提高验证的准确性。四个角布置WiFi信号接收装置，一辆木制小车用来进行RSS信号测量的，小车上安装有接收器，放大器模块和电池等，通过连接线将信号输入采集卡，由上位机接收并处理。我设计了初步的采样程序，采样程序用labview以1khz速率采样，每0.1s对其做100次平均。整个系统的设计如图4所示：
实验中我们首先将铝合金底板内划分网格，然后随机测量了一些网格位置的WiFi信号强度，应用压缩感知算法进行恢复，建立了基于压缩感知恢复的位置-信号强度数据库。为了与真实信号强度分布图进行对比，我们还一一测量每个格点的信号强度，实际测量图与压缩感知恢复后的信号分布图进行对比，对比结果如图5所示。
从对比结果可以看出，基于压缩感知的信号恢复图与真实的信号分布测量图之间有很大的相似性，这说明基于压缩感知的RSS恢复算法可以在降低测量点数的情况下获得较高的实际恢复精度（实验中真实信号分布图由100个测量点组成，只用了其中27个测量点进行压缩感知信号恢复，得到完整的RSS恢复图。
结论
本文提出了一种基于压缩感知的室内RSS分布图高效恢复算法，仅仅随机测量室内有限的观测点的信号强度值，就可以高精度的恢复整个测量区域的RSS分布图，极大地减少了离线阶段RSS测量的工作难度，为基于接收信号强度的室内匹配参数定位方法提供了可靠地保障。
参考文献
[1]陈斌涛，刘任任，陈益强，等.动态环境中的WiFi指纹自适应室内定位方法[J].传感技术学报，2015，28（5）：729-738.
[2]陈丽娜.WLAN位置指纹室内定位关键技术研究[D].上海：华东师范大学，2014.
[3]刘芳，武娇，杨淑媛，等.结构化压缩感知研究进展[J].自动化学报，2013，39（12）：1980-1995.
[4]任越美，张艳宁，李映.压缩感知及其图像处理应用研究进展与展望[J].自动化学报，2014，40（8）：1563-1575.
[5]沈燕飞，李锦涛，朱珍民，等.基于非局部相似模型的压缩感知图像恢复算法[J].自动化学报，2015，41（2）：261-272.
（作者简介：吴湛，北京市第二中学。）