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摘要：笔者观摩了吴正宪老师的教学视频，对《商不变性质》及《相遇问题》两个课例仔细研读，进而从吴老师关注数学理解、关注信息反馈以及吴老师独到的存于细节的教学艺术中或已经看到了小学数学课堂高效的践行之路……
关键词：小学数学课堂；高效；表征
课堂教学的高效，成了一线教师的不懈追求。教师除了学习艰涩的理论，更是在教学实践中向名师学习。学习名师的课堂，以观照自己的教学行为，谋求教学的高效。这样的反思与沉淀使得许多一线教师的教学走向成熟。笔者立足吴正宪的课例《商不变性质》及《相遇问题》（来自网络视频）的学习，对高效小学数学课堂的表征进行探讨研究，以期成长自身，现作粗浅反思：
一、理解，数学教学的核心要诣
名师的课堂注重学生主体的对知识的构建。理解，成了名师课堂学生主体学习的核心要诣。名师更多的时候不是去展示自身对数学的理解，极尽“秀数学”之能事，在他们眼中，学生对数学的理解才是首要的。
（一）理解：架设一座“桥梁”
名师善于架设一座“学生己有的数学知识和生活经验”到“新知学习”之间的“桥梁”，促成学生的有效理解。小学生通常是利用自己己有的数学知识和生活经验来解读所学到的新知识，当他们发现己有知识解决不了问题的时候就会产生强烈的求知欲望，进而通过探索重建自己的认知结构，其中原有的知识是进一步建构的基础。
（二）理解，明晰概念关系
数学概念是组成数学知识体系最基本的元素，也是数学知识在头脑中建构的基石，可以说，学习者对某种知识理解的水平关键就看其对概念的掌握程度。英国数学教育家R·斯根普提出对事物的理解存在工具性理解和关系性理解两种模式 ，工具性理解是指一种语义性理解或者一种程序性理解，而关系性理解则还需加上对符号意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据等等。如何知晓学生是否真正理解，就需要学生通过不同的方式将自己的理解表达出来，教师需要耐心地为学生提供这样的机会与平台。
（三）理解，在辩论中深入
通过辩论的方式，小学生不仅能夠高度集中注意力，而且思维迅速活跃起来，辩论的气氛也能带动大家一起思考。在辩论中，学生学会了质疑，在讨论中，学生学会了反思，学会了发现问题，最后达到对知识的深入理解。
在“相遇问题教学”中，数学科代表问乙同学：“你的列式中50×4表示什么意思？”学生乙回应：“50×4表示货车4小时行了多少千米”。科代表继续追问：“我再问你，60表示什么意思？”学生乙：：“客车一小时行的路程呀”。科代表咄咄逼人：“那你的列式中只用客车一小时行的60千米加上货车4小时所行的路程，是什么意思？”学生乙用手挠着头说：“哎呀，我的列式里少了个小括号。”接着，冲向黑板，着着实实地画上了一个小括号。
（四）理解，主体参与中沉淀
名师之所以是名师，他们善于调动学生大胆猜想，大胆展示，敢于阐明，敢于推理，培养学生的数学猜想能力！数学表征理解能力！数学语言表达能力以及合情推理能力。使得学生的理解能力，在学生的主体参与中得以沉淀。
在课堂上，吴老师不会直接告诉学生结论，而让学生自己猜猜结果应该会是什么样的；不会直接告诉学生书上是怎么规定的，而会让学生展示自己的想法；不会直接告诉学生谁对谁错，而是让学生自己推理发现问题；在每个教学环节，为学生创造说的机会，并教学生怎么说。
（五）理解，在练习中超越。
课堂练习和训练是数学教学过程的重要组成部分，它不仅仅是对所学新知的简单重复，也不仅仅是信息反馈的手段，而且是让学生掌握基础知识、形成技能、发展智力的重要措施，是发展学生创造性思维的极好时机 。在课例“商不变性质”的练习中，吴老师设计了被除数和除数同时扩大一千倍的例题，虽然形式上与前面几个例题不同，但是实质上是一样的，学生经过思考后根据商不变性质得出结论，扩大了学生的思维广度。吴老师紧接着从被除数和除数分别加减乘除变化的角度出发，设计练习题让学生判断，进一步巩固了学生刚才修正的结论。最后，吴老师设计了游戏“找朋友”，让学生在玩中巩固了对商不变性质规律的认识。
二、反馈：教学高效的有效纽带
教学是双边活动，有效反馈是教学高效的纽带。名师善于在反馈中捕获生成、及时评价，使得教学趋向完整与成功。研讨吴正宪老师的课例，其教学信息反馈环节的处理，令人印象深刻。
（一）反馈，立足提问面之扩大
在反馈环节，教者宜扩大提问面，尽量保证每一位学生都有与教师交流的机会。小学阶段，教师在学生的心里是有一定权威性的，往往成为学生模仿的对象，教师一个不经意的关怀可能都会让学生兴奋一天，甚至对后来的成长发生影响。小学生都有较强的表现欲望，有的学生性格外向，有的学生性格内向，教师应该平等地对待每一位学生，尽量让他们都有与教师交流的机会，尝试与他们进行心灵上的对话和沟通。
（二）反馈，寻求回答的完整性
在教学反馈环节，要力求回答的完整性。教师要改变“师说”之形象，让学生说，让学生说完整的话。在学生回答不完整时选择继续追问或请其他同学补充，教师要真诚地展现一个“倾听者”的形象。
在案例“商不变性质”中，一位同学问吴老师：“12÷6也等于2，与8÷4=2这两道题之间符合这个规律吗？两道题的商没变，被除数和除数是怎么变化的呢？”吴老师表扬这位同学肯动脑筋，问题提得好，但并没有就题讲题，而是请小朋友帮忙解释，她充满信任的目光注视着班里的每一个人，最终一位同学大胆说出被除数和除数都同时扩大了非整数倍，是符合商不变性质的。学生潜力无限，非整数倍的引出为后面小数乘除法的学习奠定了基础，这样的学习是在学生求知欲的激发下进行的，是高效率的。
（三）反馈，保护学生积极情感 作为一名教师，我们要摈弃在信息反馈环节因为学生的错误回答或是启而不发动怒。相反，我们该及时洞察学生的反应，并给予正向评价，保护学生数学学习的积极情感。
在案例“商不变性质”中，当一位同学正为刚才的莽撞发言而难过，低着头一言不发的时候，吴老师走到他的身边，友好地握住这位同学的手，另一只手拍拍他的肩，亲切地说：“小伙子，你也很勇敢，正是有了你的发言，才给我们带来了一次深刻的思考，一次有意义的讨论，使我们大家对这个问题了解得更深刻了，谢谢你。”教室响起了友好的掌声，这位同学也感受到了自我价。
三、艺术：教学高效的境界追求
高效的数学课堂，教师是有其教学艺术性体现的。教学艺术不仅仅是教师素养的体现，更反映了一个教师对于课堂高效的境界追求。吴正宪老师的课堂是艺术的，这样的艺术在细节之间，她的艺术应该成为所有追求教学高效的教师的追求。
（一）艺术，肢体语言传达尊重
吴老师除了通过教学语言传递对学生的关爱之外，一定的肢体语言从细节上也会“无声胜似有声”，给学生传递鼓励、关爱之情，表达尊重、平等之意。在数学课堂上，吴老师侧耳倾听，弯腰传递话筒，握着学生的手，拍拍学生的肩膀，走到学生身边聆听他们的对话，注视着学生的眼睛，带头鼓掌。这小小的动作细节反映了吴老师的学生观，学生也在不知不觉中体验到了被尊重的感觉。
（二）艺术，善化教育于无形
一个好的教师，必善于将教学语言的科学性和教育性，用艺术化的形式和方法诉诸学生的感官，使之入耳、入脑、入心灵。吴老师十分重视语言的艺术修养，因为科学、准确、生动、传神的语言，充满了对学生的爱。例如，在讲解抽象的数学概念时，会用直观形象的语言，让学生在语言产生的视觉效应下唤起表象、产生联想。在启发学生思考问题时，会用富有极强的激励性、启发性的点拨语言，给学生一种似隐似现、若明若暗之感，使其产生一种跃跃欲试的心态，积极主动地参与学习，在学习的过程中，去思、去想、去悟。
（三）藝术，表扬激励大声具体
吴老师在课堂上表扬学生时，很少简单的说“对”“不错”“很好”，而是面向全班学生大声地进行表扬，并说明为什么值得表扬。大声地表扬，使被表扬的学生更加自豪，充满了自信；具体地表扬，使同学们信服，并能在同学中更好地发挥模范作用；对回答错误学生的鼓励，保护了回答问题学生的积极情感，并使其他学生学会从不同的角度来看待问题。
例如课例“商不变性质”中，“既然这个意见好，我们就接受这个意见”、“谢谢你，小姑娘，你观察问题很有顺序”、“小姑娘，你真棒，我欣赏你流利的表达，更佩服你的勇气，你敢于挑战对方提出不同的意见，很了不起”、“小伙子，你也很勇敢，正是有了你的发言，才一给我们带来了一次深刻的思考，一次有意义的讨论，使我们大家对这个问题了解得更深刻了，谢谢你！”、“同学们，你们真了不起，通过观察、思考和讨论，发现了这样一条很重要的规律，这就是商不变的性质。”
（四）艺术，板书设计更见真功
板书设计的简约大方是教师的基本功，吴老师在教学中，也注意从板书上下功夫，例如在课例“商不变性质”中，当学生列出许多商不变的算式时，吴老师故意让这些算式混杂排列在一起，随后让学生给板书提意见，最终有同学建议将乘法算式和除法算式分别放两边，这样经过学生自己的观察和归类，更容易发现商不变性质的规律，也培养了学生数学直觉能力。
（五）艺术，课堂教学张弛有度
小学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，在数学教学中，应给学生提供大量丰富的感性材料，特别是加强动手操作，为学生理解！掌握数学知识提供认识上的支柱。小学生课堂上注意力集中的时间是有限的，一般只有20～30分钟，形象思维仍占主导，逻辑思维很不发达，很难理解抽象的概念。
吴老师会在课堂上穿插一些故事、游戏、表演场景，并以此作线引发学生的思考。整节课上，学生的情感与思维进行了高度参与，下课铃声打响，学生只有一个感觉，那就是时间过得太快了。
（六）艺术，亦循亦诱反思引导
“反思”在当代认知心理学中属于元认知的概念范畴，用元认知的理论来描述，反思性数学学习就是学习者对自身数学学习活动的过程，以及活动过程中涉及的有关的事物（材料、信息、思维、结果等）的学习特征的反向思考。
在课堂上，吴老师的一个眼神，一个皱眉，一个停顿，一句“真的是这样吗？”无时无刻不把学生带入反思的活动中去，学生通过反思解题思路、反思推理过程、反思运算过程、反思语言的表述，学会发现问题，找到思维的症结，体验获取知识的快乐；学生通过反思问题解决过程中蕴含的思维方法，学会运用和迁移；通过反思题目之间的联系，发现所学知识本质和内涵。总之，反思性学习让学生学会学习。让学生学会反思正是教学艺术的体现。
我们追寻高效课堂，就当向名师学习，学习他们的严谨、学习他们对于教学细节的处理，在对他们艺术性课例的学习中，去寻得一剂自我成长的“良方”。
参考文献：
[1]马复，试论数学理解的两种类型）从R·斯根普的工作谈起[J]，数学教育学报，2001，10（03）：50。
[2]吴正宪，练习设计的艺术[J]，江西教育，19%，（02）；40。
[3]涂荣豹，试论反思性数学学习[J]，数学教育学报，2000，9（04）：17。
关键词：小学数学课堂；高效；表征
课堂教学的高效，成了一线教师的不懈追求。教师除了学习艰涩的理论，更是在教学实践中向名师学习。学习名师的课堂，以观照自己的教学行为，谋求教学的高效。这样的反思与沉淀使得许多一线教师的教学走向成熟。笔者立足吴正宪的课例《商不变性质》及《相遇问题》（来自网络视频）的学习，对高效小学数学课堂的表征进行探讨研究，以期成长自身，现作粗浅反思：
一、理解，数学教学的核心要诣
名师的课堂注重学生主体的对知识的构建。理解，成了名师课堂学生主体学习的核心要诣。名师更多的时候不是去展示自身对数学的理解，极尽“秀数学”之能事，在他们眼中，学生对数学的理解才是首要的。
（一）理解：架设一座“桥梁”
名师善于架设一座“学生己有的数学知识和生活经验”到“新知学习”之间的“桥梁”，促成学生的有效理解。小学生通常是利用自己己有的数学知识和生活经验来解读所学到的新知识，当他们发现己有知识解决不了问题的时候就会产生强烈的求知欲望，进而通过探索重建自己的认知结构，其中原有的知识是进一步建构的基础。
（二）理解，明晰概念关系
数学概念是组成数学知识体系最基本的元素，也是数学知识在头脑中建构的基石，可以说，学习者对某种知识理解的水平关键就看其对概念的掌握程度。英国数学教育家R·斯根普提出对事物的理解存在工具性理解和关系性理解两种模式 ，工具性理解是指一种语义性理解或者一种程序性理解，而关系性理解则还需加上对符号意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据等等。如何知晓学生是否真正理解，就需要学生通过不同的方式将自己的理解表达出来，教师需要耐心地为学生提供这样的机会与平台。
（三）理解，在辩论中深入
通过辩论的方式，小学生不仅能夠高度集中注意力，而且思维迅速活跃起来，辩论的气氛也能带动大家一起思考。在辩论中，学生学会了质疑，在讨论中，学生学会了反思，学会了发现问题，最后达到对知识的深入理解。
在“相遇问题教学”中，数学科代表问乙同学：“你的列式中50×4表示什么意思？”学生乙回应：“50×4表示货车4小时行了多少千米”。科代表继续追问：“我再问你，60表示什么意思？”学生乙：：“客车一小时行的路程呀”。科代表咄咄逼人：“那你的列式中只用客车一小时行的60千米加上货车4小时所行的路程，是什么意思？”学生乙用手挠着头说：“哎呀，我的列式里少了个小括号。”接着，冲向黑板，着着实实地画上了一个小括号。
（四）理解，主体参与中沉淀
名师之所以是名师，他们善于调动学生大胆猜想，大胆展示，敢于阐明，敢于推理，培养学生的数学猜想能力！数学表征理解能力！数学语言表达能力以及合情推理能力。使得学生的理解能力，在学生的主体参与中得以沉淀。
在课堂上，吴老师不会直接告诉学生结论，而让学生自己猜猜结果应该会是什么样的；不会直接告诉学生书上是怎么规定的，而会让学生展示自己的想法；不会直接告诉学生谁对谁错，而是让学生自己推理发现问题；在每个教学环节，为学生创造说的机会，并教学生怎么说。
（五）理解，在练习中超越。
课堂练习和训练是数学教学过程的重要组成部分，它不仅仅是对所学新知的简单重复，也不仅仅是信息反馈的手段，而且是让学生掌握基础知识、形成技能、发展智力的重要措施，是发展学生创造性思维的极好时机 。在课例“商不变性质”的练习中，吴老师设计了被除数和除数同时扩大一千倍的例题，虽然形式上与前面几个例题不同，但是实质上是一样的，学生经过思考后根据商不变性质得出结论，扩大了学生的思维广度。吴老师紧接着从被除数和除数分别加减乘除变化的角度出发，设计练习题让学生判断，进一步巩固了学生刚才修正的结论。最后，吴老师设计了游戏“找朋友”，让学生在玩中巩固了对商不变性质规律的认识。
二、反馈：教学高效的有效纽带
教学是双边活动，有效反馈是教学高效的纽带。名师善于在反馈中捕获生成、及时评价，使得教学趋向完整与成功。研讨吴正宪老师的课例，其教学信息反馈环节的处理，令人印象深刻。
（一）反馈，立足提问面之扩大
在反馈环节，教者宜扩大提问面，尽量保证每一位学生都有与教师交流的机会。小学阶段，教师在学生的心里是有一定权威性的，往往成为学生模仿的对象，教师一个不经意的关怀可能都会让学生兴奋一天，甚至对后来的成长发生影响。小学生都有较强的表现欲望，有的学生性格外向，有的学生性格内向，教师应该平等地对待每一位学生，尽量让他们都有与教师交流的机会，尝试与他们进行心灵上的对话和沟通。
（二）反馈，寻求回答的完整性
在教学反馈环节，要力求回答的完整性。教师要改变“师说”之形象，让学生说，让学生说完整的话。在学生回答不完整时选择继续追问或请其他同学补充，教师要真诚地展现一个“倾听者”的形象。
在案例“商不变性质”中，一位同学问吴老师：“12÷6也等于2，与8÷4=2这两道题之间符合这个规律吗？两道题的商没变，被除数和除数是怎么变化的呢？”吴老师表扬这位同学肯动脑筋，问题提得好，但并没有就题讲题，而是请小朋友帮忙解释，她充满信任的目光注视着班里的每一个人，最终一位同学大胆说出被除数和除数都同时扩大了非整数倍，是符合商不变性质的。学生潜力无限，非整数倍的引出为后面小数乘除法的学习奠定了基础，这样的学习是在学生求知欲的激发下进行的，是高效率的。
（三）反馈，保护学生积极情感 作为一名教师，我们要摈弃在信息反馈环节因为学生的错误回答或是启而不发动怒。相反，我们该及时洞察学生的反应，并给予正向评价，保护学生数学学习的积极情感。
在案例“商不变性质”中，当一位同学正为刚才的莽撞发言而难过，低着头一言不发的时候，吴老师走到他的身边，友好地握住这位同学的手，另一只手拍拍他的肩，亲切地说：“小伙子，你也很勇敢，正是有了你的发言，才给我们带来了一次深刻的思考，一次有意义的讨论，使我们大家对这个问题了解得更深刻了，谢谢你。”教室响起了友好的掌声，这位同学也感受到了自我价。
三、艺术：教学高效的境界追求
高效的数学课堂，教师是有其教学艺术性体现的。教学艺术不仅仅是教师素养的体现，更反映了一个教师对于课堂高效的境界追求。吴正宪老师的课堂是艺术的，这样的艺术在细节之间，她的艺术应该成为所有追求教学高效的教师的追求。
（一）艺术，肢体语言传达尊重
吴老师除了通过教学语言传递对学生的关爱之外，一定的肢体语言从细节上也会“无声胜似有声”，给学生传递鼓励、关爱之情，表达尊重、平等之意。在数学课堂上，吴老师侧耳倾听，弯腰传递话筒，握着学生的手，拍拍学生的肩膀，走到学生身边聆听他们的对话，注视着学生的眼睛，带头鼓掌。这小小的动作细节反映了吴老师的学生观，学生也在不知不觉中体验到了被尊重的感觉。
（二）艺术，善化教育于无形
一个好的教师，必善于将教学语言的科学性和教育性，用艺术化的形式和方法诉诸学生的感官，使之入耳、入脑、入心灵。吴老师十分重视语言的艺术修养，因为科学、准确、生动、传神的语言，充满了对学生的爱。例如，在讲解抽象的数学概念时，会用直观形象的语言，让学生在语言产生的视觉效应下唤起表象、产生联想。在启发学生思考问题时，会用富有极强的激励性、启发性的点拨语言，给学生一种似隐似现、若明若暗之感，使其产生一种跃跃欲试的心态，积极主动地参与学习，在学习的过程中，去思、去想、去悟。
（三）藝术，表扬激励大声具体
吴老师在课堂上表扬学生时，很少简单的说“对”“不错”“很好”，而是面向全班学生大声地进行表扬，并说明为什么值得表扬。大声地表扬，使被表扬的学生更加自豪，充满了自信；具体地表扬，使同学们信服，并能在同学中更好地发挥模范作用；对回答错误学生的鼓励，保护了回答问题学生的积极情感，并使其他学生学会从不同的角度来看待问题。
例如课例“商不变性质”中，“既然这个意见好，我们就接受这个意见”、“谢谢你，小姑娘，你观察问题很有顺序”、“小姑娘，你真棒，我欣赏你流利的表达，更佩服你的勇气，你敢于挑战对方提出不同的意见，很了不起”、“小伙子，你也很勇敢，正是有了你的发言，才一给我们带来了一次深刻的思考，一次有意义的讨论，使我们大家对这个问题了解得更深刻了，谢谢你！”、“同学们，你们真了不起，通过观察、思考和讨论，发现了这样一条很重要的规律，这就是商不变的性质。”
（四）艺术，板书设计更见真功
板书设计的简约大方是教师的基本功，吴老师在教学中，也注意从板书上下功夫，例如在课例“商不变性质”中，当学生列出许多商不变的算式时，吴老师故意让这些算式混杂排列在一起，随后让学生给板书提意见，最终有同学建议将乘法算式和除法算式分别放两边，这样经过学生自己的观察和归类，更容易发现商不变性质的规律，也培养了学生数学直觉能力。
（五）艺术，课堂教学张弛有度
小学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，在数学教学中，应给学生提供大量丰富的感性材料，特别是加强动手操作，为学生理解！掌握数学知识提供认识上的支柱。小学生课堂上注意力集中的时间是有限的，一般只有20～30分钟，形象思维仍占主导，逻辑思维很不发达，很难理解抽象的概念。
吴老师会在课堂上穿插一些故事、游戏、表演场景，并以此作线引发学生的思考。整节课上，学生的情感与思维进行了高度参与，下课铃声打响，学生只有一个感觉，那就是时间过得太快了。
（六）艺术，亦循亦诱反思引导
“反思”在当代认知心理学中属于元认知的概念范畴，用元认知的理论来描述，反思性数学学习就是学习者对自身数学学习活动的过程，以及活动过程中涉及的有关的事物（材料、信息、思维、结果等）的学习特征的反向思考。
在课堂上，吴老师的一个眼神，一个皱眉，一个停顿，一句“真的是这样吗？”无时无刻不把学生带入反思的活动中去，学生通过反思解题思路、反思推理过程、反思运算过程、反思语言的表述，学会发现问题，找到思维的症结，体验获取知识的快乐；学生通过反思问题解决过程中蕴含的思维方法，学会运用和迁移；通过反思题目之间的联系，发现所学知识本质和内涵。总之，反思性学习让学生学会学习。让学生学会反思正是教学艺术的体现。
我们追寻高效课堂，就当向名师学习，学习他们的严谨、学习他们对于教学细节的处理，在对他们艺术性课例的学习中，去寻得一剂自我成长的“良方”。
参考文献：
[1]马复，试论数学理解的两种类型）从R·斯根普的工作谈起[J]，数学教育学报，2001，10（03）：50。
[2]吴正宪，练习设计的艺术[J]，江西教育，19%，（02）；40。
[3]涂荣豹，试论反思性数学学习[J]，数学教育学报，2000，9（04）：17。