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数学教学不仅要传授数学知识,而且还要教学生解题,教学生学会解题容易,但使学生准确无误地写出解题过程是很难把握的。因为造成学生解题失误的原因是多方面的,譬如:概念不清,知识非结构化,直观判断的偏差,知识的负迁移,受思维定势的消极影响,忽视隐含条等等。在教学过程中如何调控学生解题的失误,笔者建议以下的做法:
一、加强概念理解,增强思维的严谨性
概念的内涵和外延不清,学生就容易陷入思维混乱,导致判断错误。在教学过程中应注意以下几点:
(1)讲要点。讲清概念所反映的本质属性和所涉及到的研究对象。例如:讲“异面直线”的概念时必须讲清异面直线的基本属性:“不同在任一平面内”。通过实例澄清诸如“分别在两个平面的两条直线是异面直线的”等错误认识。
(2)常类比。对邻近的概念要善于类比,要注意他们之间的联系和区别,提高学生对概念的判断能力。例如:“异面直线”与“平行直线”,“排列”与“组合”的概念。
(3)重深化。数学概念在运用中的巩固深化,能促进学生思维的积极性,及时暴露概念学习中的问题,故在教学中要采取先单一后综合地应用概念,逐步加深对概念的理解,纠正错误认识。
二、加强基础训练,增强直觉思维的可靠性
直觉思维是对数学对象事物的直接领悟和洞察。直觉思维不是胡思乱想,而是凭借过去自己对有关知识的本质的认识和经验,浓缩思维过程,产生解题的念头。这种解题念头是一种未经证实的看法,因此是不严密的,常会导致解题失误。教学过程中应注意以下几点:
(1)抓基础。直觉思维的正确性是建立在丰富和清晰的基础知识之上的,所以我们要把基础知识讲得扎实,基础练习的基本功必须练得过硬。先让学生将基础知识形成整体结构,把某些曾推理过的、证明过的知识转变为直觉知识;多进行基础练习,给学生经常进行直觉思维的机会,运用类比联想,让学生观察、猜想和洞察问题的本质,从而对各种信息和解题方案作出直接评估,确定解题方向和调整解题思路,提高解题的准确率。
(2)重分析。引导学生进行直觉思维,产生解题念头,然后分析这种解题思维是否有根有据,合乎推理的逻辑性。这样直觉思维和分析思维相结合,可以提高直接思维的可靠性。例如:已知数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1(n≥2).求数列{an}的通项公式。
学生大都能计算出a2=3,a3=7,a4=15,因此得出,当n≥2时,an=2n-1。
为验证上述结果是否正确,可以用构造数列的方法求出通项公式。
三、以对比的方式,消除知识“负迁移”的影响
知识的“负迁移”是指已经获得的知识对学习新知识的消极影响,如平面几何和立体几何的相关知识,实数与复数、排列与组合、正弦曲线和余弦曲线等。例如,在讲函数的平移时,常说“上加下减”,当再讲到曲线的平移时,还套用这句话就产生错误。可以这样对比,函数y=1/x+2,曲线y-2=1/x这两种形式,分别判断是由y=1/x的图像怎样平移过来的,这样就理解了在什么情况下用“上加下减”,再讲到曲线的平移时,自然就不生搬硬套了。
在教学中用对比的方法,帮助学生辨析知识的突出特征,引导学生“由表及里”认识知识的本质,辨清知识间的相似与差异,就能有效地减少知识“负迁移”的影响。
在教学过程中,教师可以选用或组编一些训练对比题组让学生在练习中对比数学概念、公式、定理,以及思想方法、解题途径、技能技巧等的对比,防止“负迁移”,促进“正迁移”。
四、洞察隐含条件,增强防御能力
隐含条件是指题目中若明若暗,含而不露的已知条件。它巧妙地隐藏在题设的背后,易被忽视。譬如,许多数学概念、公式、法则的运用范围和定理使用的前提往往在题目中就成了隐含条件。学生在解题中如果轻视和忽略这些条件就会导致解题的失误。
例如:集合A={ ︳ax2+(a+1)x+1=0},集合B={ ︳x2-x-2=0},若 是 的真子集,求 的值.
错解解得A={2,-1}后,分三种情况进行讨论:①当A=φ时,解得a∈φ;②当A={2}时,解得a=-1/2;③当A={-1}时,解得a∈R.故 的取值为 .
此题的正确结果为a=1.上述解法的错因在于在②③中均忽视了△=0这一条件,从而导致了解题错误;同时还别忘了a=0的情况。
我们在教学生解题时,应引导学生注意审题,重视错解。在审题时,注意对隐含条件的挖掘,对题目中所涉及到的概念、定理、公式、法则、图形等制约因素做到心中有数;带领学生分析因忽视隐含条件而引起的错误,发动学生自己对错解产生的原因进行评判,找出错误之所在,并予以纠正,从而增强隐含条件影响解题的认识和防御能力。
在解答数学题时,常出现的一些错误往往是学生未及时意识到的。在数学教学中防止解题失误,调整教学方法,是贯穿在整个数学教学的全过程。“对症下药”,以期探求最佳教学效果是我们数学教学期望的目标。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、加强概念理解,增强思维的严谨性
概念的内涵和外延不清,学生就容易陷入思维混乱,导致判断错误。在教学过程中应注意以下几点:
(1)讲要点。讲清概念所反映的本质属性和所涉及到的研究对象。例如:讲“异面直线”的概念时必须讲清异面直线的基本属性:“不同在任一平面内”。通过实例澄清诸如“分别在两个平面的两条直线是异面直线的”等错误认识。
(2)常类比。对邻近的概念要善于类比,要注意他们之间的联系和区别,提高学生对概念的判断能力。例如:“异面直线”与“平行直线”,“排列”与“组合”的概念。
(3)重深化。数学概念在运用中的巩固深化,能促进学生思维的积极性,及时暴露概念学习中的问题,故在教学中要采取先单一后综合地应用概念,逐步加深对概念的理解,纠正错误认识。
二、加强基础训练,增强直觉思维的可靠性
直觉思维是对数学对象事物的直接领悟和洞察。直觉思维不是胡思乱想,而是凭借过去自己对有关知识的本质的认识和经验,浓缩思维过程,产生解题的念头。这种解题念头是一种未经证实的看法,因此是不严密的,常会导致解题失误。教学过程中应注意以下几点:
(1)抓基础。直觉思维的正确性是建立在丰富和清晰的基础知识之上的,所以我们要把基础知识讲得扎实,基础练习的基本功必须练得过硬。先让学生将基础知识形成整体结构,把某些曾推理过的、证明过的知识转变为直觉知识;多进行基础练习,给学生经常进行直觉思维的机会,运用类比联想,让学生观察、猜想和洞察问题的本质,从而对各种信息和解题方案作出直接评估,确定解题方向和调整解题思路,提高解题的准确率。
(2)重分析。引导学生进行直觉思维,产生解题念头,然后分析这种解题思维是否有根有据,合乎推理的逻辑性。这样直觉思维和分析思维相结合,可以提高直接思维的可靠性。例如:已知数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1(n≥2).求数列{an}的通项公式。
学生大都能计算出a2=3,a3=7,a4=15,因此得出,当n≥2时,an=2n-1。
为验证上述结果是否正确,可以用构造数列的方法求出通项公式。
三、以对比的方式,消除知识“负迁移”的影响
知识的“负迁移”是指已经获得的知识对学习新知识的消极影响,如平面几何和立体几何的相关知识,实数与复数、排列与组合、正弦曲线和余弦曲线等。例如,在讲函数的平移时,常说“上加下减”,当再讲到曲线的平移时,还套用这句话就产生错误。可以这样对比,函数y=1/x+2,曲线y-2=1/x这两种形式,分别判断是由y=1/x的图像怎样平移过来的,这样就理解了在什么情况下用“上加下减”,再讲到曲线的平移时,自然就不生搬硬套了。
在教学中用对比的方法,帮助学生辨析知识的突出特征,引导学生“由表及里”认识知识的本质,辨清知识间的相似与差异,就能有效地减少知识“负迁移”的影响。
在教学过程中,教师可以选用或组编一些训练对比题组让学生在练习中对比数学概念、公式、定理,以及思想方法、解题途径、技能技巧等的对比,防止“负迁移”,促进“正迁移”。
四、洞察隐含条件,增强防御能力
隐含条件是指题目中若明若暗,含而不露的已知条件。它巧妙地隐藏在题设的背后,易被忽视。譬如,许多数学概念、公式、法则的运用范围和定理使用的前提往往在题目中就成了隐含条件。学生在解题中如果轻视和忽略这些条件就会导致解题的失误。
例如:集合A={ ︳ax2+(a+1)x+1=0},集合B={ ︳x2-x-2=0},若 是 的真子集,求 的值.
错解解得A={2,-1}后,分三种情况进行讨论:①当A=φ时,解得a∈φ;②当A={2}时,解得a=-1/2;③当A={-1}时,解得a∈R.故 的取值为 .
此题的正确结果为a=1.上述解法的错因在于在②③中均忽视了△=0这一条件,从而导致了解题错误;同时还别忘了a=0的情况。
我们在教学生解题时,应引导学生注意审题,重视错解。在审题时,注意对隐含条件的挖掘,对题目中所涉及到的概念、定理、公式、法则、图形等制约因素做到心中有数;带领学生分析因忽视隐含条件而引起的错误,发动学生自己对错解产生的原因进行评判,找出错误之所在,并予以纠正,从而增强隐含条件影响解题的认识和防御能力。
在解答数学题时,常出现的一些错误往往是学生未及时意识到的。在数学教学中防止解题失误,调整教学方法,是贯穿在整个数学教学的全过程。“对症下药”,以期探求最佳教学效果是我们数学教学期望的目标。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文