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摘要： 在微纳米尺度下工作的气体薄膜润滑轴承，气膜厚度与气体分子平均自由程较为接近，气体稀薄效应是影响轴承动态特性的关键因素。通过MATLAB的偏微分方程工具箱求解超薄气膜润滑动态Reynolds方程得到动态刚度和阻尼系数，探讨了不同半径间隙，稀薄效应修正模型以及轴承参数对动特性系数的影响。结果表明，随轴承间隙减小，气体稀薄程度增加，气体径向轴承的动态刚度系数显著降低，动态阻尼系数有所增加。当半径间隙降低到纳米尺度时，动态性能受轴承参数的影响较小。
关键词： 动压轴承; 超薄气膜润滑; 动态Reynolds方程; 半径间隙; 动态性能
中图分类号： TH133.37; O347.6 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2019）05-0908-10
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.019
引 言
随着旋转机械向高性能、微型化、低能耗和长寿命的方向发展，微/纳米尺度下转子与轴承的动力润滑问题变得十分突出[1]。相对于油膜润滑轴承，气膜润滑可实现轴颈和高速轴承之间的无接触悬浮，近年来气体轴承因具有运转速度高、旋转精度高、摩擦阻力较低、不会污染润滑表面等优点，在惯导系统的陀螺仪表、高速离心分离器、高速鼓风机和微型燃气轮机等设备上得到了广泛的应用[2]。气体轴承的动态特性对整个轴承-转子系统的临界转速和稳定性有很大影响，在研究气体润滑轴承时，通常用8个线性化的气膜刚度和阻尼系数来表征轴承的动态性能。当轴承的气膜厚度小于气体分子平均自由程（λ0=65 nm）时，经典的气膜润滑Reynolds方程已不再适用，必须考虑气体稀薄效应的修正模型。
目前，国内外学者对微观尺度甚至是纳观尺度下气体流动表现出的稀薄效应进行了大量的理论和实验研究。1959年Burgdorfer[3]首先将Maxwell滑移速度模型引入气膜润滑领域，修正了小Knudsen数下的滑移边界条件，推导出了考虑气体稀薄效应的Reynolds方程，即一阶速度滑移模型。1983年Hsia和Domoto[4]在滑移边界条件中考虑了二阶速度导数的影响，提出二阶速度滑移模型，并通过实验发现气膜厚度小到0.25 μm时，计算结果仍与实验吻合良好。日本学者Fukui和Kaneko[5]根据线性Boltzmann方程提出适用于任意Knudsen数和适应系数的广义Reynolds方程，并建立了快速计算大Knudsen数广义气膜润滑方程的Poiseuille流量数据库[6]。1993年Mitsuya[7]在动量中引入调节系数，提出1.5阶修正Reynolds方程求解超薄气膜润滑问题，计算结果说明1.5阶模型结果介于1，2阶模型之间且与Boltzmann-Reynolds方程的精确解近似。Hwang等[8]在润滑气膜边界速度条件加入了含3个可调系数的附加修正项，提出一种求解超薄气膜润滑的修正Reynolds方程，该模型克服了求解Boltzmann方程的复杂和耗时难题，结果表明该模型在较宽的Knudsen数范围内，对Boltzmann模型的近似性最佳。Rao等[9]利用修正分子气体润滑方程研究了任意Knudsen数和非对称界面条件下气体稀薄效应对微轴承性能的影响，首次讨论了Poiseuille流量和Couette流量对微气体径向滑动轴承性能的耦合作用，结果表明随Knudsen数的增加，Poiseuille流量和Couette流量的增强效应会使轴承无量纲承载力显著上升。张海军等[10-11]基于Burgdorfer 1阶速度滑移边界条件，提出了稀薄气体条件下考虑有效黏度的微气体轴承修正Reynolds方程，分析了不同参考Knudsen数、轴承数以及偏心率对轴承压力分布、承载力及偏位角的影响，并与FK模型结果进行了对比。张文明等[12-13]利用Weierstrass-Mandelbrot分形函数表征随机轴承粗糙表面，建立了考虑表面粗糙度的超薄膜气体润滑修正Reynolds方程，研究了滑移边界条件下微轴承内的复杂气体流动，说明轴承表面粗糙形貌对微机电器件中微气体轴承性能有显著影响。Shen等[14]通过求解Boltzmann方程的近似Krook方程推导了新的1阶滑移模型，由于沿流动方向具有压力梯度，新的滑移模型具有一个附加项，即新的1阶滑移速度模型不仅和膜厚方向速度梯度有关还和流动方向的压力梯度有关，数值结果表明与高Knudsen数条件下线性化Boltzmann方程的精确解非常吻合。贾晨辉等[15]将气膜压力表示为关于轴心偏离静平衡位置的瞬时位移和轴心瞬时速度的泰勒级数展开式，采用有限差分法求解锥面螺旋槽动压轴承的气体润滑Reynolds方程，研究了不同轴承转速和偏心率对动态系数的影响规律。Sun等[16]结合分子动力学，考虑分子碰撞在分子与固体表面的相互作用中的重要影响，研究了磁头/磁盘间隙为25 nm硬盘驱动器中的滑移气体流动，建立了新的滑移速度模型，推导并求解了相应的修正Reynolds方程，得到考虑无量纲平面Poiseuille流量及坡面流的压力分布及承载力，并与1阶、2阶及1.5阶滑移模型相比，新滑移模型与线性化Boltzmann方程的结果趋于一致。
本文作者考虑气体稀薄效应中不同流量因子及轴承半径间隙的影响，采用有限元法求解气体薄膜润滑动态Reynolds方程，研究了超薄（30 nm-12 μm）气膜动态刚度和动态阻尼系数随不同修正模型和轴承结构参数的变化规律。
3.1 扰动频率对动态性能的影响
图3和4分别给出了360°圆轴承（ε=0.5，L/D=0.8，Λ=3）在轴承半径间隙Cb=100 nm时，各模型的动态刚度和动态阻尼系数随轴颈扰动频率的变化曲线。可以看出，轴颈扰动频率对动压气体轴承的动态刚度和动态阻尼系数具有重要影响。随着扰动频率的增大，不考虑气体稀薄效应时动态刚度的直接项Kxx和Kyy均增大，动态阻尼系数的直接项Dxx和Dyy则减小，考虑气体稀薄效应的影响，各修正模型刚度系数的直接项远小于不考虑气体稀薄效应的值，且Kxx和Kyy随无量纲轴颈扰动频率的增大接近线性增大，而无量纲动态刚度系数的交叉项随扰动频率的增加趋于定值;各修正模型动态阻尼系數的交叉项几乎不受轴颈扰动频率的影响，当无量纲轴颈扰动频率大于2.5时，其动态阻尼系数的交叉项接近于零。Boltzmann模型与Fukui模型的动态系数近乎重合，1阶滑移模型的计算结果较大，2阶滑移模型的计算结果偏小。 3.2 轴承半径间隙和偏心率对动态性能的影响 图5和6分别反映了轴承数Λ=3，长径比L/D=0.5，无量纲轴颈扰动频率Ω=2时Boltzmann修正模型在不同半径间隙下轴承动态刚度和阻尼系数随偏心率ε的变化情况。从图中曲线可知，动态刚度系数随偏心率的增加均呈加速上升的趋势，随半径间隙减小，无量纲刚度系数幅值显著下降。动态阻尼系数Dxx，Dxy和Dyy随ε增加略有减小，当半径间隙降低到纳米尺度时，无量纲阻尼系数的直接项Dxx和Dxy及其交叉项Dxy随偏心率的增加而增加，动态阻尼系数Dyx几乎不受偏心率的影响。值得注意的是，当ε>0.4时，刚度系数的直接项Kyy和交叉项Kxy，Kyx随偏心率增大上升幅度较大。当半径间隙在氣体分子平均自由程以下，轴承的动态系数随偏心率的增加变化不明显。
3.3 轴承半径间隙和长径比对动态性能的影响
图7和8分别表示偏心率ε=0.5，轴承数Λ=3，扰动频率Ω=2时不同长径比L/D对轴承正交动态刚度和阻尼系数的影响。可以看到，考虑气体稀薄效应对轴承动态系数的影响前后，各模型无量纲动态刚度系数的直接项均随长径比增大而增大，且随轴承半径间隙减小，气体稀薄效应增强，Kxx和Kyy显著降低，当径向间隙小于100 nm（接近或低于平均分子自由程λ0=65 nm）时，各修正模型的Kxx和Kyy随长径比的增大趋近于线性增大;随长径比增加，无量纲动态阻尼系数Dxx和Dyy在半径间隙Cb=12 μm和2 μm时均逐渐减小，当轴承半径间隙降低到纳米尺度，各修正模型的Dxx和Dyy随长径比增加则呈现出减速增长趋势，气体稀薄效应提高了轴承动态阻尼系数的直接项。此时Boltzmann模型与Fukui模型的动态系数曲线也趋于一致，且介于1，2阶滑移模型之间。
4 结 论
（1）随半径间隙的减小，气体稀薄效应对动压气体径向轴承的动态特性有很大影响，动态刚度系数均有减小的趋势，动态阻尼系数有所增加。
（2）随轴颈扰动频率的增大，考虑气体稀薄效应后动态刚度系数的直接项比不考虑气体稀薄效应时有所降低，而动态阻尼系数的直接项略有增加，当扰动频率大于1.5时，动态阻尼系数的交叉项随扰动频率的增加没有明显变化。当径向间隙接近或低于平均分子自由程时，偏心率对轴承动态刚度系数影响甚小，动态刚度和阻尼系数随长径比的增加均接近线性增大。
（3）随半径间隙减小，气体稀薄程度增加，表征气体稀薄效应的滑移边界条件不同，即气体分子与固体壁面碰撞的动量传递率也不同，各修正模型动态系数会产生较大偏差，结果表明Boltzmann模型与Fukui模型的计算结果趋于重合且介于1，2阶滑移模型之间。
参考文献：
[1] 樊 菁，沈 青. 微尺度气体流动[J]. 力学进展，2002（03）：321-336.
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[2] 虞 烈，戚社苗，耿海鹏. 可压缩气体润滑与弹性箔片气体轴承技术[M]. 北京：科学出版社， 2011： 50-51.
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[4] Hsia Y T， Domoto G A. An experimental investigation of molecular rarefaction effects in gas lubricated bearings at ultra-low clearances[J]. Journal of Lubrication Technology，1983，105（1）：120-130.
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[11] 张海军，祝长生，杨 琴. 基于稀薄效应的微气体径向轴承稳态性能[J]. 力学学报，2009，6：941-946.
ZHANG Hai-jun， ZHU Chang-sheng， YANG Qin. Steady characteristics of micro gas journal bearings based on rarefaction effect[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2009，6：941-946.
[12] Wenming Zhang， Guang Meng， Zhike Peng， et al. Coupled nonlinear effects of random surface roughness and rarefaction on slip flow in ultra-thin film gas bearing lubrication[J]. Journal of Tribology， 2012，（134）：024502-1-024502-8.
[13] Wenming Zhang， Guang Meng， Kexiang Wei. Numerical prediction of surface roughness effect on slip flow in gas-lubricated journal microbearings[J]. Tribology Transactions， 2012，（55）：71-76.
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[15] 賈晨辉，杨 伟，邱 明.气体动压轴承转子系统动态稳定性数值仿真[J].系统仿真学报，2014，26（08）：1763-1768.
JIA Chen-hui， YANG Wei， QIU Ming. Numerical simulated of dynamic stability of aerodynamic bearing rotor system[J]. Journal of System Simulation， 2014，26（08）：1763-1768.
[16] Yuhong Sun， Weng Kong Chan， Ningyu Liu. A slip model with molecular dynamics[J]. Journal of Micromechanics and Microengineering， 2002，12（3）：316-322.
[17] Duwensee M. Numerical and experimental investigation of the head disk interface[D]. San Diego， CA， USA：University of California， 2007.
[18] 杨利花.可倾瓦与弹性箔片动压气体轴承的性能研究[D].西安：西安交通大学，2009.
YANG Li-hua. Study on the performance of aerodynamic tilting-pad and compliant foil bearings[D]. Xi′an： Xi′an Jiaotong University，2009.
[19] 戚社苗，耿海鹏，虞 烈.动压气体轴承的动态刚度和动态阻尼系数[J].机械工程学报，2007，（05）：91-98.
QI She-miao， GENG Hai-peng， YU Lie. Dynamic stiffness and dynamic damping coefficients of aerodynamic bearings[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2007，（05）：91-98.
Abstract： In micro-nano-scale， the gas-film thickness of aerodynamic gas-lubricated bearings is close to the mean free-path of gaseous molecules. The gas rarefied effect is a key influence factor to the dynamic performance of self-acting gas bearings. In this paper， the dynamic gas film pressure and film thickness are expressed as the complex form with periodic disturbance of the journal. The dynamic Reynolds equation for the ultra-thin film lubrication is solved in virtue of the toolbox of partial derivative equation （PDE） of MATLAB. Then the dynamic stiffness and dynamic damping coefficients of hydrodynamic gas bearings can be obtained. The effects of different radius clearance， the modified models of gas rarefied effect and different bearing parameters on the dynamic characteristic coefficients of gas bearings are analyzed. The results show that the dynamic stiffness coefficient of aerodynamic journal bearings is significantly reduced and the dynamic damping coefficient is increased as the increase of gas rarefied effect and decrease of radius clearance. Moreover， the parameter of the aerodynamic pressured bearing has a little influence on the dynamic characteristics when the radium of clearances is reduced to nanometer scale.
Key words： aerodynamic bearing; ultra-thin gas film lubrication; dynamic Reynolds equation; radius clearance; dynamic characteristics
作者简介： 吴 垚（1989-），男，博士研究生。电话： 15129023411; E-mail： [email protected]
关键词： 动压轴承; 超薄气膜润滑; 动态Reynolds方程; 半径间隙; 动态性能
中图分类号： TH133.37; O347.6 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2019）05-0908-10
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.019
引 言
随着旋转机械向高性能、微型化、低能耗和长寿命的方向发展，微/纳米尺度下转子与轴承的动力润滑问题变得十分突出[1]。相对于油膜润滑轴承，气膜润滑可实现轴颈和高速轴承之间的无接触悬浮，近年来气体轴承因具有运转速度高、旋转精度高、摩擦阻力较低、不会污染润滑表面等优点，在惯导系统的陀螺仪表、高速离心分离器、高速鼓风机和微型燃气轮机等设备上得到了广泛的应用[2]。气体轴承的动态特性对整个轴承-转子系统的临界转速和稳定性有很大影响，在研究气体润滑轴承时，通常用8个线性化的气膜刚度和阻尼系数来表征轴承的动态性能。当轴承的气膜厚度小于气体分子平均自由程（λ0=65 nm）时，经典的气膜润滑Reynolds方程已不再适用，必须考虑气体稀薄效应的修正模型。
目前，国内外学者对微观尺度甚至是纳观尺度下气体流动表现出的稀薄效应进行了大量的理论和实验研究。1959年Burgdorfer[3]首先将Maxwell滑移速度模型引入气膜润滑领域，修正了小Knudsen数下的滑移边界条件，推导出了考虑气体稀薄效应的Reynolds方程，即一阶速度滑移模型。1983年Hsia和Domoto[4]在滑移边界条件中考虑了二阶速度导数的影响，提出二阶速度滑移模型，并通过实验发现气膜厚度小到0.25 μm时，计算结果仍与实验吻合良好。日本学者Fukui和Kaneko[5]根据线性Boltzmann方程提出适用于任意Knudsen数和适应系数的广义Reynolds方程，并建立了快速计算大Knudsen数广义气膜润滑方程的Poiseuille流量数据库[6]。1993年Mitsuya[7]在动量中引入调节系数，提出1.5阶修正Reynolds方程求解超薄气膜润滑问题，计算结果说明1.5阶模型结果介于1，2阶模型之间且与Boltzmann-Reynolds方程的精确解近似。Hwang等[8]在润滑气膜边界速度条件加入了含3个可调系数的附加修正项，提出一种求解超薄气膜润滑的修正Reynolds方程，该模型克服了求解Boltzmann方程的复杂和耗时难题，结果表明该模型在较宽的Knudsen数范围内，对Boltzmann模型的近似性最佳。Rao等[9]利用修正分子气体润滑方程研究了任意Knudsen数和非对称界面条件下气体稀薄效应对微轴承性能的影响，首次讨论了Poiseuille流量和Couette流量对微气体径向滑动轴承性能的耦合作用，结果表明随Knudsen数的增加，Poiseuille流量和Couette流量的增强效应会使轴承无量纲承载力显著上升。张海军等[10-11]基于Burgdorfer 1阶速度滑移边界条件，提出了稀薄气体条件下考虑有效黏度的微气体轴承修正Reynolds方程，分析了不同参考Knudsen数、轴承数以及偏心率对轴承压力分布、承载力及偏位角的影响，并与FK模型结果进行了对比。张文明等[12-13]利用Weierstrass-Mandelbrot分形函数表征随机轴承粗糙表面，建立了考虑表面粗糙度的超薄膜气体润滑修正Reynolds方程，研究了滑移边界条件下微轴承内的复杂气体流动，说明轴承表面粗糙形貌对微机电器件中微气体轴承性能有显著影响。Shen等[14]通过求解Boltzmann方程的近似Krook方程推导了新的1阶滑移模型，由于沿流动方向具有压力梯度，新的滑移模型具有一个附加项，即新的1阶滑移速度模型不仅和膜厚方向速度梯度有关还和流动方向的压力梯度有关，数值结果表明与高Knudsen数条件下线性化Boltzmann方程的精确解非常吻合。贾晨辉等[15]将气膜压力表示为关于轴心偏离静平衡位置的瞬时位移和轴心瞬时速度的泰勒级数展开式，采用有限差分法求解锥面螺旋槽动压轴承的气体润滑Reynolds方程，研究了不同轴承转速和偏心率对动态系数的影响规律。Sun等[16]结合分子动力学，考虑分子碰撞在分子与固体表面的相互作用中的重要影响，研究了磁头/磁盘间隙为25 nm硬盘驱动器中的滑移气体流动，建立了新的滑移速度模型，推导并求解了相应的修正Reynolds方程，得到考虑无量纲平面Poiseuille流量及坡面流的压力分布及承载力，并与1阶、2阶及1.5阶滑移模型相比，新滑移模型与线性化Boltzmann方程的结果趋于一致。
本文作者考虑气体稀薄效应中不同流量因子及轴承半径间隙的影响，采用有限元法求解气体薄膜润滑动态Reynolds方程，研究了超薄（30 nm-12 μm）气膜动态刚度和动态阻尼系数随不同修正模型和轴承结构参数的变化规律。
3.1 扰动频率对动态性能的影响
图3和4分别给出了360°圆轴承（ε=0.5，L/D=0.8，Λ=3）在轴承半径间隙Cb=100 nm时，各模型的动态刚度和动态阻尼系数随轴颈扰动频率的变化曲线。可以看出，轴颈扰动频率对动压气体轴承的动态刚度和动态阻尼系数具有重要影响。随着扰动频率的增大，不考虑气体稀薄效应时动态刚度的直接项Kxx和Kyy均增大，动态阻尼系数的直接项Dxx和Dyy则减小，考虑气体稀薄效应的影响，各修正模型刚度系数的直接项远小于不考虑气体稀薄效应的值，且Kxx和Kyy随无量纲轴颈扰动频率的增大接近线性增大，而无量纲动态刚度系数的交叉项随扰动频率的增加趋于定值;各修正模型动态阻尼系數的交叉项几乎不受轴颈扰动频率的影响，当无量纲轴颈扰动频率大于2.5时，其动态阻尼系数的交叉项接近于零。Boltzmann模型与Fukui模型的动态系数近乎重合，1阶滑移模型的计算结果较大，2阶滑移模型的计算结果偏小。 3.2 轴承半径间隙和偏心率对动态性能的影响 图5和6分别反映了轴承数Λ=3，长径比L/D=0.5，无量纲轴颈扰动频率Ω=2时Boltzmann修正模型在不同半径间隙下轴承动态刚度和阻尼系数随偏心率ε的变化情况。从图中曲线可知，动态刚度系数随偏心率的增加均呈加速上升的趋势，随半径间隙减小，无量纲刚度系数幅值显著下降。动态阻尼系数Dxx，Dxy和Dyy随ε增加略有减小，当半径间隙降低到纳米尺度时，无量纲阻尼系数的直接项Dxx和Dxy及其交叉项Dxy随偏心率的增加而增加，动态阻尼系数Dyx几乎不受偏心率的影响。值得注意的是，当ε>0.4时，刚度系数的直接项Kyy和交叉项Kxy，Kyx随偏心率增大上升幅度较大。当半径间隙在氣体分子平均自由程以下，轴承的动态系数随偏心率的增加变化不明显。
3.3 轴承半径间隙和长径比对动态性能的影响
图7和8分别表示偏心率ε=0.5，轴承数Λ=3，扰动频率Ω=2时不同长径比L/D对轴承正交动态刚度和阻尼系数的影响。可以看到，考虑气体稀薄效应对轴承动态系数的影响前后，各模型无量纲动态刚度系数的直接项均随长径比增大而增大，且随轴承半径间隙减小，气体稀薄效应增强，Kxx和Kyy显著降低，当径向间隙小于100 nm（接近或低于平均分子自由程λ0=65 nm）时，各修正模型的Kxx和Kyy随长径比的增大趋近于线性增大;随长径比增加，无量纲动态阻尼系数Dxx和Dyy在半径间隙Cb=12 μm和2 μm时均逐渐减小，当轴承半径间隙降低到纳米尺度，各修正模型的Dxx和Dyy随长径比增加则呈现出减速增长趋势，气体稀薄效应提高了轴承动态阻尼系数的直接项。此时Boltzmann模型与Fukui模型的动态系数曲线也趋于一致，且介于1，2阶滑移模型之间。
4 结 论
（1）随半径间隙的减小，气体稀薄效应对动压气体径向轴承的动态特性有很大影响，动态刚度系数均有减小的趋势，动态阻尼系数有所增加。
（2）随轴颈扰动频率的增大，考虑气体稀薄效应后动态刚度系数的直接项比不考虑气体稀薄效应时有所降低，而动态阻尼系数的直接项略有增加，当扰动频率大于1.5时，动态阻尼系数的交叉项随扰动频率的增加没有明显变化。当径向间隙接近或低于平均分子自由程时，偏心率对轴承动态刚度系数影响甚小，动态刚度和阻尼系数随长径比的增加均接近线性增大。
（3）随半径间隙减小，气体稀薄程度增加，表征气体稀薄效应的滑移边界条件不同，即气体分子与固体壁面碰撞的动量传递率也不同，各修正模型动态系数会产生较大偏差，结果表明Boltzmann模型与Fukui模型的计算结果趋于重合且介于1，2阶滑移模型之间。
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Abstract： In micro-nano-scale， the gas-film thickness of aerodynamic gas-lubricated bearings is close to the mean free-path of gaseous molecules. The gas rarefied effect is a key influence factor to the dynamic performance of self-acting gas bearings. In this paper， the dynamic gas film pressure and film thickness are expressed as the complex form with periodic disturbance of the journal. The dynamic Reynolds equation for the ultra-thin film lubrication is solved in virtue of the toolbox of partial derivative equation （PDE） of MATLAB. Then the dynamic stiffness and dynamic damping coefficients of hydrodynamic gas bearings can be obtained. The effects of different radius clearance， the modified models of gas rarefied effect and different bearing parameters on the dynamic characteristic coefficients of gas bearings are analyzed. The results show that the dynamic stiffness coefficient of aerodynamic journal bearings is significantly reduced and the dynamic damping coefficient is increased as the increase of gas rarefied effect and decrease of radius clearance. Moreover， the parameter of the aerodynamic pressured bearing has a little influence on the dynamic characteristics when the radium of clearances is reduced to nanometer scale.
Key words： aerodynamic bearing; ultra-thin gas film lubrication; dynamic Reynolds equation; radius clearance; dynamic characteristics
作者简介： 吴 垚（1989-），男，博士研究生。电话： 15129023411; E-mail： [email protected]