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摘要：本文介绍全球定位系统高程的理论方法和数学模型，通过工程实例和数据探讨起算点的空间分布、起算点数量和拟合方法对高程拟合精度的影响，并对数据结果进行分析。提高GPS高程拟合精度，以代替四、五等常规水准测量，希望能够为同行提供一些有价值的参考。
关键词：GPS；高程；拟合；水准
中图分类号：P228.4
1、引言
随着现代测绘科学技术的不断更新与发展，GPS定位技术以其精度速度快、精度高、全天候、不受通视条件限制、费用省、操作简便等优良特征被广泛应用于大地控制测量、地形图测量等。时至今日，可以说GPS定位技术已完全取代了用常规测角、测距手段建立的大地控制网。相比之下，GPS平面控制测量的精度要比其水准测量的精度高。因此，研究如何提高GPS水准测量的精度对现代测绘的发展具有重要的意义。
2、GPS高程测量
GPS是一种三维观测系统，通过相位观测值可求出网中每两点间的地心WGS-84坐标系中的坐标差 ，提供地面点间位置和高程信息。如何求出地面点的高程（正常高）需要一些中间步骤，现介绍其基本过程。
GPS测得的基线向量 ，以坐标为未知参数进行自由网平差，求出网点三维地心坐标。取网中至少三个已知地面控制点，其点位的大地坐标经度L、维度B和大地高H为已知，将这些点上的已知数据转换到相应的三维直角坐标系中，
求出坐标值。转换公式为：
（1）
式中 是相应的椭球参数。
以已知点上大地直角三维坐标X为控制，采用七参数法，将WGS-84系直角坐标转换至与控制点相应的直角坐标系中，公式为：
（2）
式中 为平移参数， 为尺度比， 为旋转参数。由此求得GPS测点的直角坐标，再经过下式变换，即得与已知点相同椭球的经度、纬度和大地高：
（3）
GPS高程测量的结果是以WGS-84椭球系统为基准的高程，而我们需要将WGS-84椭球的大地高转换为相应高程系统的正常高。因此，最主要的是确定其高程异常。大地高、正常高和高程异常可表示为以下公式：
（4）
式中 为高程异常， 为大地高， 为正常高。
另一过程是求出正常高高差，现简述其原理如下。
由GPS获得的基线向量 ，通过网中至少三个已知点，经过（1）式变换到三维直角坐标系中，采用四参数法，公式为：
（5）
求得GPS测点从属与地面控制坐标系的三维坐标差。由类似的（3）式，变换到椭球面上，求得基线向量的经度差、纬度差和大地高差。再由下式求得正常高高差：
（6）
由于坐标系统转换采用了七参数或四参数法，GPS网点经转换后与相应地面测点仍有间隙，亦即转换后GPS网点坐标与地面坐标并不兼容，这对城市网和工程控制网而言，是一个问题。因此，在我国自行制作的软件中采取了一系列措施，使GPS网点坐标与地面系统兼容。
在地形起伏较大的地区及位于较高建筑物上的未知点，用传统水准测量方法测定这些点的高程较为困难，通常采用三角高程测量的方法。三角高程测量是以水平面为基准面和视线成为直线前提的。因此，只有当A，B两点间的距离很短时，才比较准确。当A，B两点距离较远时，还应该考虑地球弯曲和大气折光的影响了，另外三角高程加测天顶距，计算边长，则会不可避免的带来误差传播，并增加工程量。对于一般工程单位而言，无法获得必要的重力数据和天文数据，因此重力方法在一般的工程单位很难实施。相比于前面的方法，GPS测高只需摆好接收机，开机等待即可，测站可达几km，劳动力强度小，不受气候影响，工作效率高，内业较为简单。因此在点多量大的水利工程测量中，如果能用GPS测高代替四、五等水准，其优势非常明显的，特别是在山区更为明显。因此，对GPS拟合高程的研究对测绘发展和进步具有重要的意义。
3、多项式函数拟合法的数学模型
目前我们经常采用的GPS高程拟合模型主要有以下几种：多项式曲线拟合模型、三次样条曲线拟合模型、AKIMA曲线拟合模型、多项式曲面拟合模型、多面函数法曲面拟合模型和移动法曲面拟合模型等。而在众多的拟合法中，多项式拟合应用最为广泛，尤其是对二次曲面的研究最为成熟。
多项式函数拟合法的基本思想是：在小区域GPS网内，将似大地水准面看成曲面或平面，将高程异常ζ表示为平面坐标 的函数，通过网中起算点（既进行了GPS测量又进行了几何水准联测的点）已知的高程异常确定测区的似大地水准面形状，求出其余各点的高程异常，然后根据式（1）求出其他点的正常高，其数学模型为
（7）
式中， 是拟合的似大地水准面； 是拟合误差。而
（8）
式中， 为拟合待定参数；x，y为各GPS点的平面坐标。
取式（8）中的一、二次项，合并式（7）、式（8）后即得二次曲面拟合模型
（9）
取式（8）中的一次项，合并式（7）、式（8）后即得二次平面拟合模型
（10）
每个起算点可以组成一个式（9）或式（10），在 条件下，解算出 即可求出网中其余点的高程异常，并利用式（4）求出个待定点的正常高h。
4、数据对比分析
在实践中，我们反复试验后得出：只要在所布设的网内联测一定数量均匀分布的已知高程点，选取恰当的拟合方法，用GPS测量代替四、五等水准测量是可行的。
为了更加清晰的解决GPS拟合高程代替常规四、五等水准测量高程，结合了广州市花都区水库灌区工程实际进行成果分析。本工程中采用常规方法沿测区布设了一条水准附合路线，并沿路线联测GPS点，以常规水准测量平差后的结果为真值，与GPS高程求差得到高程异常值，采用多项式拟合法，将GPS高程转换为正常高。表1中是加入了一个高程控制点拟合后GPS高程的精度比较。从表1可以看出，当加入一个点时，发现测区其他点最大高程差为126mm；表2中是加入了8个点时，发现测区一些其他点最大高程差为31mm；而一般情况下四等水准测量精度要求是检测已知测段高差互差为 ；在山区则为 （其中K为检测测段直线距离，单位为km）。此次广州市花都区水库灌区工程的GPS拟合高程已经满足了国家四、五等水准精度的要求，对长距离GPS更是很容易达到的。
表1、表2中，平均误差 ；中误差 。
表1、表2平均误差依次结果为 ， ；中误差结果依次为 ，
加入一个高程控制点拟合GPS高程的精度比较
表1
均匀加入八个高程控制点拟合GPS高程的精度比较
表2
5、结论
通过数据分析研究，可以得出如下结论：如果在网中均匀的加入水准点高程控制点进行平差，采用GPS拟合高程代替常规四、五等水准测量是可行的，GPS高程测量的精度不仅与起算点的空间分布有关，还与起算点的数量和拟合方法有着密切的关系。一般说来，采用同样的拟合方法，起算点数量越多，分布越均匀，则精度越高。在广州市花都区水库灌区工程中实践中，将此数据替代水利水电工程四、五等水准测量不仅能符合国家四、五等水准测量的规范，而且能够更加的减少成本、时间和人力。本文的目的在于提出应用多项式函数拟合法的数学模型进行GPS高程拟合，使其可以替代常规四、五等水准；与同行们共同探讨，希望能够应用GPS进行水准测量、工程测量提供一些参考，能对现代水准测量提供一些帮助。
参考文献：
[1]中华人民共和国国家规范GB/T12898-2006国家三、四、五等水准测量规范，中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局，中国国家标准化管理委员会，2006.
[2]于小平，杨国东，许惠平，张亚军.GPS-RTK高程拟合方法精度研究.
[3]张胜.GPS高程异常拟合研究.
[4]全球定位系统GPS测量规范[S].北京：中国地图出版社，2001.
[5]徐汉超.GPS技术在某狭长水利工程控制网中的应用.
[6]陶本藻.GPS水准似大地水准面拟合和正常高计算[J].测绘通报，1992.
[7]李晓桓.GPS水准拟合模型的优选[J].测绘通报，2003.
[8]王正明，易东云.测量数据建模与参数估计[M].长沙：国防科技大学出版社，1996.
关键词：GPS；高程；拟合；水准
中图分类号：P228.4
1、引言
随着现代测绘科学技术的不断更新与发展，GPS定位技术以其精度速度快、精度高、全天候、不受通视条件限制、费用省、操作简便等优良特征被广泛应用于大地控制测量、地形图测量等。时至今日，可以说GPS定位技术已完全取代了用常规测角、测距手段建立的大地控制网。相比之下，GPS平面控制测量的精度要比其水准测量的精度高。因此，研究如何提高GPS水准测量的精度对现代测绘的发展具有重要的意义。
2、GPS高程测量
GPS是一种三维观测系统，通过相位观测值可求出网中每两点间的地心WGS-84坐标系中的坐标差 ，提供地面点间位置和高程信息。如何求出地面点的高程（正常高）需要一些中间步骤，现介绍其基本过程。
GPS测得的基线向量 ，以坐标为未知参数进行自由网平差，求出网点三维地心坐标。取网中至少三个已知地面控制点，其点位的大地坐标经度L、维度B和大地高H为已知，将这些点上的已知数据转换到相应的三维直角坐标系中，
求出坐标值。转换公式为：
（1）
式中 是相应的椭球参数。
以已知点上大地直角三维坐标X为控制，采用七参数法，将WGS-84系直角坐标转换至与控制点相应的直角坐标系中，公式为：
（2）
式中 为平移参数， 为尺度比， 为旋转参数。由此求得GPS测点的直角坐标，再经过下式变换，即得与已知点相同椭球的经度、纬度和大地高：
（3）
GPS高程测量的结果是以WGS-84椭球系统为基准的高程，而我们需要将WGS-84椭球的大地高转换为相应高程系统的正常高。因此，最主要的是确定其高程异常。大地高、正常高和高程异常可表示为以下公式：
（4）
式中 为高程异常， 为大地高， 为正常高。
另一过程是求出正常高高差，现简述其原理如下。
由GPS获得的基线向量 ，通过网中至少三个已知点，经过（1）式变换到三维直角坐标系中，采用四参数法，公式为：
（5）
求得GPS测点从属与地面控制坐标系的三维坐标差。由类似的（3）式，变换到椭球面上，求得基线向量的经度差、纬度差和大地高差。再由下式求得正常高高差：
（6）
由于坐标系统转换采用了七参数或四参数法，GPS网点经转换后与相应地面测点仍有间隙，亦即转换后GPS网点坐标与地面坐标并不兼容，这对城市网和工程控制网而言，是一个问题。因此，在我国自行制作的软件中采取了一系列措施，使GPS网点坐标与地面系统兼容。
在地形起伏较大的地区及位于较高建筑物上的未知点，用传统水准测量方法测定这些点的高程较为困难，通常采用三角高程测量的方法。三角高程测量是以水平面为基准面和视线成为直线前提的。因此，只有当A，B两点间的距离很短时，才比较准确。当A，B两点距离较远时，还应该考虑地球弯曲和大气折光的影响了，另外三角高程加测天顶距，计算边长，则会不可避免的带来误差传播，并增加工程量。对于一般工程单位而言，无法获得必要的重力数据和天文数据，因此重力方法在一般的工程单位很难实施。相比于前面的方法，GPS测高只需摆好接收机，开机等待即可，测站可达几km，劳动力强度小，不受气候影响，工作效率高，内业较为简单。因此在点多量大的水利工程测量中，如果能用GPS测高代替四、五等水准，其优势非常明显的，特别是在山区更为明显。因此，对GPS拟合高程的研究对测绘发展和进步具有重要的意义。
3、多项式函数拟合法的数学模型
目前我们经常采用的GPS高程拟合模型主要有以下几种：多项式曲线拟合模型、三次样条曲线拟合模型、AKIMA曲线拟合模型、多项式曲面拟合模型、多面函数法曲面拟合模型和移动法曲面拟合模型等。而在众多的拟合法中，多项式拟合应用最为广泛，尤其是对二次曲面的研究最为成熟。
多项式函数拟合法的基本思想是：在小区域GPS网内，将似大地水准面看成曲面或平面，将高程异常ζ表示为平面坐标 的函数，通过网中起算点（既进行了GPS测量又进行了几何水准联测的点）已知的高程异常确定测区的似大地水准面形状，求出其余各点的高程异常，然后根据式（1）求出其他点的正常高，其数学模型为
（7）
式中， 是拟合的似大地水准面； 是拟合误差。而
（8）
式中， 为拟合待定参数；x，y为各GPS点的平面坐标。
取式（8）中的一、二次项，合并式（7）、式（8）后即得二次曲面拟合模型
（9）
取式（8）中的一次项，合并式（7）、式（8）后即得二次平面拟合模型
（10）
每个起算点可以组成一个式（9）或式（10），在 条件下，解算出 即可求出网中其余点的高程异常，并利用式（4）求出个待定点的正常高h。
4、数据对比分析
在实践中，我们反复试验后得出：只要在所布设的网内联测一定数量均匀分布的已知高程点，选取恰当的拟合方法，用GPS测量代替四、五等水准测量是可行的。
为了更加清晰的解决GPS拟合高程代替常规四、五等水准测量高程，结合了广州市花都区水库灌区工程实际进行成果分析。本工程中采用常规方法沿测区布设了一条水准附合路线，并沿路线联测GPS点，以常规水准测量平差后的结果为真值，与GPS高程求差得到高程异常值，采用多项式拟合法，将GPS高程转换为正常高。表1中是加入了一个高程控制点拟合后GPS高程的精度比较。从表1可以看出，当加入一个点时，发现测区其他点最大高程差为126mm；表2中是加入了8个点时，发现测区一些其他点最大高程差为31mm；而一般情况下四等水准测量精度要求是检测已知测段高差互差为 ；在山区则为 （其中K为检测测段直线距离，单位为km）。此次广州市花都区水库灌区工程的GPS拟合高程已经满足了国家四、五等水准精度的要求，对长距离GPS更是很容易达到的。
表1、表2中，平均误差 ；中误差 。
表1、表2平均误差依次结果为 ， ；中误差结果依次为 ，
加入一个高程控制点拟合GPS高程的精度比较
表1
均匀加入八个高程控制点拟合GPS高程的精度比较
表2
5、结论
通过数据分析研究，可以得出如下结论：如果在网中均匀的加入水准点高程控制点进行平差，采用GPS拟合高程代替常规四、五等水准测量是可行的，GPS高程测量的精度不仅与起算点的空间分布有关，还与起算点的数量和拟合方法有着密切的关系。一般说来，采用同样的拟合方法，起算点数量越多，分布越均匀，则精度越高。在广州市花都区水库灌区工程中实践中，将此数据替代水利水电工程四、五等水准测量不仅能符合国家四、五等水准测量的规范，而且能够更加的减少成本、时间和人力。本文的目的在于提出应用多项式函数拟合法的数学模型进行GPS高程拟合，使其可以替代常规四、五等水准；与同行们共同探讨，希望能够应用GPS进行水准测量、工程测量提供一些参考，能对现代水准测量提供一些帮助。
参考文献：
[1]中华人民共和国国家规范GB/T12898-2006国家三、四、五等水准测量规范，中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局，中国国家标准化管理委员会，2006.
[2]于小平，杨国东，许惠平，张亚军.GPS-RTK高程拟合方法精度研究.
[3]张胜.GPS高程异常拟合研究.
[4]全球定位系统GPS测量规范[S].北京：中国地图出版社，2001.
[5]徐汉超.GPS技术在某狭长水利工程控制网中的应用.
[6]陶本藻.GPS水准似大地水准面拟合和正常高计算[J].测绘通报，1992.
[7]李晓桓.GPS水准拟合模型的优选[J].测绘通报，2003.
[8]王正明，易东云.测量数据建模与参数估计[M].长沙：国防科技大学出版社，1996.